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文档简介
2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时目标1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件.1.向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________,这种运算叫做向量的__________,记作________,其长度与方向规定如下:(1)|λa|=__________.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当时,与a方向相同,当时,与a方向相反));特别地,当λ=0或a=0时,0a=________或λ0=2.向量数乘的运算律(1)λ(μa)=________.(2)(λ+μ)a=____________.(3)λ(a+b)=____________.特别地,有(-λ)a=____________=________;λ(a-b)=____________.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______________.4.向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=一、选择题1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=eq\f(1,2)2.已知向量a、b,且eq\o(AB,\s\up6(→))=a+2b,eq\o(BC,\s\up6(→))=-5a+6b,eq\o(CD,\s\up6(→))=7a-2b,则一定共线的三点是()A.B、C、DB.A、B、CC.A、B、DD.A、C、D3.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→)),则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上4.已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=meq\o(AM,\s\up6(→))成立,则m的值为()A.2B.3C.4D5.在△ABC中,点D在直线CB的延长线上,且eq\o(CD,\s\up6(→))=4eq\o(BD,\s\up6(→))=req\o(AB,\s\up6(→))+seq\o(AC,\s\up6(→)),则r-s等于()A.0B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,3)D.36.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,eq\o(BC,\s\up6(→))2=16,|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=|eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))|,则|eq\o(AM,\s\up6(→))|等于()A.8B.4C.2D题号123456答案二、填空题7.若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(1,3)a))-eq\f(1,2)(c+b-3y)+b=0,其中a、b、c为已知向量,则未知向量y=_______.8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,且eq\o(OC,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→)),则x+y=________.9.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量eq\o(CD,\s\up6(→))=______.(填写正确的序号)①-eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))②-eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))③eq\o(BC,\s\up6(→))-eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))④eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))10.如图所示,在▱ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AN,\s\up6(→))=3eq\o(NC,\s\up6(→)),M为BC的中点,则eq\o(MN,\s\up6(→))=______.(用a,b表示)三、解答题11.两个非零向量a、b不共线.(1)若Aeq\o(B,\s\up6(→))=a+b,Beq\o(C,\s\up6(→))=2a+8b,Ceq\o(D,\s\up6(→))=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线12.如图所示,在▱ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AN,\s\up6(→))=3eq\o(NC,\s\up6(→)),M为BC的中点,则eq\o(MN,\s\up6(→))=______.(用a,b表示)能力提升13.已知O是平面内一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心14.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若eq\o(AC,\s\up6(→))=a,eq\o(BD,\s\up6(→))=b,则eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a+eq\f(1,2)bB.eq\f(2,3)a+eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a+eq\f(1,4)bD.eq\f(1,3)a+eq\f(2,3)b1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的.2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量eq\f(a,|a|)表示与向量a同向的单位向量.3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具,即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2.2.3向量数乘运算及其几何意义知识梳理1.向量数乘λa(1)|λ||a|(2)λ>0λ<0002.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λa+λb-(λa)λ(-a)λa-λb3.b=λa4.加减数乘λμ1a±λμ2作业设计1.D[当k=eq\f(1,2)时,m=-e1+eq\f(1,2)e2,n=-2e1+e2.∴n=2m,此时,m,n共线.2.C[∵eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=2a+4b=2eq\o(AB,\s\up6(→)),∴A、B、D三点共线.]3.D[eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))-eq\o(PA,\s\up6(→)),∴eq\o(PC,\s\up6(→))=-2eq\o(PA,\s\up6(→)),∴P在AC边上.]4.B[∵eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(MC,\s\up6(→))=0,∴点M是△ABC的重心.∴eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=3eq\o(AM,\s\up6(→)),∴m=3.]5.C[∵eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))=4eq\o(BD,\s\up6(→)),∴eq\o(CB,\s\up6(→))=3eq\o(BD,\s\up6(→)).∴eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))∴r=eq\f(4,3),s=-eq\f(4,3),r-s=eq\f(8,3).]6.C[∵eq\o(BC,\s\up6(→))2=16,∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|=4.又|eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))|=|eq\o(CB,\s\up6(→))|=4,∴|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=4.∵M为BC中点,∴eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))),∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|=eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|=2.]7.eq\f(4,21)a-eq\f(1,7)b+eq\f(1,7)c8.1解析∵A,B,C三点共线,∴∃λ∈R使eq\o(AC,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=λ(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))).∴eq\o(OC,\s\up6(→))=(1-λ)eq\o(OA,\s\up6(→))+λeq\o(OB,\s\up6(→)).∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1.9.①解析-eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→)).10.eq\f(1,4)(b-a)解析eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(AN,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)b-a+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)b-a+eq\f(3,4)(a+b)=eq\f(1,4)(b-a).11.(1)证明∵Aeq\o(D,\s\up6(→))=Aeq\o(B,\s\up6(→))+Beq\o(C,\s\up6(→))+Ceq\o(D,\s\up6(→))=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6Aeq\o(B,\s\up6(→)),∴A、B、D三点共线.(2)解∵ka+b与2a+kb共线,∴ka+b=λ(2a+kb∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k-2λ=0,,1-λk=0))⇒k=±eq\r(2).12.证明设eq\o(BA,\s\up6(→))=a,eq\o(BC,\s\up6(→))=b,则由向量加法的三角形法则可知:eq\o(CM,\s\up6(→))=eq\o(BM,\s\up6(→))-eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))-eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)a-b.又∵N在BD上且BD=3BN,∴eq\o(BN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→)))=eq\f(1,3)(a+b),∴eq\o(CN,\s\up6(→))=eq\o(BN,\s\up6(→))-eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(a+b)-b=eq\f(1,3)a-eq\f(2,3)b=eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a-b)),∴eq\o(CN,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(CM,\s\up6(→)),又∵eq\o(CN,\s\up6(→))与eq\o(CM,\s\up6(→))共点为C,∴C、M、N三点共线.13.B[eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)为eq\o(AB,\s\up6(→))上的单位向量,eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)为eq\o(AC,\s\up6(→))上的单位向量,则eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD,\s\up6(→))的方向.又λ∈[0,+∞),∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(A
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