均值不等式必备题型-解析版

显式基本量式方程模型的妙完全平方一元函数不等

隐式基本量（变形a22一．四个a2221

ab2

(a>0,b>11，猫狗，猫狗，猫2狗2猫1．（2014•唐山二模）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=8，则a+b+c的最 A B2

3D．解解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴2（a2+b2+c2）≥2ab+2bc+2ac，答∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2．∴= ：当且仅当a=b=c=时取等号．∴a+b+c的最大值 ．故选点本题考查了实数的性质和不等式的性质，属于中档题．： 本题考查了基本不等式求最值，在利用调和平均数的定义结合已知得到x、评：的关系后，关键在于整理变形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求 二模）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小4 解：∵x2+4y2≥=4|xy|=4，当且仅当|x|=2|y|=时取等号，答：∴x2+4y2的最小值为4．故答案为：4．点 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题评：函数 为

)2(小值 x3时yx2x3时，函数yx2

2x82x

的最小值 的最大值 当0x1时，函数y1x(12x)的最大值 f(ab形G(ab

ab1ab14

F(ab11、设a0,b0,ab1,求证： 11 2、已知ab均为正数ab(a1)2(b1)2 3．（2014•宁波模拟）已知正实数a，b满足2a+b=1，则4a2+b2+的最 解：4a2+b2+= =1+﹣4ab，令ab=t，则4a2+b2+=1+﹣答：4t．∵正实数a，b满足 ，∴0＜ab，∴0＜t由y=﹣4t可得y′=﹣﹣4＜0，∴0＜t时，y=﹣4t单调递减，∴y≥故答案为：点 本题考查最值问题，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，考查学评：分析转化问题的能力，属于中档题．二、方程模型：xy2xy3,求xy或者xy范使用心法求谁范围对另一个列均值不等母题1（1若正数a,b满足abab3则ab的取值范围 （2）设x0,y0，x2y2xy8，则x2y的最小值为 母题2：若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围为 1．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值 A B 基本不等式，整理（x+2y）2+4（x+2y）答：﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选2．（2014•漳州模拟）若正实数x，y满足，则x+y的最大值 A B

D． 解： ，化 答=4，当且仅当x=y=2时取等号．∴x+y的最大值4．故选3．（2013•一模）已知x＞0，y＞0，且4xy﹣x﹣2y=4，则xy的 BCD 解：∵x＞0，y＞0，且4xy﹣x﹣2y=4，∴4xy﹣4=x+2y≥答：整理可得2xy﹣﹣2≥0解不等式可得，即xy≥2xy的最小值为故选点 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题时要注意公式的灵评：应用4.三个实数a,b,c成等比数列若a+b+c=1则b的取值范围 变式训练已知x＞0，y＞01 8-，，x2+2y的最小值最小值是，+y 设x,y均为正实数，且3

1，则xy2 23．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取 A B D 解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数答：∴= =1（当且仅当x=2y时取=1，此时∴+﹣=+﹣ 的最大值为1．故选三、“1”的1、若x

为正整数，且满 2、若x

为正整数，且满 3、已知a0,b0,ab1,求证：1 42a12b1变式1：设x0,y0，x2y2xy，则x2y的最小值 变式2．若三角形的三个内角的弧度数分别为α，β，γ，则的最小值 变式3：（3）已知0x4，则4x

4

的最小值 解：∵三角形的三个内角的弧度数分别为答：∴+=令f（α）= 令f′（α）=0，解得（α）＞0，函数f（α）单调递因此 时，