集合与常用逻辑用语课件

第一章集合与常用逻辑用语[知识能否忆起]一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：

、

、

．

2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有

和

两种，表示符号为

和

.确定性互异性无序性属于不属于∈∉第一章集合与常用逻辑用语[知识能否忆起]确定性互异性无序性3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：

、

、

．集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示列举法描述法韦恩图NN*或N＋ZQR3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：二、集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一元素均为B中的元素

或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有

或空集空集是任何集合的子集空集是任何

的真子集__________A＝BA⊆BB⊇AABBA∅⊆B非空集合∅B(B≠∅)二、集合间的基本关系描述文字语言符号语言集合相等集合A与集合三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪[小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B

＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则 (

)A．A⊆B

B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D

解析：选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.答案：B[小题能否全取]2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝ (

)A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．答案：B2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是 (

)A．2 B．2或3C．1或3 D．1或2解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．答案：D3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B

＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举

法写出图中阴影部分表示的集合为________．

解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}．答案：

{2,8}4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,答答案：{0}答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．1.正确理解集合的概念[例1]

(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (

)A．3 B．6C．8 D．10[例1](1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,

(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.

[自主解答]

(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，lo[答案]

(1)10

(2)－1或0[答案](1)10(2)－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为(

)A．9 B．8C．7 D．61．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A集合与常用逻辑用语课件[例2]

(1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 (

)A．1

B．2C．3 D．4[例2](1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2

(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.[自主解答]

(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

(2)由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

[答案]

(1)4

(2)4(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻A．[－2012,2013] B．(－2012,2013)C．[－2013,2011] D．(－2013,2011)A．[－2012,2013] B．(－2012,答案：(－2012,2013)答案：(－2012,2013)[例3]

(1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(

)A．M∪N

B．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)[例3](1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．[自主解答]

A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．∴m＝1或2.[答案]

(1)D

(2)1或2②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．

解：由M∩N＝N得M⊇N.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(0,1]

A．[0,1] B．[0,1)答案：D答案：D以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个1．创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．A．1

B．3C．7 D．311．创新集合新定义A．1B．3[答案]

B[题后悟道]

该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决．[答案]B[题后悟道]该题是集合新定义的2．创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．[典例2]设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝ (

)A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}2．创新集合新运算[解析]由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．[答案]

B[题后悟道]解决创新集合新运算问题常分为三步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．[解析]由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<3．创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．A．1 B．－1C．0 D．i3．创新集合新性质A．1 B．－1[解析]∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.[答案]

B[题后悟道]此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素．[解析]∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知教师备选题（给有能力的学生加餐）答案：－1解题训练要高效见“课时跟踪检测（一）”教师备选题（给有能力的学生加餐）答案：－1解题训练要高效见“2．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足

S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是 (

)A．57 B．56C．49 D．8解析：由S⊆A且S∩B≠∅可知：元素4,5,6中至少有一个是S中的元素．S中的其余元素是从1,2,3中选1个，2个，3个或不选．故S的个数为(C＋C＋C)×23＝56.答案：

B2．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x，Venn图如图所示，∴(20－x)＋6＋5＋4＋(9－x)＋x＝36，解得x＝8.答案：83．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小解析：由题4．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x≤4a－9}，若A，B中至少有一个不是空集，则a的取值范围是________．解析：若A，B全为空集，则实数a满足4－4a<0且a>4a－9，即1<a<3，则满足题意的a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)4．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x集合与常用逻辑用语课件答案：D答案：D[知识能否忆起]一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以

的陈述句叫做命题．其中

的语句叫做真命题，

的语句叫做假命题．判断真假判断为真为假判断[知识能否忆起]判断真假判断为真为假判断二、四种命题及其关系1．四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题

否命题

逆否命题若q，则p二、四种命题及其关系命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命2．四种命题间的逆否关系2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有

的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

．三、充分条件与必要条件

1．如果p⇒q，则p是q的

，q是p的

．

2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的

．相同没有关系充分条件必要条件充要条件3．四种命题的真假关系相同没有关系充分条件必[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为(

)答案：A[小题能否全取]答案：A答案：C答案：C3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．答案：C3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.

