【教学课件】环节二 三角函数的概念（二）

三角函数的概念环节二三角函数的概念（二）确定方案问题1前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？答案：根据一般函数的研究路径，接下来应该研究三角函数的图象与性质，但是三角函数与其他函数不同，三角函数是通过单位圆上点的坐标或坐标比值定义的，而单位圆具有丰富的几何性质，这种性质反映到三角函数上，就会呈现出丰富的性质．所以，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数所特有的性质．1．发现规律问题2由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律？如何用集合语言表示这种规律？答案：对于正弦函数，当角α的终边位于x轴上方时，sinα＞0；当角α的终边位于x轴下方时，sinα<0；当角α的终边位于x轴上时，sinα=0．用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}时，sinα＞0；当α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}时，sinα＜0；当α∈{β|β=kπ，k∈Z}时，sinα=0．其他两个函数也有类似结果．新知探究2．应用规律答案：先证充分性．因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．新知探究例1求证：角θ为第三象限角的充要条件是3．发现规律答案：

可以研究取值的规律．

问题3

前面研究了三角函数值的符号规律，你认为接着可以研究什么问题？新知探究3．发现规律答案：

（1）三角函数值相等、互为相反数等等．（2）发现终边相同的角的三角函数值相等．用符号语言表示为：sin(α+k∙2π)=sinα，cos(α+k∙2π)=cosα，tan(α+k∙2π)=tanα，其中k∈Z．这组公式称为“诱导公式一”．追问1

（1）三角函数的取值规律中，你认为有哪些特殊情况值得研究？（2）前面研究过终边相同的角，那么它们的三角函数值之间有什么关系呢？请用符号语言表示你发现的规律．新知探究3．发现规律答案：

（1）诱导公式一体现了三角函数值有“周而复始”的变化规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．追问2

（1）观察诱导公式一，你发现三角函数的取值有怎样的变化规律？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？新知探究4．应用规律例2

确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos250°；

（2）sin

；（3）tan(－672°)；

（4）tan3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0；（3）因为tan(－672°)＝tan(48°－2×360°)＝tan48°，而48°是第一象限角，所以tan(－672°)＞0；（4）因为tan3π＝tan(π+2π)=tanπ，而π的终边在x轴上，所以tanπ=0．（2）因为是第四象限角，所以sin

＜0；新知探究4．应用规律解：（1）sin1480°10′=sin(40°10′+4×360°)=sin40°10′≈0.645；例3

求下列三角函数值：（1）sin1480°10′（精确到0.001）；

（2）cos

；

（3）tan

．（2）

；

（3）

．

新知探究归纳小结问题4

（1）本节课学习了哪些知识点，你能在上节课的基础上继续完善本单元的知识结构图吗？归纳总结（2）本节课在三角函数定义的基础上，研究了三角函数的两条性质，它的研究方法和幂函数、指数函数等函数性质的研究方法有什么不同？归纳小结归纳总结

答案：（1）归纳小结归纳总结（2）对于幂函数、指数函数和对数函数，都是从代数角度进行论证的．三角函数的这两条性质是