2019年全国高中数学联赛预赛试题及解答

第第2页，共3页第第1页•共3页中南传媒湖南新教材杯二0一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷(考试时间：2019年6月30日9：00-11：30,满分150分)题号—111213141516总分得分评分人复核人一、填空题(共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上)IslL矢llo2-2・\\.A=｛x-2<x<67]•.y-2x+3,xe>C=t=x2,xe,TOC\o"1-5"\h\z若CyB,则。的取值范圈是.2、AJBC的上边分别为a,b,c.O为的外心，已知廿—2b+F=0,貢•而的収值范田是-3、l!知a=log4e.b=loy4,c=log45,则a,b,c的大小关系是.4、若方=if实数解，则实数。的取值范用是.5、在数列｛a“｝屮，q=2,an+an+l=1("eN‘)，设S“为数列｛an｝的前n项和，则Sqoh-2S2O18+S^ig的值为•6、在复平面内,复数z15z2,z3的对应点分别为Z1?Z2,Z3,^|z1|=|z2|=V2,^-5z^=0,k+Zj-Z31=2,则匕3的取值范圉是•ln.x>a*>1»7、已知函数心)=1.1,若m<n,H如7)=/(”)，则n—m的放小值是・亍v十〒a<L8、已知椭圆―+^-二1的左、右焦点分别为Fl、F2,过椭圆的右焦点作-•条比线/交椭圆于点43P、0•则内切圜血积的最人值是.9、(2知x>0,卩>011—!一+—!—=1,则兀+2卩的最小值为・2x+yv+110、定义两点P(叫,片)，0(%,儿)Z间的“他标距离”为：d(P,Q)=1X]--v,I+1｝\-y21•若C(x.y)到点.4(1.3),B(6,9)的“世标距离”相等,其中实数水卩满足0<.v<10,0<y<10,则所有满足条件的点u的轨迹的氏Z和为

二解答题（共6小题，满分80分。要求写出解题过程）11、（13分）己知向星〃7=（cos才，一l）j7=（j3sii】T，cos=）,设换数/（X）=m•/?+1.<1）若xe[0,—],f（x）=U■，求cosx的值；210（2）在ZUBC屮，角H,B、C的对边分别是a・b,c,II.满足2bcosA<2c-y/^ci,求/（B）的取値范I期.12、（13分）2019年数学奥林匹克竞赛试行改革:某市在高二•年中举行5次联合竞赛，学生如果其中2次成绩达到该市前20名即可进入省队培训,不用参加其余的克赛,而每个学工最多也只能参加5次竞赛•规定:若前4次竞赛成绩都没右达全市询20名,则第5次不能参加竞赛.假设某学牛•每次成绩达全市前20名II勺槪率都足丄，每次竟甥成绩达全市前20名打否僦I独乙4（1）求该学生进入省队的概率.（2）如果该洼工进入省队或参加完5次竟赛就结束，记该学丫参加竟赛的次数为「求f的分布列及纟的数学期里.13、（13分）己知数列｛Q”｝中,兔=1卫2=丄,I」•盼=（“_1"（"=2,3,4,…）.・4n-an（1）求数列｛。“｝的通项公式；(2)求证:对_切(2)求证:对_切w6AT*,Jt-1°笫笫3页，共3页14、(13分)己知三棱锥P-ABC(如图1)的平而展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于2血的正方形，AABE和均为正1角形，在三棱锥P-ABC中:(I)证明:平ffiPJC丄平而ABC；PU1(II)若点M为棱舲匕一点14^=一・求二MP-BC-M的余弦值.MA2图1图215、(14分)已知椭|同£：二+二=1(°>/,>0),其短轴为4,离心率为即双曲线-一二=1/Zrmn(加>0,”>0)的渐近线为y=±x,离心率为<?2,n.ere2=1.求椭惻£的方用；设椭圆E的右焦点为F,过点0(4.0)作斜率不为0的直线交椭圆E予N两点,设11^FM和FN的斜率为心.k.试判断々+底是否为定值，若是足值，求出该朮値；若不是定值，请说明理由.16、(14分)己知函数/(x)=x-丄-tax•若/(x)=x-丄-lux•在X=X[,也(码”2)处导数相等，证明:/(xl)+/(x,)>3-21n2•A若对「•任点Mg(y；,1),直线y=kx+hfj|lh线_y=f(x)都仃唯•公丿〔点，求实数6的収值范围.