解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．

答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a>b”是“a2>b2”成立的充分条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”成立的必要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”成立的充要条件．答案：②③5．下列命题中所有真命题的序号是________．答案：②③1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．1.充分条件与必要条件的两个特征2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．2．从逆否命题，谈等价转换[例1]

[例1]

A．①②③④ B．①③④C．②③④ D．①④[自主解答]

①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．[答案]

BA．①②③④ B．①③④[答案]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函[例2]

(1)(2012·浙江十校联考)设x∈R，那么“x<0”是“x≠3”的 (

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件(2)(2012·北京高考)设a，b∈R,“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的 (

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件[例2](1)(2012·浙江十校联考)设x∈R，那么“x[自主解答]

(1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0<x<2，故由x2－2x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x2－2x<0”的必要而不充分条件．(2)当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．[答案]

(1)B

(2)B[自主解答](1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及2．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.2．下列各题中，p是q的什么条件？[例3]

方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 (

)A．0<a≤1

B．a<1C．a≤1 D．0<a≤1或a<0[例3]方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充集合与常用逻辑用语课件法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.[答案]

C法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/

p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/

/q，且q⇒p；(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充3．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是

(

)3．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x2－[答案]

D[答案]D[典例]

(2012·山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[典例](2012·山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f[常规解法]

“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0<a<1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a>0，即a<2.又因为a>0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0<a<2且a≠1.显然p⇒q，但q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．[答案]

A[常规解法]“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．2．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．[巧思妙解]

p：“函数f(x)＝ax在R上是减函数”等价于0<a<1.q：“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”等价于2－a>0，即a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子集．故答案为充分不必要.[巧思妙解]p：“函数f(x)＝ax在R集合与常用逻辑用语课件答案：B

答案：B教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝ (

)A．1 B．2C．3 D．4解题训练要高效见“课时跟踪检测（二）”教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·济南模拟)在解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.答案：

B解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2xA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案：

BA．充要条件 B．充分不必要条件答案：B3．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．3．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命集合与常用逻辑用语课件集合与常用逻辑用语课件[知识能否忆起]一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作

，读作“

”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作

，读作“

”．p∧qp且qp∨qp或q[知识能否忆起]p∧qp且qp∨qp或q假一真一假假一真一假(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为

，读作“

”．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“

”“

”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“

”表示．(2)含有

的命题，叫做全称命题．

所有的任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)对任意x属于M，有p(x)成立(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为

，读作“

”．2．存在量词与特称命题(1)短语“

”“

”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“

”表示．(2)含有

的命题，叫做特称命题．

存在一个至少有一个∃存在量词∃x0∈M，P(x0)存在M中的元素x0，使p(x0)成立(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(三、含有一个量词的命题的否定三、含有一个量词的命题的否定[小题能否全取]1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则(

)A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题C．綈p是真命题 D．綈q是真命题答案：D

[小题能否全取]答案：C

答案：C答案：D

答案：D答案：所有的三角形都不是等边三角形答案：所有的三角形都不是等边三角形1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．1.逻辑联结词与集合的关系集合与常用逻辑用语课件[答案]

D[答案]D2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是 (

)A．①③ B．②④C．②③ D．①④1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：(2)(2012·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是 (

)A．(4，＋∞) B．[1,4]C．[e,4] D．(－∞，1]解析：“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.答案：(1)

A(2)

C(2)(2012·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列C．∀x∈R,3x≠0D．∃x0∈R，lgx0＝0[例2]

下列命题中的假命题是 (

)A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列[例2[答案]

B[答案]B

1．全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立;

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．

2．存在性命题真假的判断方法要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．1．全称命题真假的判断方法答案：C

答案：C[例3]

