新课标2023版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第5节解三角形的实际应用教师用书

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D．南偏西80°D解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°．3．如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为()A．eq\f(25\r(2),2)m B．25eq\r(2)mC．50eq\r(2)m D．50eq\r(3)mC解析：在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得eq\f(AC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(50,\f(1,2))＝eq\f(AB,\f(\r(2),2))，所以AB＝50eq\r(2)(m)．故选C．4．如图，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得点A的仰角分别为60°，30°，则点A离地面的高度AB＝________．eq\f(\r(3),2)a解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a．5．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在点C处测得塔顶A的仰角是45°，在点D处测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________．40m解析：设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝eq\r(3)x．在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40m．考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题(2021·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．80eq\r(5)解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°．由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°．由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5)，故图中海洋蓝洞的口径为80eq\r(5)．测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向2测量高度问题如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角．小王沿河岸向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为_________m．600eq\r(2)解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6)(m)．在△ACD中，因为tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，所以DC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2)(m)．求解高度问题的基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．考向3测量角度问题如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2eq\r(3)－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2eq\r(3)－2，BC＝4．根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝(2eq\r(3)－2)2＋42＋(2eq\r(3)－2)×4＝24，所以AC＝2eq\r(6)．即AC的长为2eq\r(6)nmile．(2)根据正弦定理得，sin∠CAB＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(4×\f(\r(3),2),2\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CAB＝45°．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．1．如图，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶．若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．30°解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)．由正弦定理，得eq\f(AC,BC)＝eq\f(sin120°,sin∠BAC)＝eq\r(3)，所以sin∠BAC＝eq\f(1,2)．因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°．所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为________m．30＋30eq\r(3)解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)．由正弦定理得eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以树的高度为PB·sin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))(m)．考点2解三角形的综合应用——综合性考向1与平面几何相结合(2022·临沂一模)在圆内接四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝eq\f(π,12)，求△ACD面积的最大值．解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，可得∠B＋∠D＝π．因为∠B＝2∠D，所以∠B＝eq\f(2π,3)，∠D＝eq\f(π,3)．在△ABC中，因为∠ACB＝eq\f(π,12)，所以∠BAC＝π－eq\f(2π,3)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)．由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以AC＝eq\f(BCsinB,sin∠BAC)＝eq\f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq\r(6)．在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，即24＝AD2＋CD2－AD·CD≥2AD·CD－AD·CD＝AD·CD，当且仅当AD＝CD时，取等号，即AD·CD≤24，所以S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CDsinD＝eq\f(\r(3),4)AD·CD≤6eq\r(3)，即△ACD面积的最大值为6eq\r(3)．1．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．2．几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示．(2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．考向2与三角函数结合问题(2021·烟台一模)将函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的图象上的所有点向右平移eq\f(π,6)个单位长度，然后横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－B))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝eq\f(1,4)，c＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，b＝2eq\r(3)，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象，所以g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，解得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ，所以g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)．(2)由(1)知，c＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝2，因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－B))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝eq\f(1,4)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝±eq\f(1,2)．又因为B∈(0，π)，所以B＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝eq\f(1,2)时，B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，B＝eq\f(π,6)，此时由余弦定理可知，4＋a2－2×2×acoseq\f(π,6)＝12，解得a＝eq\r(3)＋eq\r(11)(负值已舍去)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2×(eq\r(3)＋eq\r(11))×sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3)＋\r(11),2)．当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋B))＝－eq\f(1,2)时，B＋eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,2)，此时由勾股定理可得，a＝eq\r(12－4)＝2eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)．综上，△ABC的面积为eq\f(\r(3)＋\r(11),2)或2eq\r(2)．解三角形与三角恒等变换问题的注意点(1)熟练记忆正、余弦定理及其适用类型、三角形内角和定理．(2)熟练使用两角和与差的有关三角公式、同角三角函数的基本关系及诱导公式．1．(2022·株洲检测)如图所示，在四边形ABCD中，tan∠BAD＝－3eq\r(3)，tan∠BAC＝eq\f(\r(3),2)．(1)求∠DAC的大小；(2)若DC＝2，求△ADC周长的最大值．解：(1)因为∠DAC＝∠BAD－∠BAC，且tan∠BAD＝－3eq\r(3)，tan∠BAC＝eq\f(\r(3),2)，所以tan∠DAC＝tan(∠BAD－∠BAC)＝eq\f(tan∠BAD－tan∠BAC,1＋tan∠BAD·tan∠BAC)＝eq\f(－3\r(3)－\f(\r(3),2),1－3\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(3)．因为∠DAC∈(0，π)，所以∠DAC＝eq\f(π,3)．(2)由正弦定理得eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(4\r(3),3)，所以AD＝eq\f(4\r(3),3)sin∠ACD，AC＝eq\f(4\r(3),3)sin∠ADC，所以△ADC的周长为2＋AD＋AC＝2＋eq\f(4\r(3),3)·(sin∠ACD＋sin∠ADC)＝2＋eq\f(4\r(3),3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin∠ACD＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－∠ACD))))＝2＋eq\f(4\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al