原创2019年南方新课堂高考总复习数学理科第六章第1讲不等式概念与性质配套课件

考纲要求考点分布考情风向标了解现实世界和日常生活中的不等关系.了解不等式(组)的实际背景2011年大纲第5题考查不等式的基本性质；2016年

第5题考查不等关系不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高 多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题1.两个实数比较大小的方法作差法a＞b⇔a－b＞0a＜b⇔a－b＜0a＝b⇔a－b＝0作商法a

b>1⇔a>b(a，b>0)a

b<1⇔a<b(a，b>0)a

b＝1⇔a＝b(a，b>0)性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒

a＞c

⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性a＞bc＞0⇒ac>bc注意c的符号a＞b

ac＜bcc＜0⇒

2.不等式的基本性质(续表)性质性质内容特别提醒同向可加性a＞bc＞d⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性a＞b＞0c＞d＞0⇒ac

＞

bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)a，b

同为正数可开方性a>b>0⇒

n

a

>

n

b

(n∈N，n≥2)1.若

abcd＜0，且

a＞0，b＞c，d＜0，则(

D

)A.b＜0，c＜0B.b＞0，c＞0C.b＞0，c＜0D.0＜c＜b

或c＜b＜0解析：由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0.又∵b＞c，∴0＜c＜b

或c＜b＜0.2.设

0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(

D

)A.a3>b31

1B.a<bC.ab>1

D.lg(b－a)<0解析：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，所以

A

不正确；1

1，所以

B

不正确；由指数函数的图象a>b与性质可知：ab＜1，所以C

不正确；由题意可知：b－a∈(0,1).所以lg(b－a)＜0.所以D

正确.3.如果a，b，c

满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项不一定成立的是(

C

)A.ab>acC.cb2<ab2(－π，0)B.c(b－a)>0D.ac(a－c)<0解析：由题意知，c<0，a>0，则A

一定正确；B一定正确；D

一定正确；当b＝0

时，C

不正确.π

π4.若－2＜α＜β＜2，则

α－β

的取值范围是

.考点

1例

1：(1)(2016

年福建个式子中：不等式的基本性质月考)若x>y，a>b，则在下列五①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③a恒成立的不等式的序号是

.解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题意x>y，a>b.因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以a－x＝b－y.故①不成立；因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by.故③也不成立；所以恒成立的有②④.答案：②④因为y＝－3＝－1，x＝a

3

b

2－2a

b＝－1，所以y＝x.故⑤不成立.)(2)设0<a<b，则下列不等式成立的是(A.a<b<

ab<a＋b2B.a<

ab<a＋b2<bC.a<ab<b<a＋b2D.

ab<a<a＋b2<ba＋b2，比较a

与ab.解析：方法一，已知0<a<b

和ab<∵a2－(

ab)2＝a(a－b)<0，∴a<

ab.作差法：b－＝a＋b

b－a2

2>0，∴a＋b2<b.综上所述，a<

ab<a＋b2<b.方法二，取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5.∴a<

ab<答案：Ba＋b2<b.(3)(2014

年

)若

a>b>0，c<d<0，则一定有(

)a

b

a

b

a

bA.d>c

B.d<c

C.c>da

bD.c<d答案：B解析：∵c<d<0，∴－c>－d>0.1即－1

－

>0.d>

ca

－b

a

b又

a>b>0，∴－d>

c>0，即d<c.【规律方法】(1)判断一个关于不等式

题的真假时，先把要判断 题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，再应用性质判断命题的真假.(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.判断一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，此时只能用所学知识严密证明.【互动探究】1.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：其中能成立的个数是(

)A.1

B.2C.3D.4d

ca

b①ad＞bc；②

＋

＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c).解析：∵a＞0＞b>－a，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0.∴ad＜bc.∴①错误.∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0.∵c＜d＜0，∴－c0.∴②正确.∵c＜d，∴－c＞－d.∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d.∴③正确.∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c).∴④正确.故选C.答案：Ca

b＞－d＞0.∴a(－c)＞(－b)(－d).∴ac＋bd＜0.∴d＋c＝cdac＋bd＜考点

2利用作差比较大小又a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1.例2：在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，试比较下列各组数的大小.(1)a2与b2；(2)a5与b5.解：设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d.∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即d＝a1q2－12.(1)∵a2－b2＝a1q－(a1＋d)＝a1q－a1q2＋12121＝－

a

(q－21)