(2013·武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是 (

)A．所有能被2整除的整数都是奇数B．所有不能被2整除的整数都不是奇数C．存在一个能被2整除的整数是奇数D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[例3](2013·武汉适应性训练)命题“[自主解答]

命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.[答案]

D[自主解答]命题“所有不能被2整除的整数都若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．

答案：所有能被2整除的整数都不是奇数若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_

1．弄清命题是全称命题还是存在性命题是写出命题否定的前提．

2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．1．弄清命题是全称命题还是存在性命题是写出命题否定的前提4．常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x∈A使p(x)假4．常见词语的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个答案：C答案：C

[典例]

(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 (

)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[典例](2012·湖北高考)命题“存在一个无理

[尝试解题]

特称命题的否定为全称命题，即将“存在”改为“任意”，并将其结论进行否定．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．[答案]

B[尝试解题]特称命题的否定为全称命题，即将1.因只否定量词不否定结论，而误选A.2.对含有一个量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.1.因只否定量词不否定结论，而误选A.解析：全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤32．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.答案：有些可以被5整除的数，末位不是0解析：全称命题的否定是存在性命题，全称量词“任何”改为存在量解题训练要高效见“课时跟踪检测（三）”教师备选题（给有能力的学生加餐）解题训练要高效见“课时跟踪检测（三）”教师备选题（给有能力的A．p1，p4 B．p2，p3C．p1，p3 D．p2，p4解析：对于p1：∵a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C.答案：AA．p1，p4 B．p2，p3集合与常用逻辑用语课件3．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．3．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方集合与常用逻辑用语课件第一章集合与常用逻辑用语[知识能否忆起]一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：

、

、

．

2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有

和

两种，表示符号为

和

.确定性互异性无序性属于不属于∈∉第一章集合与常用逻辑用语[知识能否忆起]确定性互异性无序性3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：

、

、

．集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示列举法描述法韦恩图NN*或N＋ZQR3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：二、集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一元素均为B中的元素

或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有

或空集空集是任何集合的子集空集是任何

的真子集__________A＝BA⊆BB⊇AABBA∅⊆B非空集合∅B(B≠∅)二、集合间的基本关系描述文字语言符号语言集合相等集合A与集合三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪[小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B

＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则 (

)A．A⊆B

B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D

解析：选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.答案：B[小题能否全取]2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝ (

)A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．答案：B2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是 (

)A．2 B．2或3C．1或3 D．1或2解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．答案：D3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B

＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举

法写出图中阴影部分表示的集合为________．

解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}．答案：

{2,8}4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,答答案：{0}答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．1.正确理解集合的概念[例1]

(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (

)A．3 B．6C．8 D．10[例1](1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,

(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.

[自主解答]

(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，lo[答案]

(1)10

(2)－1或0[答案](1)10(2)－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为(

)A．9 B．8C．7 D．61．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A集合与常用逻辑用语课件[例2]

(1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 (

)A．1

B．2C．3 D．4[例2](1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2

(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.[自主解答]

(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

(2)由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

[答案]

(1)4

(2)4(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻A．[－2012,2013] B．(－2012,2013)C．[－2013,2011] D．(－2013,2011)A．[－2012,2013] B．(－2012,答案：(－2012,2013)答案：(－2012,2013)[例3]

(1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(

)A．M∪N

B．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)[例3](1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．[自主解答]

A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1或m＝2符合条件．∴m＝1或2.[答案]

(1)D

(2)1或2②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．

解：由M∩N＝N得M⊇N.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(0,1]

A．[0,1] B．[0,1)答案：D答案：D以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个1．创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．A．1

B．3C．7 D．311．创新集合新定义A．1B．3[答案]

B[题后悟道]

该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决．[答案]B[题后悟道]该题是集合新定义的2．创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．[典例2]设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝ (

)A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}2．创新集合新运算[解析]由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．[答案]

B[题后悟道]解决创新集合新运算问题常分为三步：(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．[解析]由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<3．创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．A．1 B．－1C．0 D．i3．创新集合新性质A．1 B．－1[解析]∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