2020年全国新高考I卷数学高考真题

2020年全国新咼考丨卷数学咼考真题2020年全国新咼考丨卷数学咼考真题2020年新高考全国I卷（山东卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x11<x<3},B={x12<x<4},则AUB=A．{x12<x<3}A．{x12<x<3}B．{x|2<x<3}C．{x11<x<4}D．{x11<x<4}分值】5分【答案】C【解析】略2.巴二1+2iA．1-1i—i【分值】5分【答案】D2—i_(2—i)(i—2i)【解析】1+2i1—4i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去一个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3买名,则不同的安排方法共有120种B．90种

TOC\o"1-5"\h\z60种30种【分值】5分【答案】C【解析】C1・C260种\o"CurrentDocument"654•日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的维度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬40o，则晷针与点A处的水平面所成角为20o4020o40oC・50。D・90o【分值】5分【答案】B【解析】略某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳学生数占该校学生总数的比例是62%56%46%42%【分值】5分【答案】C解析】略基本再生数R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数0指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R=1+rT，有学00者基于已有数据估计出R=3.28，T=6•据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计0感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2〜0.69)A.1.2天1.8天2.5天3.5天分值】5分【答案】Bln2【解析】3.28=1+6得r=0.38，I(t)=eo.381，eo.38(t+x)=2・eo.381得x=-n一=1.80.38已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP-AB的取值范围是(-2,6)B・(-6,2)C.(-2,4)D・(-4,6)【分值】5分【答案】A2020年全国新高考2020年全国新高考I卷数学高考真题2020年全国新高考2020年全国新高考I卷数学高考真题是是【解析】设：A(-1J3),P(x,y),B(-2,0)AP=(x+1,y-J3),AB=(-1,-间则：AP・AB=-x-<3y+2令Z=-x-朽y+2，由线性规则得，最优解为：C(-1^/3)和F(1,打)，代入得Z=6或Z=-2。8.若定义在R的奇函数f(x)在(-©0)单调递f(2)=0，则满足xf(x-1)>0的x的取值范围A.[-1,1]53,+Q[-3,-1]o[0,1][-1,0]o[1,+s)[-1,0]o[1,3]【分值】5分【答案】D【解析】x・f(x-1)>0x=0成立x>0时，f(x-1)>0，x-1<-2或0<x-1<2，得：1<x<3。x<0时，f(x-1)<0，-2<x-1<0或x-1>2，得：-1<x<0o综上所述，x范围为［-1,0］ul1,3］。若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上若m=若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上若m=n>0，则C是圆，其半径为C若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=+■'--xnD.若m=0，n>0，则C是两条直线【分值】5分【答案】ABD【解析】略右图是函数y=sin(Wx+p)的部分图像，则sin(®x+p)A.sin(x+)3B.C.D.cos(2x+)6cos(竺-2x)6【分值】5分【答案】BC【解析】略已知a>0，b>0,且a+b=l,则A.B.2a-bC.loga+logb>-222分值】5分【答案】ABD解析】略..n，信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的值为1,2,且P(X=i)=p>0,(i=l,2,...n)，工p=1,定义X的信息熵H(x)二—工plogp..n，iii2ii=1i=1若n=1，则H(X)=0若n=2，则H(X)随着pi的增大而增大1c.若pi=n(i二1,2,…n)，则h(x)随着n增大而增大D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为i=1,2,..m，P(Y二j)二p+p(j=1,2,..m)，则H(x)<H(Y)j2m+1-j【分值】5分【答案】AC【解析】略三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.斜率为J3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点,IAB1=【分值】5分【答案】等解析】略14.将数列｛2n-1｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛a｝,则｛a｝的前nnn项和为【分值】5分【答案】3n2-2n【解析】略15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示•O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC丄DG，垂足为C，3tanZODC二5，BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1,则图中阴影部分面积为cm2•【分值】5分【答案】5沢+42【解析】略16.已知直四棱柱ABCD-ABCD的棱长均为2,ZBAD=60°，以D为球心,iiii145为半径的球面与侧面BCCB的交线长为•11【分值】5分【答案】2岳

【解析】D到M、N、E、F距离均为J51交线为正方形MNFE的外接圆周长为2兀x€2=2（10分）在①ac=、；3,②csinA=3,③c=J3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=sinB,C=—,?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分值】10分兀【答案】选①：满足sinAf：'3sinB,c=,ac=6.1—••—cosB+—22：3一'、.1—••—cosB+—22：3一'、sinB=、3sinB,n・・・叫-B)=0ZB=又ZC=—,b=c,ab=\；3且a=\3b6解得a=J3,b=1,・・・c=1,存在△ABC选②：sin选②：sinA=\3sinB,csinA=3°・°csinA=3,・•asinC=3,・・a=6又a=\；3b,•:b=2p3J3c2=a2+b2一2abcosC=36+12一24、；'3—=122兀2c=2x：3,ZB=ZA=-兀满足条件63存在△ABC兀选③：c=V3b,sinA£36兀由①可知，ZB=-,故厶ABC为等腰三角形6c=b又Tc=\；'3b矛盾故不存在厶ABC满足条件。(12分)已知公比大于1的等比数列｛a｝满足a+a=20,a=8.n243求｛a｝的通项公式；n记b为｛a｝在区间(0,m】CneN*)中的项的个数，求数列｛b｝的前100mnm项和S.100【分值】12分【答案】(1)由题意可知｛3｝为等比数列a+a=20,a=8243可得厶+aq=20q3得2q2-5q+2=0(2q-1)(q-2)=0•・•q>1(2)由题意及(1)可得ai=估计事件“该市一天空气中PM估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO浓度不超过2150”的概率；根据所给数据，完成下面的2x2列联表：a=aqn-1=2nn1*.*b为｛a｝在(0,m\(meN*)中的项的个数mn当m=2k时，b=km当meT2k-1,2k)时，b=k-1，其中keNm+可知b=0,b=1,b=1,b=2,b=212345b=6100・•・S=0+2x1+4x2+8x3+16x4+32x5+37x6100=480(12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO浓度(单位：卩)，得下表:2/m3PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812[75,115]310