<0，∴a2<b2.(2)∵a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1q4－a1－2a1(q2－1)＝a1(q2－1)2>0，∴a5>b5.【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号.作差是依据，变形是 ，判断差的符号才是目的.常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等.有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等.总之，变形到能判断出差的符号为止.【互动探究】2.(2015

年浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(

)A.ax＋by＋czC.ay＋bz＋cxB.az＋by＋cxD.ay＋bx＋cz解析：由x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz.因为az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.故最低费用为az＋by＋cx.故选B.答案：B3.现给出三个③

7＋

10> 3＋

14.其中恒成立的不等式共有

2

14>0，所以成立；对于②，a所以②恒成立；对于③，因为(

72

42>0，且

7＋

10>0，

3＋即③恒成立.考点

3

利用作商比较大小例3：已知在正项数列{an}中，a1＝6，点

An(an，an＋1)在抛物线

y2＝x＋1

上；在数列{bn}中，点

Bn(n，bn)在过点(0,1)，方向向量为(1,2)的直线l

上.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若f(n)＝an，n为奇数，bn，n为偶数，*问：是否存在

k∈N

，使f(k＋27)＝4f(k)成立？若存在，求出k

的值；若不存在，说明理由；an＋11

1

1＋b

1＋b

·…·1＋b

1

2

n(3)对任意正整数

n，不等式

1

－annn－2＋a

≤0

恒成立，求正数

a

的取值范围.f(n)＝解：(1)将点An(an，an＋1)代入y2＝x＋1中，得an＋1＝an＋1.∴an＋1－an＝d＝1.∴an＝a1＋(n－1)×1＝n＋5，即an＝n＋5.直线l：y＝2x＋1，∴bn＝2n＋1.(2)存在，理由如下：n＋5，n为奇数，2n＋1，n为偶数，当k

为偶数时，k＋27

为奇数.假设f(k＋27)＝4f(k)，∴k＋27＋5＝4(2k＋1).∴k＝4.当k

为奇数时，k＋27

为偶数，35∴2(k＋27)＋1＝4(k＋5).∴k＝

(舍去).2综上所述，存在唯一的k＝4

符合条件.an＋11

1

1＋b

1＋b

·…·1＋b

2

n(3)由

1

－annn－2＋a

≤0，得a≤2n＋31

1

12

1

1

1

n1＋b

1＋b

·…·1＋b

.记f(n)＝2n＋3

1

12

1

1

1

n1＋b

1＋b

·…·1＋b

，则f(n＋1)＝2n＋5

1

12

1

1

1

1

n

bn＋11＋b

1＋b

·…·1＋b

1＋

.ffn2n＋5

∵

＝

·1＋n＋1

2n＋3

1 bn＋1＝·2n＋3

2n＋42n＋5

2n＋3＝

2n＋4

2n＋5· 2n＋

＝34n2＋16n＋164n2＋16n＋15>1.∴f(n＋1)>f(n)，即f(n)单调递增.B判断商值与1

的大小关系.指数不等式常用作商法证明.有时要用到指数函数的性质.如若a＞1，且x＞0，则ax

＞1

等.min54

4

5∴f(n)

＝f(1)＝

1

×＝

.3

154

5∴0<a≤

15

.【规律方法】第(2)小题要分k

为奇数和偶数两种情况来讨论；第(3)小题利用作商法判断数列的单调性.所谓作商法：若B＞0，欲证

A≥B，只需证A

1.其步骤为：作商式、商式变形≥【互动探究】4.比较1816与1618的大小.解：181618＝1816

116

16

16

2＝

916

1

92

8

216＝

16.∵

9

8

2∈(0,1)，∴8

9

8

216＜1.∵1618＞0，∴1816＜1618.易错、易混、易漏⊙忽略考虑等号能否同时成立例题：设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围.正解：方法一，设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n

为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).则有n－m＝－2