【教学课件】环节二 充要条件

常用逻辑用语环节二充要条件问题1类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？具体实例——抽象概念——辨析概念——应用概念．什么是充要条件充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关如何判断充要条件引入新课

问题2

将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”称这个命题为原命题的逆命题.请分别写出下列命题的逆命题．③若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；④若A∪B是空集，则A与B均是空集．②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；引入新课

（2）①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；解：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；问题2

将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”称这个命题为原命题的逆命题.请分别写出下列命题的逆命题．引入新课

解：（2）②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；若ac＜0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；④若A∪B是空集，则A与B均是空集．若A与B均是空集，则A∪B是空集．问题2

将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”称这个命题为原命题的逆命题.请分别写出下列命题的逆命题．引入新课问题3

对于下列“若p，则q”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集．原命题为真，逆命题为真；原命题为真，逆命题为假；原命题为假，逆命题为真；原命题为真，逆命题为真．探究新知追问1

根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？答案：（1）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；原命题为真，逆命题为真；探究新知追问1

根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？答案：（2）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为假，所以p不是q的必要条件；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；原命题为真，逆命题为假；探究新知追问1

根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？答案：（3）原命题为假，所以p不是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；原命题为假，逆命题为真；探究新知追问1

根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？答案：（4）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件．（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集．原命题为真，逆命题为真．探究新知追问2

阅读教科书第20页最后一段到第21页第一段完，你能说说什么是充要条件吗？答案：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，则记作p

q．此时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q充分必要条件，简称为充要条件．探究新知问题4

根据定义，上述四个命题中，哪些p是q的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p应该称为q的什么条件？你认为如何判断p是q的什么条件？命题（1）（4）中的p是q充要条件．对于命题（2），p是q的充分条件，p不是q的必要条件，称p是q的充分不必要条件；对于命题（3），p不是q的充分条件，p是q的必要条件，称p是q的必要不充分条件．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集．探究新知答案：如果p不是q的充分条件，也不是q的必要条件，称p是q的既不充分又不必要条件．问题4

根据定义，上述四个命题中，哪些p是q的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p应该称为q的什么条件？你认为如何判断p是q的什么条件？探究新知充分不必要条件：“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为假；必要不充分条件：“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为真；即不充分又不必要条件：“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为假命题．充要条件：“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为真命题；判断方法：命题法探究新知例3

下列各题中，p是q的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p：两个三角形全等，q：两个三角形三边成比例；（2）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分；（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；（4）p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0（a≠0）．追问1

判断p是q的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）探究新知追问2

例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？①四边形一组对边平行且相等；②四边形两条对角线互相平分；③四边形的两组对边分别相等；④四边形的两组对边分别平行；……探究新知追问3

这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．探究新知例4

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．追问依据充要条件定义，证明“d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．探究新知需要证明的命题以及证明思路：（1）若d＝r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”

“直线l与⊙O有且只有一个公共点”

“先根据条件“d＝r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.例4

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．探究新知需要证明的命题以及证明思路：例4

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．（2）若直线l与⊙O相切，则d＝r．思路：由“直线l与⊙O相切”⇒“直线l与⊙O有且只有一个公共点P”⇒“OP⊥l，OP＝r”⇒“d＝r”．这一步称为“必要性”．探究新知

如图，作OP⊥l于点P，则OP＝d．若d＝r，则点P在⊙O上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．例4

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．证明：（1）充分性（⇒）：探究新知证明：（2）必要性（）：若直线l与⊙O相切，不防设切点为P，则OP⊥l．由（1）（2）得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．因此d＝OP＝r．例4

已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．探究新知问题