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文档简介
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νµνdλ资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验V
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0.(2.5)C
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ν资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验dλ+gV
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−Γλ
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st
i
f
f
e
l
??
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L
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v
i
-
Civita???Riemannian??资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?Eins/?
????
????
??5?5
?ds2
=
dr2
+
r2dθ2
.(2.9)Γrrr==21grρ
(∂rgrρ
+
∂rgρr
−∂
ρg
rr)1grr
(∂rgrr
+
∂r
grr
−∂
rg
rr)2
1+
grθ
(
∂rgrθ
+
∂rgθr
−∂
θgrr)11
2=
(1)(0
+
0
−0)
+
(0)(0
+
0
−0)
=
02
2(2.10)Γrθθ21grr
(∂θgθr
+
∂θgrθ
−∂
rg
θθ)=
1grρ
(∂θgθρ
+
∂θgρθ−∂
ρg
θθ)=
12(1)(0
+
0
2r)—=2=
−r
.(2.11)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??/?
????
????
??5EinsΓrθrΓrrθ=
0ΓθrrΓθrθΓθθr==
0== 0
.=1rΓθθθ(2.12)??k^
5?
?µλ∇µV
µ
=
∂µV
µ
+
Γµ
Vλ
.(2.13)Γµµλ=
p
1|g|λ∂
p|g|
,(2.14)|g|µp∇µV
µ
=
p
1
∂
(
|µg|V
)
.(2.15)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??/?
????
????
??5EinsR资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
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??5C
?
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x
mu
(
λ
)
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????p?1?/
?
?
?D
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0
,dλ
dλ(3.1)dλ2
ρσ
dλ
dλd2xµ
+
Γµ
dxρ
dxσ
=
0
.(3.2)???m?
?d2xµ/dλ2
=
0(3.3)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
????
????
??5C
?
?5??Eins??
?
???k?m??Zτ
=dxµ
dxν−gµν
dλ
dλ1/2dλ
,(3.4)C?xµ
→
xµ
+
δxµgµν
→
gµν
+
δxσ∂σgµν
.(3.5)?
?
C
?τ
+
δτ
=dxµ
dxνdλ
dλ−gµν
—
∂σgµν
dxµ
dxνdλ
dλδxσ
−
2
gµν
dλdλdxµ
d(
δxν
)
!
1/2ZZdλ=dx
µ
dx
ν
!
1/2
"−gµν
dλ
dλ1
+−gµν
dλ
dλdx
µ
dx
ν
!
−
1×
−
∂σgµν
dxµ
dxνdλ
dλδxσ
−
2
gµν
dλdλdx
µ
d(
δxν
)
!
#
1/2dλ
.
(3.6)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
????
????
??5C
?
?5??Eins??
?
???k?m??Zτ
=dxµ
dxν−gµν
dλ
dλ1/2dλ
,(3.4)C?xµ
→
xµ
+
δxµgµν
→
gµν
+
δxσ∂σgµν
.(3.5)?
?
C
?τ
+
δτ
=−gµνdxµ
dxν—
∂σgµν
dxµ
dxνδxσ
−
2
gµν
dλdλdxµ
d(
δxν
)
!
1/2Zdλdλ
dλdx
µ
dx
ν
!
1/2
"dλ
dλdλ
dλdx
µ
dx
ν
!
−
1dλ
dλZ−gµν−gµν=1
+dx
µ
d(
δxν
)
!
#
1/2dxµ
dxνdλ
dλδxσ
−
2
gµν
dλ
.
(3.6)×−
∂σgµν
dλdλ资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
????
????
??5C
?
?5??Eins??
?
???k?m??Zτ
=dxµ
dxν−gµν
dλ
dλ1/2dλ
,(3.4)C?xµ
→
xµ
+
δxµgµν
→
gµν
+
δxσ∂σgµν
.(3.5)?
?
C
?τ
+
δτ
=dxµ
dxνdλ
dλ−gµν
—
∂σgµν
dxµ
dxνdλ
dλδxσ
−
2
gµν
dλdλdxµ
d(
δxν
)
!
1/2ZZdλ=dx
µ
dx
ν
!
1/2
"−gµν
dλ
dλ1
+−gµν
dλ
dλdx
µ
dx
ν
!
