2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（金昌）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．（3分）（2020秋•荔湾区期末）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放新闻 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．方程x2﹣kx﹣1＝0有实数根3．（3分）（2020秋•荔湾区期末）已知点P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为（）A．y B．y C．y D．y4．（3分）（温州）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）（海南校级模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）6．（3分）（北海）如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．（3分）（2007•舟山）如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（）A．30° B．60° C．90° D．45°8．（3分）（2020秋•荔湾区期末）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，） B．（4，） C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）9．（3分）（2020秋•荔湾区期末）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（）A．2 B．2 C． D．210．（3分）（2007•天津）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）（2020秋•荔湾区期末）若点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝．12．（3分）（长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是．13．（3分）（2011•济宁）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝．14．（3分）（2020秋•荔湾区期末）正比例函数y＝k1x与反比例函数y的图象交于A、B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是．15．（3分）（2020秋•荔湾区期末）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．16．（3分）（连云港模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．（不要求写作法）18．（4分）（2020秋•荔湾区期末）如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．19．（6分）（靖江市二模）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？20．（6分）（2020秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．21．（8分）（武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．22．（10分）（2020秋•荔湾区期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（2）用含x的代数式表示商店获得的利润W元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？23．（10分）（2020秋•荔湾区期末）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．24．（12分）（2020秋•荔湾区期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．25．（12分）（2020秋•荔湾区期末）如图，抛物线L：yx2x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PDAD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：yx﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．

2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（金昌）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（3分）（2020秋•荔湾区期末）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放新闻 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．方程x2﹣kx﹣1＝0有实数根【考点】根的判别式；随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件；B、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件；C、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件；D、方程x2﹣kx﹣1＝0的判别式△＝k2+4＞0，则方程有实数根，是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）（2020秋•荔湾区期末）已知点P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为（）A．y B．y C．y D．y【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】把点P（﹣3，2）代入函数y中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式．解：设反比例函数的解析式为y（k≠0），∵点P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一点，∴2，得k＝﹣6，∴反比例函数解析式为y．故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．4．（3分）（温州）一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5情况，利用概率公式即可求得答案．解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中摸出的球是白球的结果有5种，∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是，故选：A．【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（海南校级模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x＝2，故选：D．【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．6．（3分）（北海）如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】旋转的性质．【分析】先根据平行线的性质得∠DCA＝∠CAB＝65°，再根据旋转的性质得∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠DCA＝65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠DCA＝50°，于是有∠BAE＝50°．解：∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝65°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠DCA＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠DCA＝50°，∴∠BAE＝50°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．7．（3分）（2007•舟山）如图，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B重合，则∠BPC等于（）A．30° B．60° C．90° D．45°【考点】等边三角形的性质；圆周角定理．【分析】由等边三角形的性质知，∠A＝60°，即弧BC的度数为60°，可求∠BPC＝60°．解：∵△ABC正三角形，∴∠A＝60°，∴∠BPC＝60°．故选：B．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和等边三角形的性质求解．8．（3分）（2020秋•荔湾区期末）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，） B．（4，） C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设点A的坐标为（，a），根据点B的坐标为（4，0），△AOB的面积为6，列方程即可得到结论．解：设点A的坐标为（，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，∴S△AOB4×|a|＝6，解得：a＝±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．9．（3分）（2020秋•荔湾区期末）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（）A．2 B．2 C． D．2【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理．【分析】连接OA，作OC⊥AB于C，根据垂直定理得到AC＝BC，根据直角三角形的性质得到OC＝2，根据勾股定理求出AC的长即可得到答案．解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC＝BC，∵OP＝4，∠P＝30°，∴OC＝2，∴AC，∴AB＝2AC＝2，故选：A．