2019届中考数学圆切线证明综合试题新人教

2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版9/92019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的地址关系，就出现了新的一类习题，就是证明素来线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连接OE，AD.AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，OB⊥BF.0∴∠OEF=90.EF与⊙O相切.说明：此题是经过证明三角形全等证明垂直的例2如图，AD是∠BAC的均分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连接EC.AD是∠BAC的均分线，∴∠DAB=∠DAC.PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，0∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90.0∴∠1+∠EAC=90.即OA⊥PA.PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连接OA，OE.AD是∠BAC的均分线，⌒BE=CE，OE⊥BC.0∴∠E+∠BDE=90.OA=OE，∴∠E=∠1.PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,0∴∠1+∠PAD=90即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是经过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连接OD.AB=AC，∴∠B=∠C.OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，DM⊥OD.DM与⊙O相切证明二：连接OD，AD.AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.DM是⊙O的切线说明：证明一是经过证平行来证明垂直的利用已知及图上已知.

DC.证明二是经过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分0例4如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连接OC、BC.OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.DOB=BD，∴OB=BC=BD.OC⊥CD.DC是⊙O的切线.说明：此题是依照圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这类方法较好.2例5如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连接OC2∵OA=OD·OP，OA=OC，2∴OC=OD·OP，OCOPOD.OC又∵∠1=∠1，∴△OCP∽△ODC.∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，0∴∠OCP=90.∴PC是⊙O的切线.说明：此题是经过证三角形相似证明垂直的例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.解析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连接OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连接OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.AD=CD，DE=DE，0∠ADE=∠CDE=45，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明

l

是⊙O的切线，只需作

OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连接DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，DE⊥AB.DF⊥AC，0∴∠DEB=∠DFC=90.AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）DF=DE.F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是经过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角均分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角均分线有关.例8已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且求证：CD是⊙O的切线.证明一：连接OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.AC∥BD，0∴∠1+∠2+∠3+∠4=180.0∵∠COD=90，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.0∵∠4+∠5=90.Rt△AOC∽Rt△BDO.

0AC∥BD，若∠COD=90.OACOC.OBODOA=OB，ACOC.OAOD0又∵∠CAO=∠COD=90，∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,OE=OA.E点在⊙O上.CD是⊙O的切线.证明二：连接OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，AC⊥OA，BD⊥OB.AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）OF=OD.0∵∠COD=90，CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，OE=OA.E点在⊙O上.CD是⊙O的切线.证明三：连接AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连接OF.∵AC与⊙O相切，AC⊥AO.AC∥BD，AO⊥BD.BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.AB是⊙O的直径.AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.0∵∠COD=90，CF=DF，∴OF

1CD

CF

.2∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这类方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参照.以下是武汉市20072010中考题汇编：（2007中考）22．(此题8分)如图，等腰三角形中，＝＝，＝12。以为直径作⊙O交ABCACBC10ABBCAB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。求证：直线EF是⊙O的切线；求CF:CE的值。

AFDGEBO

C(第22题图)（2008中考）22．（此题8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的均分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若AC3，求AF的值。AB5DFECDFAOB（2009中考）22．（此题满分8分）如图，Rt△ABC中，，以AB为直径作⊙