PM2.5j、[0,150](150,475][0,75](75,115]'3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与so2浓度有关?附:n(ad一附:n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)0.0500..0100.001k18^16.63510.82S分值】12分【答案】（1）设“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”为事件A贝Un二32+18+6+8二64AP（A）=nA=鼻=0.642分n100（2）根据所给数据，完成2x2列联表如下:\SO2PM2.5-.【0,150J(150,475JL0,75J6416(75,115〕10106分（每空1分）3）可将（2）中2x2列联表补全如下：PM2>--..,..【0,150J(150,475J总【0,75J641680

(75,115]101020总7426100K2的观测值n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)l°0xg64-16xl°)2二3600〜7.484分80x20x26x74481由于7.484>6.635故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关。12分20(12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD•设平面PAD与平面PBC的交线为l.证明：l丄平面PDC已知PD二AD二1,q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【分值】12分【答案】(1)因为四边形ABCD为正方形，故BC丄CD又因为PD丄底面ABCD，故PD丄BC又由于PDnDC=D，因此BC丄平面PDC因为在正方形ABCD中BC〃AD，且ADu平面PAD，BC立平面PAD故BC〃平面PAD.又因为BCu平面PBC，且平面PAD与平面PBC的交线为l故BC〃l因此l丄平面PDC(2)由已知条件，P-ABCD底面为正方形，PD丄底面ABCD,建立如图所示

空间直角坐标系因为PD=AD=1,Q在直线l上，设Q(a,O,l)，其中aeR,所以D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)则主=二-1=3?=二-玄=二二设平面QCD法向量为2=（兀出二〕朋+二=0贝则］二T二w:.?'5>1=|1+口|则法向量的一组解为■.二•L〔；1;；I设贝则］二T二w:.?'5>1=|1+口|①若a=0，贝廿sin0=33②若a丰0,则sin0<3②若a丰0,则sin0<3x21+aa当a=1时,sin0=3x31+1=¥取到最大值。综上所述，PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为£21.（12分）已知函数f（x）=aex-1一Inx+Ina（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；⑵若f(x)>1，求a的取值范围分值】12分【答案】①当a=e时，f(x)=ex—Inx+1f'(x)=ex—x・•・k二f'(1)二e—1,f(1)二e+1•:y—(e+1)-(e—1)(x—1)即y=(e一1)x+22・••在y轴上的截距为2,在x轴的截距为——1—e・•・S=1x2x1二|=—21—ee—1②f(x)=aex-1—inx+ina=eina+x—1—inx+ina要使f(x)>1只需eina+x—1一Inx+Ina>1即eina+x—1+ina一1>inx即eina+x—1+ina+x—1>inx+x=einx+inx令g(x)=ex+x，故只需g(ina+x—1)>g(inx)即可Tg(x)为增函数・•只需ina+x—1>inx即ina>inx—x+1令h(x)=inx一x+12020年全国新高考I卷数学高考真题h'(x)二匕x・・・h(x)在(0,1)递增，在(lg)递减・・・h(x)=h(1)=0max•・Ina>0即a>122.（12分）已知椭圆C:匸+y2=1（a>b>0）的离心率为湮，且过点A（2,1）a2b22（1）求C的方程（2）点M，N在C上，且AM丄AN,AD丄MN，D为垂足，证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值【分值】12分【答案】（》••f圣b【答案】（》••f圣b21a22则椭圆为养+=1将A（2,1）代入得b2=3椭圆为三+莓=163（2）①若直线MN斜率不存在，设MN为x=x0则M（x,y），N（x，-y）•由AM丄AN00001得(x—2,y—1)•(x—2,—y—1)=0ny2=x2-4x+5000000022又・・・x2+2y2—6=0消y可得x=2(舍)，x=2即MN为x=20000033②若直线MN斜率在，设MN为：y=kx+m,M(xy),N(xy)1,12,2歹消y得Gk2+1)x2+4kmx+2m2一6=0,、x2+2y2一6=02020年全国新高考2020年全国新高考I卷数学高考真题2020年全国新高考2020年全国新高考I卷数学高考真题△〉06k2一m2一4>0x+