【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．（3分）（2007•天津）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴上得到y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x1得到ab，而a﹣b+c＜0，则b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；x1，则ab，而a﹣b+c＝0，则b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△＝b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）（2020秋•荔湾区期末）若点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得答案．解：∵点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣1，∴ab＝2﹣1，故．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．12．（3分）（长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是18．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由平行可得到DE：BC＝AD：AB，由DE＝6可求得BC．解：∵DE∥BC，∴DE：BC＝AD：AB，即6：BC＝1：3，∴BC＝18．故18．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．13．（3分）（2011•济宁）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝（x﹣2）2+1．【考点】二次函数的三种形式．【分析】将二次函数y＝x2﹣4x+5的右边配方即可化成y＝（x﹣h）2+k的形式．解：y＝x2﹣4x+5，y＝x2﹣4x+4﹣4+5，y＝x2﹣4x+4+1，y＝（x﹣2）2+1．故y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；两根式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．14．（3分）（2020秋•荔湾区期末）正比例函数y＝k1x与反比例函数y的图象交于A、B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标．解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y的两交点A、B关于原点对称，∴点A（1，2）关于原点对称点B的坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，熟知反比例函数的图象关于原点对称的特点是解答此题的关键．15．（3分）（2020秋•荔湾区期末）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【考点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由弦AB的长等于⊙O的半径，可得△OAB是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案．解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB∠AOB＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故30°或150°．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．16．（3分）（连云港模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为2．【考点】点与圆的位置关系．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．（不要求写作法）【考点】作图﹣旋转变换．【分析】根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．解：如图，△A1B1C1即为所求．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作解决本题的关键是掌握旋转的性质．18．（4分）（2020秋•荔湾区期末）如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．【考点】相似三角形的判定．【分析】已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出∠DAE＝∠BAC，即可得出结论．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC，∵∠AED＝∠C，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．19．（6分）（靖江市二模）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．（1）请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意画出树状图即可；（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解，分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．解：（1）根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率；传到乙脚下的概率，所以球回到乙脚下的概率大．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．20．（6分）（2020秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等，求得P点坐标．解：（1）∵A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，∴在正比例函数y＝2x中，当x＝2时，y＝4∴A（2，4）将A（2，4）代入反比例函数y，可得4，即k＝8∴反比例函数的解析式为y；（2）∵AC⊥OC，∴OC＝2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），∴B到OC的距离为4，∴S△ABC＝2S△ACO＝22×4＝8，∴S△OPC＝8，设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，∴||×2＝8，解得x＝1或﹣1，∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，在解题时注意：选择OC作为△OCP的底，并根据面积的大小求得P点到OC的距离是解题的关键．21．（8分）（武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．【考点】圆周角定理；切线的判定．【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD＝DF．根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DF．∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线；（2）解：∵∠BAC＝90°．∴AB与⊙D相切，∵BC是⊙D的切线，∴AB＝FB．∵AB＝5，BC＝13，∴CF＝8，AC＝12．在Rt△DFC中，设DF＝DE＝r，则r2+64＝（12﹣r）2，解得：r．∴CE．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）（2020秋•荔湾区期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．（1）商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（2）用含x的代数式表示商店获得的利润W元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为（400﹣10x）个，列方程求解，根据题意取舍；（2）利用函数的性质求最值．解：（1）根据题意得：（50﹣40+x）（400﹣10x）＝6000，解得：x1＝10，x2＝20，当x＝10时，400﹣10x＝400﹣100＝300，当x＝20时，400﹣10x＝400﹣200＝200，要使进货量较少，则每个定价为50+20＝70元，应进货200个．答：每个定价为70元，应进货200个．（2）根据题意得：W＝（50﹣40+x）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）2+6250，当x＝15时，y有最大值为6250．所以每个定价为65元时获得最大利润，可获得的最大利润是6250元．【点评】本题主要考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，明确总利润＝每个的利润×销售量是解题的关键．23．（10分）（2020秋•荔湾区期末）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，求得x的值，即可求得M的坐标．（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y，得k＝3，∴反比例函数的表达式y，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．【点评】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．24．（12分）（2020秋•荔湾区期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．【考点】圆的综合题．【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+ACAD；（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN＝AB+AC，求出的值．解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，又∵AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△B