2017-2018学年高二(下)期末数学试卷(文科)-解析版

2017-2018学年高二（下）期末数学试卷（文理科）注意：没有学的就不做一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．1、已知全集，集合，集合，则集（）A、B、C、D、2．（5分）（2014•湖北）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．（5分）（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．204．（5分）（2016春•遵义期末）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的T的值为（）A．29 B．30 C．31 D．325．（5分）（2012•湖北）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频数234542则样本数据落在区间[10，40]的频率为（）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.656．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2016春•遵义期末）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（）A． B． C． D．8．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg9．（5分）（2016春•遵义期末）函数f（x）=3x2+lnx﹣2x的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无数个10．（5分）（2016春•遵义期末）下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）11．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A． B． C． D．11、已知是上的偶函数，且在上是减函数，若，则不等式的解集是（）A、B、C、D、二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（5分）（2016春•遵义期末）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．14．（5分）（2016春•遵义期末）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为．15．（5分）（2015•九江一模）已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是．16．设函数定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为。三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016春•遵义期末）如图：是y=f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值．18．（12分）（2016春•遵义期末）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）（2016春•遵义期末）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频数直方图中a的值；（Ⅱ）分别球出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．20．（12分）（2016春•遵义期末）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．21．（12分）（2016春•遵义期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△AF1F2的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）当直线AB的斜率为1时，求△F2AB的面积．22．（12分）（2016春•遵义期末）已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R）．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求函数的单调区间；（2）当x∈[e，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

2015-2016学年贵州省遵义市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2016春•遵义期末）设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）=1+i，则复数z=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【分析】由z（1﹣i）=1+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=1+i，得=，则复数z=i．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）（2014•湖北）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．20【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．4．（5分）（2016春•遵义期末）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的T的值为（）A．29 B．30 C．31 D．32【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量T，S的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得：T=0，S=0，不满足条件T＞S，执行循环，S=5，n=2，T=2，不满足条件T＞S，执行循环，S=10，n=4，T=6，不满足条件T＞S，执行循环，S=15，n=6，T=12，不满足条件T＞S，执行循环，S=20，n=8，T=20，不满足条件T＞S，执行循环，S=25，n=10，T=30，满足条件T＞S，退出循环，执行输出语句，输出T=30．故选：B．【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．5．（5分）（2012•湖北）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表分组[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）频数234542则样本数据落在区间[10，40]的频率为（）A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65【分析】先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．【解答】解：由频率分布表知：样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9，故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45．故选：B．【点评】本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率=，属于基础题．6．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．【解答】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．7．（5分）（2016春•遵义期末）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（）A． B． C． D．【分析】由双曲线渐近线方程得b=a，从而可求c，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，∴b=a，∴c==a，∴e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．8．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．9．（5分）（2016春•遵义期末）函数f（x）=3x2+lnx﹣2x的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无数个【分析】先求出导数f′（x），进而判断其单调性，即可得出答案．【解答】解：函数定义域为（0，+∞），且f′（x）=6x+﹣2=，由于x＞0，g（x）=6x2﹣2x+1中△=﹣20＜0，∴g（x）＞0恒成立，故f′（x）＞0恒成立，即f（x）在定义域上单调递增，无极值点．故选A．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值等性质是解题的关键．10．（5分）（2016春•遵义期末）下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（4）【分析】本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．【解答】解：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选C．【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．11．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．12．（5分）（2015•新课标II）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．（5分）（2016春•遵义期末）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【分析】求出函数的导函数，取x=1得到函数在x=1处的导数，直接代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．∴y′|x=1=1．∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，关键是区分给出的点是不是切点，是中档题也是易错题．14．（5分）（2016春•遵义期末）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，利用长度比求概率．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P==，故答案为：．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键．15．（5分）（2015•九江一模）已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是a≥．【分析】由题意，f（x）在区间上是增函数可化为在恒成立，从而再化为最值问题．【解答】解：∵f（x）在区间上是增函数，∴在恒成立，即在恒成立，∵﹣x+在上是减函数，∴，∴即．故答案为：a≥．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理与应用，属于中档题．16．（5分）（2016春•遵义期末）用长为18m的钢条围成一个长方体框架，要求长方形的长与宽之比为2：1，则该长方体的体积最大值为3m3．【分析】根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可．【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是﹣3x米，（0＜x＜）则该长方体的体积V（x）=x•2x•（﹣3x）=﹣6x3+9x2，由V′（x）=﹣18x2+18x=0，得到x=1，当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值是3．故答案为：3．【点评】本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016春•遵义期末）如图：是y=f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f′（x）的简图，它与x轴的交点是（1，0）和（3，0）（1）求y=f（x）的极小值点和单调减区间；（2）求实数a的值．【分析】（1）先利用其导函数f'（x）图象，判断导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）（2）由图知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入导函数解析式得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数y=f'（x）的图象可知：导函数f'（x）小于0的解集是（1，3）；函数f（x）=x3﹣2x2+3a2x在x=1，x=3处取得极值，且在x=3的左侧导数为负右侧导数为正．即函数在x=3处取得极小值，函数的单调减区间为（1，3）．（2）由于f（x）=x3﹣2x2+3a2x的导函数f'（x）=ax2﹣4x+3a2，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0则解得a=1．则实数a的值为1．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．18．（12分）（2016春•遵义期末）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．【分析】先将命题p，q化简，然后由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题得出p，q恰有一真一假，分类讨论即可．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴m＞2；∵关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，∴4m2﹣4（2m+3）＜0，解得﹣1＜m＜3，“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题⇔p，q恰有一真一假，①若“p真q假”，则，即m≥3，②若“p假q真”，则，即﹣1＜m≤2，综上，实数m的取值范围是（﹣1，2]∪[3，+∞）．【点评】本题的关键是在于对命题的联结词的掌握，由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题得出p，q恰有一真一假．19．（12分）（2016春•遵义期末）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如图所示．（Ⅰ）求频数直方图中a的值；（Ⅱ）分别球出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；（II）根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50，60）与[60，70）的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．【解答】解：（I）由频率分布直方图得：（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1⇒a=0.005；（II）成绩落在[50，60）与[60，70）的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数为20×0.25=5（人）．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=．20．（12分）（2016春•遵义期末）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【分析】（Ⅰ）由题意设：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，根据抛物线的大于可得：4+，进而得到答案．（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，根据题意可得△=64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再结合韦达定理可得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴4+∴p=4∴抛物线C的方程为y2=8x（Ⅱ）由消去y，得k2x2﹣（4k+8）x+4=0∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又=2，解得k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系．21．（12