−
1×
−
∂σgµν
dxµ
dxνdλ
dλδxσ
−
2
gµν
dλdλdx
µ
d(
δxν
)
!
#
1/2dλ
.
(3.6)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??????
????
??5Eins?
?
C
?Zδτ
=dxµ
dxν−gµν
dλ
dλ−1/2—12∂
gσ
µνdxµ
dxνdλ
dλσδx
−gµνdxµ
d(δxν)dλ
dλ(3.7)U
?
? ?
?
?dλ
=
−gµνdxµ
dxνdλ
dλ−1/2dτ
.(3.8)δτ
=Z1
dxµ
dxν−2∂σgµν
dτ
dτ
δx
σ−gµν
dτdxµ
d(δxν)dτdτ=Z−2∂σgµν
dτ1
dxµ
dxν
ddτ
+
dτdxµgµσ
dτδxσ
dτ资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??????
????
??5Eins?
?
C
?Zδτ
=dxµ
dxν−gµν
dλ
dλ−1/2—12∂
gσ
µνdxµ
dxνdλ
dλσδx
−gµνdxµ
d(δxν)dλ
dλ(3.7)U
?
? ?
?
?dλ
=
−gµνdxµ
dxνdλ
dλ−1/2dτ
.(3.8)δτ
=Z1
dxµ
dxν−2∂σgµν
dτ
dτ
δx
σ−gµν
dτdxµ
d(δxν)dτdτ=Z−2∂σgµν
dτ1
dxµ
dxν
ddτ
+
dτdxµgµσ
dτδxσ
dτ资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins????
????
??5/
?
?
?2—
∂σgµνdτ1dx
dxµ
νdx
dxµ
νd2xµ+
ν
µσ∂
g
+
gdτ dτ
dτdτ2µσ
=
0,(3.9)µσ
dτ22
dτdτg
d2xµ
+
1
(−∂
g
+
∂
g
+
∂
g
)
dxµ
dxν
=
0
,σ
µν ν
µσ µ
νσ(3.10)dτ2d
x2
ρ+ρσ12g
(∂
gµ
νσ ν
σµ σ
µν+
∂
g
−∂
g
)dτdτdxµ
dxν
=
0.
(3.11)•3 ?
?
~
X
>
^
?ρσ
dτd2xµ
+
Γµ
dxρ
dxσ
=µq dxν
.dτ2
dτ mF
ν
dτ?
??
λ
=
aτ
+(3.12)b
?/
?
?
?
?
C资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins????
????
??5/
?
?
?2—
∂σgµνdτ1dx
dxµ
νdx
dxµ
νd2xµ+
ν
µσ∂
g
+
gdτ dτ
dτdτ2µσ
=
0,(3.9)µσ
dτ22
dτdτg
d2xµ
+
1
(−∂
g
+
∂
g
+
∂
g
)
dxµ
dxν
=
0
,σ
µν ν
µσ µ
νσ(3.10)dτ2d
x2
ρ+ρσ12g
(∂
gµ
νσ ν
σµ σ
µν+
∂
g
−∂
g
)dτdτdxµ
dxν
=
0.
(3.11)•3 ?
?
~
X
>
^
?ρσ
dτd2xµ
+
Γµ
dxρ
dxσ
=µq dxν
.dτ2
dτ mF
ν
dτ?
??
λ
=
aτ
+(3.12)b
?/
?
?
?
?
C资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins????
????
??5/
?
?
?2—
∂σgµνdτ1dx
dxµ
νdx
dxµ
νd2xµ+
ν
µσ∂
g
+
gdτ dτ
dτdτ2µσ
=
0,(3.9)µσ
dτ22
dτdτg
d2xµ
+
1
(−∂
g
+
∂
g
+
∂
g
)
dxµ
dxν
=
0
,σ
µν ν
µσ µ
νσ(3.10)dτ2d
x2
ρ+ρσ12g
(∂
gµ
νσ ν
σµ σ
µν+
∂
g
−∂
g
)dτdτdxµ
dxν
=
0.
(3.11)•3 ?
?
~
X
>
^
?ρσ
dτd2xµ
+
Γµ
dxρ
dxσ
=µq dxν
.dτ2
dτ mF
ν
dτ?
??
λ
=
aτ
+(3.12)b
?/
?
