高等数学d121常数项级数课件

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算常数项级数幂级数傅里叶级数第十二章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、收敛级数的基本性质第一节第十二章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的一、常数项级数的概念引例1.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正式中的项数无限增多一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆定义：给定一个数列由这个数列称为常数项无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.构成的表达式,简记为当n依次取1,2,3,…时，他们构成一个新的数列：定义：给定一个数列由这个数列称为常数项无穷级数，其中第n定义：如果级数收敛

,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作的部分和数列{Sn}有极限S，即则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然定义：如果级数收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作例1.

讨论等比级数

(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合例2.

证明级数是发散的.证明：这级数的部分和为：显然，因此所给级数是发散的.例2.证明级数是发散的.证明：这级数的部分和为：显然，因此例3.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为二、收敛级数的基本性质性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数k

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为kS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

.即其和为kS.二、收敛级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或相减

.(用反证法可证)说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项,不会改变级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项,不会改变级数的敛散性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:三、级数收敛的必要条件性质5：设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散

.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.三、级数收敛的必要条件性质5：设收敛级数则必有证:可见注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发例4.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)这说明原级数收敛,其和为3.(3)这说明原级数收敛,其和为3.(3)作业

P2581(3)；

2(3),(4)；

4(1),(3),(5).

作业无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算常数项级数幂级数傅里叶级数第十二章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、收敛级数的基本性质第一节第十二章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的一、常数项级数的概念引例1.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正式中的项数无限增多一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆定义：给定一个数列由这个数列称为常数项无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.构成的表达式,简记为当n依次取1,2,3,…时，他们构成一个新的数列：定义：给定一个数列由这个数列称为常数项无穷级数，其中第n定义：如果级数收敛

,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作的部分和数列{Sn}有极限S，即则称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然定义：如果级数收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作例1.

讨论等比级数

(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合例2.

证明级数是发散的.证明：这级数的部分和为：显然，因此所给级数是发散的.例2.证明级数是发散的.证明：这级数的部分和为：显然，因此例3.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为二、收敛级数的基本性质性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数k

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为kS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

.即其和为kS.二、收敛级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或相减

.(用反证法可证)说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项,不会改变级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质3.在级数中加上、去掉或改变有限项,不会改变级数的敛散性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:三、级数收敛的必要条件性质5：设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散

.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.三、级数收敛的必要条件性质5：设收敛级数则必有证:可见注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发例4.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(