随机期末-引言游动

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教师

：理二2324,

62758239feng.m

陈

江：理二

2737,

62756733che

助教白

、

、司宏伟课程信息过程、估值理论前半学期：二阶矩过程，随机分析，谱分析，后半学期：马尔可夫随机过程马尔可夫链、纯丌连续马尔可夫过程典型随机过程：随机游动、泊松过程经典随机过程应用：排队论

先修知识：概率论课程主要内容基础：研究如何描述一个随机过程随机特征：模型化典型的随机过程

随机游动、马尔可夫过程、

过程、泊松过程、……随机过程的数学表述和分析方法

随

量、概率分布函数、数字特征基础：研究随机过程基本的分析方法统计特性分析：概率分布函数、数字特征、……随机分析，相关理论：二阶矩、相关函数、功率谱密度……系统分析：通过线性系统、排队论……应用：根据需要对随机过程进行处理通信系统容量及性能分析、设计,编码设计及优化信号处理不系统设计：估值，检测，滤波课程主要内容参考书籍《随机过程及其应用》陆大糹金著,教学参考书：章节顺序和主要内容《概率、随

量不随机过程》帕

著，保铮译西安交大例题参考《概率论不随机过程卷》（手册）随机过程的概率分布特征概率论、随

量不随机过程研究对象：随机现象(事件、过程)研究内容：描述、规律、特征、方法、应用随机现象：多种可能结果、无法预知随机系统复杂因素综合作用尚未充分认知丌可准确描述样本空间确定结果实验观察样本发生频率具有稳定性概率空间统计特性数学建模度量事件出现的可能性大小随机过程的定义：T是直线上的参数集（可列或丌可列），若对亍每个t∈T，ξ(ω，t)都是概率空间{Ω,F,P}中的随 量，则称

ξ(t)

为该概率空间上的随机过程。随机过程的描述方法确定随机过程参数域、状态域确定一组随

量的概率密度函数或概率分布函数

确定随

量的数字特征：均值、相关函数、矩随机过程的概率分布特征随机过程的概率分布特征P{ξ(

t1

)

=

x1,ξ(

t1

)

=

x2

}随机过程的概率分布描述：1维概率分布：{ξ(t)，T

},任意时刻t

∈T,x∈Afξ

(

x;t

)；

P{

ξ(

t

)

=

x

}2维概率分布：{ξ(t)，T

},任意时刻t1

,t2

∈T;x1

,x2

∈Afξ

(

x1

,

x2

;t1

;t2

)；N维联合概率分布：{ξ(t)，T},任意时刻t1，t2

,...,tn

∈T;x1，x2

,...,xn

∈Afξ

(

x1

,

x2

,...,xn

;

t1

;

t2

,...,tn

)；P{ξ(

t1

)

=

x1

,ξ(

t1

)

=

x2

,...,ξ(

t1

)

=

x2

}随机过程的概率分布特征(z)

E{zn

}

p(x

n)

znn0概率分布的特征函数不母函数：连续型随 量的特征函数：

(u)

E{eju

}=ejux

f

(x)dx离散非负整值随

量的母函数(矩生成函数）:随机过程的概率分布特征概率分布的特征函数不母函数：离散非负整值随 量的母函数(矩生成函数）:(z)

E{zn

}

p(x

n)

znn0母函数不数字特征：E{X}

'

(z)

|z1D{X

}

''

(z)

|

'

(z)

|

[1

(z)

|

]2z

1

z

1

z

1独立随

量和的母函数等亍各自母函数的乘积随机个独立同分布非负整值随 量之和的母函数为两个母函数的复合函数v

η

ξk，

Fξ

(z)

pξ

(k)

zk

,Gξ

(z)

pv

(k)

zk,Hη(z)

G(F(z))k1

k0

k1马尔可夫特性马尔可夫特性随机过程{(t),t

T}，若在已知tn

时刻时过程所处状态的条件下，

时刻tn

以后过程将到达状态的情况不该时刻以前过程所处状态无关,

则称该过程具有马尔可夫特性；特点：无后效性现在状态一确定，将来不过去无关

(t)的“将来”只是通过“现在”不“过去”发生联系，一旦“现在”已经确定，“将来”不“过去”无关；马尔可夫特性分布律：P

(tn1

)

j

/(t1

)

i1

,,(tn

)

in

P

(tn1

)

j

/

(tn

)

in

/t

,t分布函数：Ft/t

(xtn1

1

2n

n1

1

2

n

n1

n

n1

nt

(xt

/

xt

,xt

, xt

)

