课件-第八章8.6ren p一、公式

第六节一、

公

式二、简单的应用三、物理意义----通量与散度四、小结公式与散度一、

公式定理设

为空间有界闭区域，其边界曲面

由有限块光滑或分片光滑的曲面围成,若函数(,x,)Pyz

、

(,x,)Qyz

、

(,x,)Ryz在

上具有一阶连续偏导数,则有公式

xdz)ydRdP

Q

Rx

y

z((1)其中

表示

的边界曲面的外侧.公式(1)叫做

公式.)dV(P

Q

Rx

y

z

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS

或这里cos

,cos

,cos

是

上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.证明设闭区域

在面xoy上的投影区域为Dxy

.zxyo

由

,

和

三部分组成,1

2

3::1

z

z1

(

x,

y)

2

z

z2

(

x,

y)xy3

:

z1(x,

y)

z

z2

(x,

y),

(x,

y)D

2

3

1Dxy根据三重积分的计算法dz}dxdydV

xyDz

(

x

,

y

){z1

(

x

,

y

)2

RzRz

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy.Dxy根据曲面积分的计算法(1取下侧,2

取上侧,3

取外侧)

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]dxdy,1Dxy

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]dxdy,Dxy

2

R(

x,

y,

z)dxdy

0.

3于是

R(

x,

y,

z)dxdy

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy,Dxy

R(

x,

y,

z)dxdy.dV

RzdV

P(

x,

y,

z)dydz,

Px同理

xdz)yd

P

Q

Rx

y

z(------------------公式合并以上三式得：y

Q

dV

Q(

x,

y,

z)dydz,()dvx

y

z

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS.Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.P

Q

R由两类曲面积分之间的关系知例 计

算

zxzy

xy

xzyz

ddyxd，dd其d

中

是yx221，z

1及三坐标面围成的第一卦限 曲面的外侧。二、简单的应用例1

计算曲面积分

(

x

y)dxdy

(

y

z)

xdydz其中Σ为柱面x2

y2

1及平面z

0,z

3所围成的空间闭区域

的整个边界曲面的外侧.xzyo

1x

y

zP

y

z,

Q

0,

R

0,d原式

(y

z)dxdydz(利用柱面坐标得)

(

sin

z)dddz01

3(sin

z)dz020dxzyo

1解Q

0,

R

x

y,P

(

y

z)

x,.29

使用Guass公式时应注意:P,Q,R是对什么变量求偏导数;是否满足

公式的条件;Σ是取闭曲面的外侧.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧.例2计算曲面积分

x3dydz

y3dzdx

z3dxdy其中

为曲面：x2

y2

z2

a2

的外侧

y2

z2

)dVx

y

z原式

3(x2

3asin

d02

2020d解P

x3

,

Q

y3

,

R

z3

,5125r

r

dr

a

.P

3x2

,

Q

3

y2

,

R

3z2

,例3I

3r

3

r

3rx

dydz

y

dzdx

z

dxdy

.r

x2

y2

z2

,设

为球

的表面x2

y2

z2

a2

的外侧,计算曲面积分若为x

1,y

1,z

1所围成。xyzo例

4

计算曲面积分

(x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS

,其中Σ为锥面x2

y2

z2

介于平面z

0及z

h(h

0)之间的部分的下侧,

cos

,cos,cos

是Σ在(x,y,z)处的法向量的方向余弦.hDxyxyo

h解空间曲面在xoy

面上的投影域为Dxyz曲面不是封闭曲面,

为利用公式补充1

:

z

h

(

x

y

h

)

2

2

211取上侧

1构成封闭曲面

1围成空间区域.在上使用

公式,

1

2(

x

y

z)dV

2

zdV(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dSDxyhx

2

y

2zdz,

2

dxdy其中Dxy

{(

x,

y)

|

x

y

h

}.2

2

2

(

x2

cos

y2

cos

z2cos

)dS

(h2

x2

y2

)dxdy1xyD2

1

h4

.

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS

z2dS1

1

z2dxdy

h2dxdy

h4

.1故所求积分为

(

x2cos

y2

cos

z2

cos

)dS2

1

h4

h42

1

h4

.Dxy例5计算曲面积分I

x(8

y

1)dydz

2(1

y2

)dzdx

4

yzdxdy2

.旋转一周而成的曲面,其法向量与y

轴正向3,1

yy轴绕其中

是由曲线

x

0

yz1的夹角

于三、物理意义----通量与散度

设

有向量场F

(

x,

y,

z)

P(

x,

y,

z)i

Q(

x,

y,

z)

j

R(

x,

y,

z)k沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为1.通量(或流量)的定义:

Rdxdy

F

dS

称为向量场F

(x,y,z

)向正侧穿过曲面Σ的通量.2.散度的定义:设向量场F

(x,y,z)

P(

x,

y,

z)i

Q(

x,

y,

z)

j

R(

x,

y,

z)k公式可写成

divF

dV

F

dS

称数量P

Q

R为

在点(

xF,

y,z

)处的散度(divergence),

记为divF

,即

divF

x

y

zz

(

x

,

y

,z

)P

Q

Rx

y设有向量场F

(x,y,z),在场内作包围点M的闭曲面

,

包围的区域为V

,记体积为V

.1

V

F

dS

称为F在内的平均源强.,强度.MF)dSFlimlim

1

其中M

*

,由上式得11**在点MF处得上述极限称为

M

VV

V

(dMivFd)V,dFiv

MdSF

称F在M处有负源.称F

在M处有正源.

2)

当divF

(

M

)

0

时,

有

F

dS

0

,

1)

当divF

(

M

)

0

时,

有

F

dS

0

,如果divF(M

)在场内处处为零,称F为无源场.公式的物理意义:强度在

上的三重积分等于单位时间内流体通过

的边界流向外侧的总流量.四、小结1、

公式

divFdV

F

dS

（1）应用的条件（2）物理意义2、公式的实质Rdxdyx

y

zP

Q

R

)dV

(思考题曲面应满足什么条件才能使公式成立？思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.一、利用

公式计算曲面积分:1、

x

3

dydz

y

3

dzdx

z

3

dxdy

,其中

为球面x

2

y

2

z

2

a

2

外侧；2、

xdydz

ydzdx

zdxdy

,其中

是界于z

0

和

y

2z

3之间的圆柱体x

2

9

的整个表面的外侧；3、

xzdydz,其中

是上半球面R

2z

x

2

y

2

的上侧.练习题二、证明:由封闭曲面所包围的体积为V

1

(x

cos

y

cos

z

cos

)ds,式中3

cos

,cos

,cos

是曲面的外法线的方向余弦.三、求向量

A

(2

x

z)i

x

2

y

j

xz