?
?
?
C资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
????
????
??5C
?
?5??Eins????"
?
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,
?
4
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1
?
?
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X
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?
K
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"
"??
=
⇒
???
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"资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
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??5C
?
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?
?
,
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1
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?
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?
X
J
?
?????
?
K
?
?
?
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"
"??
=
⇒
???
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?
"资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
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??5C
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?
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1
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X
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?
K
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"
"??
=
⇒
???
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"1
?
,
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4
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1
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?
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∂µ∂ν
=
∂ν
∂µ3
/??1资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
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?
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?
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,
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4
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1
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?
?
X
J
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?????
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K
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"
"??
=
⇒
???
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?
m ?
?
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"1
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,
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4
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?
?
1
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?
?
?
?
?
????2
∂µ∂ν
=
∂ν
∂µ3
/??1资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
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??5C
?
?5??Eins????"
?
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,
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4
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1
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?
?
?
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X
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"
"??
=
⇒
???
?
?
m ?
?
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"1
?
,
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4
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?
?
1
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?
?
?
?
?
?
????2
∂µ∂ν
=
∂ν
∂µ3
/??1资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验/?
????
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??5C
?
?5??Eins????"
?
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,
?
4
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?
1
?
?
?
?
?
?
X
J
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?????
?
K
?
?
?
?
"
"??
=
⇒
???
?
?
m ?
?
?
"1
?
,
?
4
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
????2
∂µ∂ν
=
∂ν
∂µ3
/??1资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??50µ
µ??m?
?
V
−V
?
6
u
?
?
?
?
??
zδV
ρ
=
(δa)(δb)AνBµRρσµν
Vσ
,Rρσµν
=
−Rρσνµ
.(4.1)(4.2)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??5[∇µ,
∇ν
]V
ρ∇µ∇ν
V
ρ
−∇ν
∇µV
ρµν
µσ==
∂µ(∇ν
V
ρ)
−Γλ
∇λV
ρ
+
Γρ
∇ν
V
σ
−(µ
↔ν)=νσ
νσ
µν µν
λσ∂µ∂ν
V
ρ
+
(∂µΓρ
)V
σ
+
Γρ
∂µV
σ
−Γλ
∂λV
ρ
−Γλ
Γρ
V
σµσ
νλ+Γρ
∂ν
V
σ
+
Γρ
Γσ
V
λ
−(µ
↔ν)νσµσ
µλ
νσ
νλ
µσ[µν]µσ= (∂µΓρ
−∂ν
Γρ
+
Γρ
Γλ
−Γρ
Γλ
)V
σ
−2Γλ∇λV
ρ资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??/?
????
????
??5Eins[∇µ,
∇ν]V
ρ
=
Rρσµν
Vσ
−Tµνλ∇λV
ρ
,(4.3)(4.4).µσRρσµν
=
∂µΓρ
−∂ν
Γρ
+
Γρ
Γλ
−Γρ
Γλνσ
µσ
µλ
νσ
νλ[∇µ,
∇ν]
?
????
??'????????5?'资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??/?
????
????
??5Eins[∇µ,
∇ν]V
ρ
=
Rρσµν
Vσ
−Tµνλ∇λV
ρ
,(4.3)(4.4).µσRρσµν
=
∂µΓρ
−∂ν
Γρ
+
Γρ
Γλ
−Γρ
Γλνσ
µσ
µλ
νσ
νλ[∇µ,
∇ν]
?
????
??'????????5?'资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??5?
,
4
?
?
?
?
1
?
?
(
k,
l)
??
?ρ
σ[∇
,
∇
]Xµ
···µ1
kν
···ν1
lλρσ
λµ1···µk
ν
···ν=
−T
∇
X1l
(4.5)1λρσµλµ
···µ2
kν
···ν1
lX+
R2Xµ µ
λ···µ1
kλρσν
···ν1
l1ν
ρσ+
R—
R
Xλµ
···µ1kλν
···ν2lλ2ν
ρσ—R
Xµ
···µ1kν
λ···ν1l+
···—··(4..6)?
?
I
?
'
/
?
