孤岛疾病问题的探讨

孤岛疾病问题的探讨一、摘要建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。本文是一个孤岛疾病传播问题。首先根据孤岛的自身特征方面的条件解决问题a:列出假设1、2,问题b:根据模型建立的被感染人数X与时刻t的关系，利用matlab软件画出dX/dt关于X的图像。问题c:又假设感染的人数X1<N/2,画出X关于t的图形。在此问题的基础上取X1=N/4和X1=3N/4；问题d:求解出微分方程，最后把X作为t的函数，解出前面给的模型。问题e:此模型方程是logistic模型，求出X的表达式,得出当t趋于无穷大时X的极限为N。问题f:有代表的数据列出表格求解出这些数据，得出的这些数据支持该模型，估计模型中的常数并预测t=12天被感染的人数，列出关系模型。问题h:分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。【关键词】孤岛疾病微分方程关系模型改进方案一、问题重述如何确定孤岛的疾病传播速度问题通过正确的措施进行控制并对人们的身心健康有很大的帮助，也是必不可少的。考虑在一个人口数量为N的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻t将会被感染的人数X。考虑一下模型，其中k>0为常数：dX——=kX(N-X)dt列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？画出dX/dt关于X的图形若初始被感染的人数X1<N/2，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为X1<N/2，画出X关于t的图形。把X作为t的函数，解出前面给出的模型。由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。⑴设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853ln(X/(N-X))-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。二、模型假设1、人口数量N不变，因为是孤岛。2、人口分为健康人和被感染的病人，数量分别为X,N-X。3、在规定的时刻内人口变化X取整数，因为人口为整数三、符号定义说明X(t)：t时刻被感染的人数S(t)：t时刻未被感染的人数k:常数C1、C2:皆为参数N:孤岛上的人口总数，即N=X(t)+S(t)四、模型的建立与求解4.1模型的建立依据列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据?假设1人口数量N不变，因为是孤岛。假设2人口分为健康人和被感染的病人数量分别为X,N-X。4.2模型的建立与求解画出dX/dt关于X的图形设k=0.1

X=0:0.1:1;ezplot('0.1*X*(1-X)',[0,1]);(c)若初始被感染的人数X1<N/2，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为X]>N/2，画出X关于t的图形。1、取乂广N/4，贝y=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)','y(0)=0.25','x');ezplot(y,[0,50]);

2、X13N/4顶y=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)',’y(0)5Q：x7);ezplot(y,[0,50]);

(d)把X作为t的函数，解出前面给出的模型。dX——=kX(N-X)dtsymsNk:X=dsolve('DX=k*X*(N-X)')X=N/(1+exp(-k*N*t)*C1*N)即X=11+(C1N-N)e-kt(e)由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。limX=lim=Nt*t*1+(C1N-N)e-kt(f)设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853ln(X/(N-X))-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型?由X=nN-1=(C1N-N)e-ktn1+(C1N-N)e-ktXN-X,,N-X,1=(C1N-N)e-ktnIn=In[(C1N-N)e-kt]nXXInX=kt-C2N-XX可以看出为线性变化的，所以可以认为这些数据支持该模型。N—X(g)利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。XIn=kt-C2得到k=0.5N-X再代入k值，得C2=1.5，而N=5000，当t=4+10=14时，可以解出X的值：X=4979寸N确定参数C1=N/X0，则有X=1+(N-N)e-ktX0五、模型评估及改进5-1模型的优点(】)用假设分析、微分求导导数、线性相关等方法，解决问题，方法简单易懂，过程清晰且准确。(2)又利用matlab软件处理数据简单、准确、而且具有科学性，得到的结果更具说服力。5・2模型的缺点(1)在问题a的问题假设1没有考虑人口的流动量(2)在问题a的问题假设2没有考虑治愈问题等情况改进：将对象分为三类：病人，健康人与治愈的人。符号说明：s(t)：健康者在总人数N中占的比例i(t)：病人在总人数N中占的比例r(t)：病愈免疫的移出者在总人数N中占的比例模型假设：1•总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出三类，时刻t三类人在总人数N中占的比例分别记为s(t)、i(t)、r(t)・2•病人的日接触率为人，日治愈率为^，传染期接触数为/^模型构成：由假设1可得知s(t)+i(t)+r(t)=1(1)对于病愈免疫的移出者有Nd=|iNi(2)dt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s°(s/0)和％(iQ>0)(1)、(2)模型的方程可以写成d=X豆_由,i(0)=idto牛=-Xsi,s(0)=sIdt0我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i(t),s(t)的性质。D=((s，i)|s>0，i>0，s+iMl}在方程(3)中消去d并注意到o的定义，可得iI=isiI=is=S00(4)所以：d="Jdnjid=jsJIiIs。Js"s°Is。Jds(5)利用积分特性容易求出方程(4)的解为：i=(s0+i0)-s=Lln-(6)0在定义域D内,(5)式表示的曲线即为相轨线，如下图所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向P1：s0>1/bTi⑺先升后降至0n传染病蔓延P2:s0<1/bTi⑺单调降至0n传染病不蔓延1/b〜阈值1.提高阈值1/bn降低b（=A/p）n人J,日个人（日接触率）Jn卫生水平个M日治愈率）个=医疗水平个2.降低s0n提高r0n群体免疫b的估计s°+i°+,=1Ins一Inss+i-s+_LInL=0oo<»bso参考文献：间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向Ins一Ins数学模型，姜启源编，高等教育出版社.数学分析,陈纪修，于崇华，金路，高等教育出版社附录：functiony=il