【知识点解析】二次根式知识卡片大全

二次根式的发展史二次根式与开平方运算及二次方程求解相关，几乎所有的文明古国对开平方运算都早有研究.古巴比伦人制作了平方根表、立方根表.古埃及人也有开平方计算，他们用“Γ”表示平方根.中国古代的数学著作《九章算术》也记载有“开方术”和一元二次方程的数值求解程序.3世纪的数学家刘徽，在他所著的《九章算术注》的“割圆术”中，用勾股定理计算圆内接正多边形边长时，出现了比较复杂的二次根式.奥地利数学家鲁道夫于16世纪引进的二次根式符号“”，使二次根式表示简约明了.从法国数学家韦达开始，数学家们进行了代数符号系统化工作，使二次根式更方便地成为数学计算的工具.二次根式引入蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即时是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量也明显不是一个数量级的.但是下面的“推导”却让我们大吃一惊：蚂蚁和大象一样重！？

设蚂蚁的重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即

x+y=2a.两边同乘(x-y)，得(x+y)(x-y)=2a(x-y)，即x²-y²=2ax-2ay.可变形为x²-2ax=y²-2ay.两边都加上a²，得(x-a)²=(y-a)².

得x-a=y-a，所以x=y.这里竟然得出了“蚂蚁和大象一样重”的结论，岂不荒唐！那么问题究竟出在哪里呢？二次根式与算术平方根总结二次根式的性质

二次根式的乘除

二次根式的乘法法则积的算术平方根的性质

二次根式的除法法则商的算术平方根的性质

数学家-秦九韶秦九韶（约1202—约1261），字道古，南宋数学家.他在1247年完成著作《数书九章》.《数书九章》是一部划时代的数学巨著，全书共18卷，81题，分为九大类.此书实用性强，所设问题复杂，解题步骤详细，对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等有十分深入的研究.二次根式知识结构图二次根式知识结构图二次根式的乘除知识结构图二次根式的加减知识结构图二次根式的定义

二次根式的性质

注意：①化简时一定要先将它化为，再根据绝对值的意义行化简.②注意与的区别与联系.

积（商）的算术平方根的性质积的算术平方根性质：商的算术平方根性质：注意：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用.（2）商的算术平方的性质的实质是逆用二次根式的除法法则，其前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数，其作用是化简二次根式，将分母中的根号化去.分母有理化定义化去分母中根号的变形叫作分母有理化依据方法将分子和分母都乘分母的有理化因式拓展（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互拓展为有理化因式;（2）常用的有理化因式：最简二次根式

定义一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式

满足

两个

条件（1）被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数（或式）；（2）被开方数中每个因数（式）的指数都小于根指数2，即每个因数（式）的指数都是1.

三

个

步

骤一分，利用因数（式）分解的方法把被开方数的分子，分母都化成质因数（式）的幂的乘积形式；二移，把能开得尽方的因数（式）用它的算术平方根代替，移到根号外，其中，把根号内的分母中的因式移到根号外要注意应写在分母的位置上；三化，将分母有理化，化去被开方数中的分母.同类二次根式的判断（1）同类二次根式类似于整式中的同类项.（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同.同类二次根式的判断:化简二次根式的步骤（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.化简二次根式的步骤:化简二次根式的步骤（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.化简二次根式的步骤:二次根式的乘除法（2）二次根式的除法法则：二次根式的乘除法（1）二次根式的乘法法则：注意：①

是积的算术平方根性质的逆用，此法则可推广到多个二次根式相乘，即.是商的算术平方根性质的逆用，如果a，b是负数，那么

无意义.二次根式的加减（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号;②把不是最简二次根式的二次根式进行化简;③合并被开方数相同的二次根式.注意：①与整式的加减类似，二次根式的加减，就是化简后合并被开方数相同的二次根式，合并时，只将二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变.②二次根式中的系数不能写成带分数.③二次根式的加减法也满足加法交换律和结合律.比较二次根式大小的方法（1）被开方数法：若根号外有数，可先将根号外的数平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.（2）平方法：如果a>b>0,则;如果0<a<b,则（3）估算法：若一个非负数a介于另两个非负数c，d之间，则（4）倒数法