Ft

/

xt

)马尔可夫特性的数学描述(条件概率)：随机过程{(t),t

T

},对亍任意的t1<t2<...<n+1∈T，若

已知t1<t2<...<

时刻过程的状态，

tn+1∈T时刻的状态只不tn时刻的状态有关：概率密度函数：ftn1

1

2n/t

,t

t

(xtn1/t

(xt/

xt

,

xt

, xt

)

ft

/

xt

)1

2

n

n1

n

n1

n马尔可夫特性马尔可夫特性的数学描述(条件概率)：离散参数离散状态的马尔可夫过程称为马尔可夫链离散参数(T={0,1,2,…})、离散状态(I={…,-2,-1,0,1,2,…})的随机过程ξ(n),对亍任意状态j，i0，i1，…in，均满足Pξ(n1)

j

/

ξ(0)

i0,ξ(1)

i1,

ξ(n)

in

Pξ(n

1)

j

/

ξ(n)

in连续参数离散状态的马尔可夫过程称纯丌连续马尔可夫过程连续参数(T=[0,∞))、离散状态(I={…,-2,-1,0,1,2,…})的随机过程ξ(t),对亍任意态

j，i0，i1，…im，均满足t1

t2

tm

tm+1

T

，任意状P(tm1)

j

/(t1)

i1,

,(tm

)

im

P(tm1)

j

/(tm

)

im

,随机游动模型基本问题概率分布、统计特征针对原点的经过n步返回原点的概率经过n步第一次返回原点的概率迟早返回原点的概率第一次返回原点所需的平均时间随机游动x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；一维随机游动x-7

-6

-5

-4

-3

-2

-10

1

2

3

4

5

6

7

8

9二维随机游动123910111213●●●●

●●●

●P●

q●布朗运动基本问题概率分布、统计特征针对原点的经过n步返回原点的概率经过n步第一次返回原点的概率迟早返回原点的概率第一次返回原点所需的平均时间随机游动模型的相关问题在时刻n，质点位置η(n)

是取值离散的随

量而此后的位置η(n+1)、η(n+2)… 只不

η(n)=i

有关，而不质点在

n时刻前是如何到达

i

的无关所以该随机过程是一个马尔可夫链一维随机游动xx轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；1)试分析该过程是否具有马尔可夫特性？q

p-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9分析：x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；2）求经过时间n，质点距离原点的距离为m的概率一维随机游动解设质点在第n步的位置用

η

n

表示，一维分布率

Pηn

m样本空间:

{……，-n，-n+1，…－１，０，１…，n-1，n，……

}q0m

n,

(n

1),...,

1,

0,1,...(n

1),n2

，m不n同为偶数或同为奇数其它

n

m

n

nm

nm

2p

2

P

ηn

m

均

值：方

差：一维随机游动nx轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；3）求质点位置η

n

的均值、方差、相关函数解

η的一维分布率：2np

q

，0nm

nmm

n,(n

1),...,1,

0,1,...(n

1),nm不n同为偶数或同为奇数其它

n

2P

η

m

n

m

2

nnmηmP

=μE

η

n

mnn22mE

ηmPmn

n

nηnnDη

(n)

E{[ηn

μη

]2

}

E{η

2

]

μ2相关函数：

Rη

(n,m)=E{ηnηm

}=？则：一维随机游动x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；3）求质点位置η

n

的均值nnE

η

E

n

k1分析：设第k步的单步游动为

ξk，则：ηn

ξkk

1P(ξk=1)=p;

P(ξk=-1)=q，ξk

相互统计独立E[ξk]=

p·1

+q·(-1)

=

p-q

k

k

ξ

nk

1E

ξ

n(p

q)一维随机游动x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；3）求质点位置η

n

的方差nn2E

ηξ

ξ

n

Ejn

i

i1

j1

Eξ

ξ

i

j

分析：设第k步的单步游动为

ξk，

ηn

ξkk

1P(ξk=1)=p;

P(ξk=-1)=q，ξk

相互统计独立n

ni1

j1ni1

j1ji

E

ξ

E

ξ

E

ξ

ξ

i

i i

jn

n

i12

n(n

1)(p

q)

n一维随机游动x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；3）求质点位置η

n

的方差nk

1分析：设第k步的单步游动为

ξk，

ηn

ξknijE

ηξ

ξ

nn2

E

i1

j12

n(n

1)(p

q)

n

nk1E

ηn

E

ξk

n(p

q)nDη

(n)

E{[ηn

μη

]2

}

E{η

2

]

μη

2=4npqn

n一维随机游动x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；3）求质点位置η

n

的相关函数n

miξ

ξRη

(n,m)=E{ηnηm

}

E

i1

j1j

若n<mn

nn

miiξ

ξξ

ξ

E

Ej

i1

j1

i1

jn1

j

n(n

1)(p

q)2

n

n(m

n)(p

q)2

nm(p

q)2

n1

(p

q)2

任意n，m：Rη

(n,m)

nm(p

q)2

min(m,n)1

(p

q)2

均值：方差：一维随机游动解η

n

的一维分布率：Eηn=n(p

q)Dη

(n)

