专题10独立性检验与线性回归方程讲义-高考数学艺体生一轮复习（全国通用）

独立性检验一、列联表某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查学生，得到如表的列联表：喜欢该项运动不喜欢该项运动总计男女总计计算公式：独立性检验：利用随机变量来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法四、观测值：例：某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如表的列联表：并判断是否有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”1．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2＝，得K2＝.参照下表，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828正确的结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”2．某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如表的列联表：由公式，算的附表：参照附表：以下结论正确的是（）A.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”B.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”C.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”3．为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检验法算得的观测值为6（所用数据可参考卷首公式列表），则下列说法正确的是（）A.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”B.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和没有关系”C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和有关系”D.在犯错误的概率不超过的前提下认为“和没有关系”4．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀学习成绩不优秀合计附表：经计算，则下列选项正确的是（）A.有的把握认为使用智能手机对学习有影响B.有的把握认为使用智能手机对学习无影响C.有的把握认为使用智能手机对学习有影响D.有的把握认为使用智能手机对学习无影响5．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表女男合计读营养说明162844不读营养说明20828总计363672请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系()A.99%的可能性B.99.75%的可能性C.99.5%的可能性D.97.5%的可能性6．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：认为作业量大认为作业量不大合计男生18927女生81523合计262450若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过()附：K2P(K2>k0)0.150.100.050.0250.010.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828A.0.01B.0.025C.0.10D.0.057．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在分以下的学生后，共有男生名，女生名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为组，得到如下频数分布表.（Ⅰ）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，能否判断数学成绩与性别有关；（Ⅱ）规定分以上为优分（含分），请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有％以上的把握认为“数学成绩与性别有关”，（，其中）8．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100⑴根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.0.1000.0500.0102.7063.8416.635附：，9．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝.10．为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．男生女生合计优秀不优秀合计（Ⅰ）求a和n的值；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：K2=．P（K2≥k）0.500.050.0250.005k0.4553.8415.0247.87911．在某次电影展映活动中，展映的影片有科幻片和文艺片两种类型，统计一随机抽样调查的样本数据显示，100名男性观众中选择科幻片的有60名，女性观众中有的选择文艺片，选择文艺片的观众中男性观众和女性观众一样多.（Ⅰ）根据以上数据完成下列列联表（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为选择影片类型与性别有关？附：…0.100.050.0250.0100.001…2.7063.8415.0246.63510.82812．为做好2022年北京冬季奥运会的宣传工作，组委会计划从某大学选取若干大学生志愿者，某记者在该大学随机调查了1000名大学生，以了解他们是否愿意做志愿者工作，得到的数据如表所示：愿意做志愿者工作不愿意做志愿者工作合计男大学生610女大学生90合计800（1）根据题意完成表格；（2）是否有的把握认为愿意做志愿者工作与性别有关？参考公式及数据：，其中.0.250.150.100.050.0251.3232.0722.7063.8415.02413．为了解一家企业生产的某类产品的使用寿命(单位：小时)，现从中随机抽取一定数量的产品进行测试，绘制频率分布直方图如图所示.(1)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估算这批产品的平均使用寿命；(2)已知该企业生产的这类产品有甲、乙两个系列，产品使用寿命不低于60小时为合格，合格产品中不低于90小时为优异，其余为一般.现从合格产品中，用分层抽样的方法抽取70件，其中甲系列有35件(1件优异).请完成下面的列联表，并根据列联表判断能否有95%甲系列乙系列合计优异一般合计参考数据：P0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式：K2=n14．2月21日教育部举行新闻发布会，介绍2017年全国靑少年校园足球工作计划，提出将着力提高校园足球特色学校的建设质量和水平，争取提前完成建设万所校园足球特色学校，到2025年校园足球特色学校将达到万所.为了调查学生喜欢足球是否与性别有关，从某足球特色学校抽取了名同学进行调查，得到以下数据(单位:人)：喜爱不喜爱合计男同学女同学合计（1）能否在犯错概率不超过的前提下认为喜爱足球与性别有关？（2）现从个喜爱足球的同学中按分层抽样的方法抽出人，再从里面任意选出人对其训练情况进行全程跟踪调查，求选出的刚好是-男一女的概率.附表及公式：，其中15．某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？附：K2P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024变量间的相关关系及线性回归直线方程变量间的相关关系函数关系相关关系二、散点图（正相关，负相关）1．若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系（）A.相关性B.函数关系C.无任何关系D.不能确定2．对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断()A.变量与正相关，与正相关B.变量与正相关，与负相关C.变量与负相关，与正相关D.变量与负相关，与负相关3．在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（2）（3）4．已知变量x,y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（）A.y=1.5x+2B.y=−1.5x−2C.y=1.5x−2D.y=−1.5x+25．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是()x45678910y14181920232528A.线性函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型6．根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为=x+，则()A.>0，<0B.>0，>0C.<0，<0D.<0，>07．下表是一组学生的物理和数学成绩对比表．由下表可知()学生数学成绩/分85807570656055物理成绩/分75706668646258A.数学与物理成绩是一种函数关系B.数学与物理成绩是一种正相关关系C.数学与物理成绩是一种负相关关系D.数学与物理成绩没关系三、计算公式（最小二乘法）其中为样本中心，回归直线必过该点例1．观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度（单位：毫米/月）与月平均气温的对比表如下：温度-5068121520生长速度24567810（1）求生长速度关于温度的线性回归方程；（斜率和截距均保留为三位有效数字）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析气温从至时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是时，预测这月大约能生长多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．