2023届河北省大名县一中高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（）A． B．C． D．2．若、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．3．函数的对称轴不可能为（）A． B． C． D．4．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．5．已知，，，则()A． B． C． D．6．若实数x，y满足条件，目标函数，则z的最大值为()A． B．1 C．2 D．07．如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，将△ABM沿着AM翻折成△AB'M，且点B'不在平面AMC内，点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，则直线AP经过△AB'CA．重心 B．垂心 C．内心 D．外心8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：①曲线有四条对称轴；②曲线上的点到原点的最大距离为；③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；④四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④9．已知复数(1+i)(a+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）A．-1 B．1 C．0 D．210．在的展开式中，的系数为()A．-120 B．120 C．-15 D．1511．在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A． B．C． D．12．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.14．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____．15．已知数列的各项均为正数，记为数列的前项和，若，，则______.16．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求边长.19．（12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次数为．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.21．（12分）已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值．22．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.（1）求角的大小；（2）求的值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.【题目详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，即，①.因为，①式两边同除以，得.所以方程有三个不等的正实根.记，，则上述方程转化为.即，所以或.因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.当时，，在上单调递减，且时，.所以当时，取最大值，当，有一根.所以恰有两个不相等的实根，所以.故选：B.【答案点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.2．C【答案解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【题目详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由，得，平移直线，当直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故选：C.【答案点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.3．D【答案解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【题目详解】对于函数，令，解得，当时，函数的对称轴为，，.故选：D.【答案点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．4．C【答案解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【题目详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【答案点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.5．B【答案解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.【题目详解】由于，，故.故选：B.【答案点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.6．C【答案解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【题目详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【答案点睛】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.7．A【答案解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到SΔPB'M【题目详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P为CB'中点.故选：A.【答案点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．C【答案解析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.【题目详解】①：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②：因为，所以，所以，所以，取等号时，所以最大距离为，故错误；③：设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为，所以，所以，取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.故选：C.【答案点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明.9．B【答案解析】

化简得到z=a-1+a+1【题目详解】z=1+ia+i=a-1+a+1i为纯虚数，故a-1=0故选：B.【答案点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.10．C【答案解析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．【题目详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C【答案点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．11．D【答案解析】试题分析：由已知可得有两个不等实根.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.12．D【答案解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【题目详解】将将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数又由函数为偶函数，所以，解得，因为，当时，，故选D．【答案点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【答案解析】

由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【题目详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【答案点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.14．3﹣4i【答案解析】

计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案.【题目详解】∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则．故答案为：3﹣4i．【答案点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.15．63【答案解析】

对进行化简，可得，再根据等比数列前项和公式进行求解即可【题目详解】由数列为首项为，公比的等比数列，所以63【答案点睛】本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质16．【答案解析】

由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.【题目详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为，准线方程为过作准线的垂线，垂足为，则设直线的倾斜角为，则当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切设直线的方程为，代入得：，解得：或双曲线的实轴长为，焦距为双曲线的离心率故答案为：【答案点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析（2）【答案解析】

（1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；（2）结合（1）可证明两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：设，连接，如下图所示：∵侧面为菱形，∴，且为及的中点，又，则为直角三角形，，又，，即，而为平面内的两条相交直线，平面.(2)平面，平面，，即，从而两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系，为等边三角形，，，，设平面的法向量为，则，即，∴可取，设平面的法向量为，则.同理可取，由图示可知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.【答案点睛】本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.18．（1）；（2）.【答案解析】

（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.【题目详解】（1）因为，，所以，，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【答案点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.19．（1）见解析，（2）（i）见解析（ii）时平均检验次数最少，约为594次．【答案解析】

（1）由题意可得，的可能取值为和，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.（2）（i）由记，根据函数的单调性即可证出；记，当且取最小值时，该方案最合理，对进行赋值即可求解.【题目详解】（1）由题，的可能取值为和，故的分布列为由记，因为，所以在上单调递增，故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理记当且取最小值时，该方案最合理，因为，，所以时平均检验次数最少，约为次．【答案点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.20．（1）;（2）.【答案解析】

（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得的长；（2）将的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得的坐标，再根据两点间距离公式即可求得.【题目详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，化为直角坐标方程为，即直线与曲线交于两点.则圆心坐标为，半径为1，则由点到直线距离公式可知，所以.（2）点的极坐标为，化为直角坐标可得，直线的方程与曲线的方程联立，化简可得，解得，所以两点坐标为，所以，由两点间距离公式可得.【答案点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，