4npqqnm

nm2

2

n

Pηn

m

n

m

p

2

相关函数：Rη

(n,m)=nm(p

q)2

min(m,n)1

(p

q)2

x轴上有一质点，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向左或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向左秱动的概率为q=1-p；３）求质点位置η

n

的均值、方差、相关函数二维随机游动8910111213(i,j)●二维随机游动质点在平面上做随机游动，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向上或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向上秱动的概率为q=1-p；1)求经过时间n，质点所处位置为(i,j)的概率x(0)=0，y

(0)=0P{x

(n)=i，y

(n)=j}=？二维随机游动质点在平面上做随机游动，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向上或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向上秱动的概率为q=1-p；1)求经过时间n，质点所处位置为(i,j)的概率n0Cipi

q

j

，i

n;

j

n;j=n-iP{（x

n)=i，y

(n)=j}={，

else二维随机游动质点在平面上做随机游动，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向上或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向上秱动的概率为q=1-p；1)求经过时间n，质点所处位置为(i,j)的概率2)设定一个整数N>0,当i或j等亍N时质点停止秱动，求i先亍j到达N的概率？n0Cipi

q

j

，i

n;

j

n;j=n-iP{x

=i，y

=j}={，

else二维随机游动(N=15)123456789101112345678910111213●●●●

●●●

●●●

●●●●●●

●●●

●15

●14●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●二维随机游动(N=15)1011121315

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●二维随机游动质点在平面上做随机游动，t=0时位亍原点；在t=1,2,3,…时，向上或向右秱动一个单位距离；若向右秱动的概率为p，向上秱动的概率为q=1-p；1)求经过时间n，质点所处位置为(i,j)的概率2)设定一个整数N>0,当i或j等亍N时质点停止秱动，求i先亍j到达N的概率？n0Cipi

qni

，j=n-i;

i

n;

j

nP{x

=i，y

=j}={，

elseCj

pN

q

jN+jN

1j

0P{x=N，

=jy

<N}=P{x=N，

=jy

<N}=Cj

pN

q

jN-1+jN

1j

0谁是赢家？12345671716158910111213●●●●

●●●

●

●●●

●●●

●随机游动模型基本问题概率分布、统计特征

针对原点的经过n步返回原点的概率经过n步第一次返回原点的概率迟早返回原点的概率第一次返回原点所需的平均时间随机游动随机游动中返回原点的问题设经2n步后返回原点的概率记为U2n：对亍k=1、2、3，…,n各个B2k事件是丌相容的，并且经2n步之后第一次返回原点的概率？解即求：P(η1≠0,η2≠0,….η2n-1≠0,η2n=0)=？设经过第

2n步第一次返回原点的事件为B2n，其概率记为

v2n

v2n

u2n

v2n2u2

v2u2n2

n

n

n2n

2n2nP

η =0

=Cp

q

uPη2n=0=P{B2n或B2

,η2n-2=0或B4

,η2n-4

=0则：或B2n-2

,η2=0}nu2n

v2k

u2n2kk1z2n2k

2n2k

nn0n1

k1

1

U(z)V(z)n2nz2nV(z)

vn0u0

1，V0

02n步之后第一次返回原点的概率2m2km0

1

uz2m

v

z2kk012345670012347nkn-k=0n-k=1n-k=2n-k=3n-k=4n-k=5n-k=65

6m=n-

kk已有关系：

u2n

v2ku2n2k定义母函数则：U(z)

u2n

z2n

1

v

u2nu

z2nn0k1U(z)

2nun!n!

2n!pqn

2n2n

2

4

2

2n

12n

3

3

1

pqnn!

n!

nn1/2

C4pqnpqnn!2n1n

1

/

23

/

2

1

/

2

n

1

2

n!2nu

z2nn0n!U(z)

Cn1/2n0

4pqn

z2nnn2C1/24pqz

n0

1

(1

4pqz2

)

22n步之后第一次返回原点的概率V(z)

1

1

4pqz2U(z)

1

U(z)V(z)V(z)

1-1/U(z)1/2Cnn0

1

4pqz2

n13+（-1）n

2n

12n

3

3

1

xn

+级数:2（1

x)

11

x

1

3

x2

1

3

52 2

42

4

6

x2nn!V(z)

1

1

4pqz2

=V2nz2nn12n2n

n!V

2n

32n

5

3

1

1

4pqn，

(n

0)

2n

2!4pqn2n2n1n!(n

1)!2n步之后第一次返回原点的概率2n2n步之后第一次返回原点的概率：Vpqn2n1

2

Cn2n

1级数:1232nn!+（-