习题组1．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5)，则y与x之间的线性回归方程为(  )A. y∧=x−1B. y2．假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：若y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程y=a+bx必过的点是（x1245y11.55.58A.(2,2)B.(1,2)C.(4,5)D.(3,4)3．已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程＝x＋必过点()x0123y1245A.(2,2)B.(1,2)C.(1.5,3)D.(1.5,0)4．某公司在2012-2016年的收入与支出情况如下表所示：收入x（亿元）2.22.64.05.35.9支出y（亿元）0.21.52.02.53.8根据表中数据可得回归直线方程为y=0.8x+a，依此估计如果2017年该公司收入为A.4.5亿元B.4.4亿元C.4.3亿元D.4.2亿元5．对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示:根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为,则（）A.B.C.D.6．一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据如下表：年龄（岁）6789身高（cm）118126136144由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为A.154B.153C.152D.1517．下表是某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据（其中有一个数据模糊不清，用表示），且根据下表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）34562.54.04.5A.3B.3.15C.3.5D.4.58．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃）181310-1用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为（）A.68度B.52度C.12度D.28度9．散点图在回归分析过程中的作用是（）A.查找个体个数B.比较个体数据大小关系C.探究个体分类D.粗略判断变量是否线性相关10．身高与体重有关系可以用________来分析．()A.残差B.回归分析C.等高条形图D.独立检验11．若线性回归方程为＝2－3.5x，则当变量x增加一个单位时，变量y()A.减少3.5个单位B.增加2个单位C.增加3.5个单位D.减少2个单位12．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是()x3456y2.5t44.5A.产品的生产能耗与产量呈正相关B.t的取值必定是3.15C.回归直线一定过(4.5,3.5)D.A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨13．已知与之间的一组数据：12343.24.87.5若关于的线性回归方程为，则的值为（）．A.1B.0.85C.0.7D.0.514．已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋，则等于()A.1.30B.1.45C.1.65D.1.80四、线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）注：1．为研究两个变量之间的关系，选择了4个不同的模型进行拟合，计算得它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）A.相关指数为0.96B.相关指数为0.75C.相关指数为0.52D.相关指数为0.342．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（）A.0.27B.0.85C.0.96D.0.53．研究变量，得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；③由样本数据得到的回归方程一定过样本点的中心；④若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（）A.1B.2C.3D.44．下列关于样本相关系数的说法不正确的是A.相关系数用来衡量与间的线性相关程度B.且越接近于0，相关程度越小C.且越接近于1，相关程度越大D.且越接近于1，相关程度越大5．两个变量之间的线性相关程度越低，其线性相关系数的数值（）A.越接近于-1B.越接近于0C.越接近于1D.越小6．对两个变量x、y进行线性回归分析，计算得到相关系数r=−0.9962，则下列说法中正确的是（）A.x与y正相关B.x与y具有较强的线性相关关系C.x与y几乎不具有线性相关关系D.x与y的线性相关关系还需进一步确定1．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）画出散点图；（2）求y关于x的线性回归方程。（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．2．某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据，且与线性相关。245683040605070根据表中提供的数据得到线性回归方程中的b=6.5。(1)求的值。(2)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元的广告费？3．已知某商品的价格（元）与需求量（件）之间的关系有如下一组数据：14161820221210753（1）求,;（2）求出回归直线方程（3）计算相关系数r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。（参考公式：，）参考数据：当n-2=3，,4．某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）画出散点图；并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，求回归直线方程y=bx+a（3）据此估计广告费用为10时，销售收入y的值.（参考公式：b=i=15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验如下：零件的个数（个）2345加工的时间（小时）2.5344.5（1）在给定坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求关于的线性回归方程；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？附：，6．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：，，，．参考公式：相关系数，回归方程，，本题中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．统计与概率高考真题一、单选题1．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A． B． C． D．4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A． B． C． D．5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A． B． C． D．7．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7演出比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，得到7个有效分，7个有效分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差二、填空题9．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.10．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.11．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.12．有编号互不相同的五个砝码，其中克、克、克砝码各一个，克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为克的概率是_____．13．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．14．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．15．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．三、解答题16．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.的分组企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：.18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.19．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．20．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从