中南传媒湖南新教材杯二0一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题(共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上)题号12345678910答案［訶a<cba3中南传媒湖南新教材杯二0一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题(共10小题，每小题7分，满分70分。请直接将答案写在题中的横线上)题号12345678910答案［訶a<cba3[a]3-21n29—16価+二、解答题(共6小题，满分80分。要求写出解题过程)11、(13分)已知向§77?=(cos^-,-l),7?=(V3sin—,cos*—)»设函数J\x)=w•r?+1.若/(x)=—,aRcosx的值；210在ZU3C中，角儿B,C的对边分别是⑴b.c.且满足2方cos/S2c—岳，求/(B)的取值范隊解：(1)/'(x)=>/3sin—cos—-cos2—4-1=—si2222sinx-=^slnx_lcosx+l=sin(x_-)+l22262]j托3兀v/(x)=-,.-.sm(x--)=-;X-.-xe[0,兀.冗冗、nrlz帀、4

才〔飞'汀Hlcos(x'?)=?71・•・COS"cos[叶◎+兰rc。心上)cos兰-sin(x-◎sin匚也-26666661010(2)由2bcosA<2c-y/3ci得：2sin5cos<2sinc--^3sin^4=>2sin〃cos/S2sin(/+B)->/Jsin/n2sin5cosA<2[sinAcosB+sinEcos〃]一y/3sinA2sinAcosB>y/3sinAH]62I2.12、(13分)2019年数学奥林叽克竞赛试彳亍改革：某市在高二一年中举行5次联合竞赛，学生如果其中2次成绩达到该市前20名即可进入省队培训，不川参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规第1页,共6页第第2页.共6页定：若前4次竞赛成绩祁没有达全市前20名，则第5次不能参丿川竞赛.假设某学生毎次成绩达全市前20名的概率都是丄•每次竞赛成绩达全市前20名与否互相独立.4求该学生进入省队的概率.如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为？，求$的分布列及？的数学期望.解：(1)记“该生进入省队“的事件为事件X,具对立事件为万，P（J）=1-P（1）=1-^=47'1285分(2)该生参加竞赛次数纟的可能取值为2,3,4,5・6分(1"冷)七P（^3）=C>xlx|P（J）=1-P（1）=1-^=47'1285分(2)该生参加竞赛次数纟的可能取值为2,3,4,5・6分(1"冷)七P（^3）=C>xlx|xl=±,1（3）0・]（3）X—X—X-+—4(4丿4〔4丿116P«=4）=CJ278127=+=—■256256642764^=5）=C>lx||故孑的分布列为:2345P132727326464陀）亠丄+3丄+4曰+5xZ型163264646413分13、(13分)己知数列｛©,｝中，a｛==—,且a*=~~⑺=2,3,4,…)•4(I)求数列s”｝的通项公式；(2)求证：对一切N"，有匕；第第页，共6页解：(1)/(x)=l+±-l,令广（兀）二广（心）二〃八山韦达定理得丄+丄二解：(1)/(x)=l+±-l,令广（兀）二广（心）二〃八山韦达定理得丄+丄二19I!卩X]+兀=兀•吃＞2&]兀9卑！兀•“2•••/(")+/(A2)=(Vi+A2)+—xlX1-(liu;+lru\)=x{x2-lnjx^)-1令f=xt-x2>4,则ApV2-ln(xrr2)-I=r-lnr-l,令g(r)=r-lnr-l(r>4),则g'⑴二1一扌>0(，>4)»得g(/)>g(4)二3_2h】27分兀_丄_lnx_b(2)|!|/(x)=^-十b,得斤=>x兀-丄-\nx-b令〃(x)=•贝ljx->0+,力(*)->一8・XT+OC9卜面先证明/心）＜1怕成立.若存在x0g（0,+oo）,使得h（xQ）＞l,QxtO+,心）TY）,且当自变呈;r充分大时,/心)二——<1r所以〃在片曰0比)，x2g(xq.+x),使得力(xJ<1,h(x1)<l,X取上=max{/?(xiMg)}<1