??[X,
Y
]µ
=
Xλ∂λY
µ
−Yλ∂λ
Xµ
.T
(X,
Y
)
=
∇XY
−∇Y
X
−[X,
Y
]
,R(X,
Y
)Z
=
∇X
∇Y
Z
−∇Y
∇
XZ
−∇[X,Y
]Z
.??I?
?
[
X,
Y
]
=
[∂µ,
∂ν
]
=
0(4.7)(4.8)(4.9)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??5?
,
4
?
?
?
?
1
?
?
(
k,
l)
??
?ρ
σ[∇
,
∇
]Xµ
···µ1
kν
···ν1
lλρσ
λµ1···µk
ν
···ν=
−T
∇
X1l
(4.5)1λρσµλµ
···µ2
kν
···ν1
lX+
R2Xµ µ
λ···µ1
kλρσν
···ν1
l1ν
ρσ+
R—
R
Xλµ
···µ1kλν
···ν2lλ2ν
ρσ—R
Xµ
···µ1kν
λ···ν1l+
···—··(4..6)?
?
I
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'
/
?
??[X,
Y
]µ
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Xλ∂λY
µ
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.T
(X,
Y
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∇XY
−∇Y
X
−[X,
Y
]
,R(X,
Y
)Z
=
∇X
∇Y
Z
−∇Y
∇
XZ
−∇[X,Y
]Z
.??I?
?
[
X,
Y
]
=
[∂µ,
∂ν
]
=
0(4.7)(4.8)(4.9)资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??5Rρσµν
=
0
⇐⇒
???m???m
?
R
ρσ
µν
=
0Rρσµν
=
0
?
???m
?3
p
:
?(µ
)
(ν)gσρ
eˆσ
eˆρ
(p)
=
ηµν
.(4.10)?1??
q
:
?(µ
)
(ν)gσρ
eˆσ
eˆρ
(q)
=
ηµν
.(4.11)Frobenius’s?n?[eˆ(µ),
eˆ(ν
)]
=
0
.(4.12)(4.13)[eˆ(µ),
eˆ(ν
)]
=
∇eˆ(µ)eˆ(ν
)
−∇eˆ(ν)eˆ(µ
)
−T
(eˆ(µ)
,
eˆ(ν
)
)
.??
?
3
?m??
?@?IX
?
?5?
η
µν
"资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??5Rρσµν
=
0
⇐⇒
???m???m
?
R
ρσ
µν
=
0Rρσµν
=
0
?
???m
?3
p
:
?(µ
)
(ν)gσρ
eˆσ
eˆρ
(p)
=
ηµν
.(4.10)?1??
q
:
?(µ
)
(ν)gσρ
eˆσ
eˆρ
(q)
=
ηµν
.(4.11)Frobenius’s?n?[eˆ(µ),
eˆ(ν
)]
=
0
.(4.12)(4.13)[eˆ(µ),
eˆ(ν
)]
=
∇eˆ(µ)eˆ(ν
)
−∇eˆ(ν)eˆ(µ
)
−T
(eˆ(µ)
,
eˆ(ν
)
)
.??
?
3
?m??
?@?IX
?
?5?
η
µν
"资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?????
??5Rρσµν
=
0
⇐⇒
???m???m
?
R
ρσ
µν
=
0Rρσµν
=
0
?
???m
?3
p
:
?(µ
)
(ν)gσρ
eˆσ
eˆρ
(p)
=
ηµν
.(4.10)?1??
q
:
?(µ
)
(ν)gσρ
eˆσ
eˆρ
(q)
=
ηµν
.(4.11)Frobenius’s?n?[eˆ(µ),
eˆ(ν
)]
=
0
.(4.12)(4.13)[eˆ(µ),
eˆ(ν
)]
=
∇eˆ(µ)eˆ(ν
)
−∇eˆ(ν)eˆ(µ
)
−T
(eˆ(µ)
,
eˆ(ν
)
)
.??
?
3
?m??
?@?IX
?
?5?
η
µν
"资料整理：微?信?公2众??号??-万象经验C
?
?5??Eins/?
????,??I
?Rρσµν
=
gρλRλ
µνσ.3Riemann5?Ie
?(5.1)Rρσµν=
gρλ(∂µΓλ
−∂ν
Γλ
)νσ
µσ=1gρλ
gλτ
(∂
µ∂νgστ
+
∂µ∂σgτν
−∂
µ∂
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νσ
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