数值分析(研究生)常微分方程的数值解法二市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

第七章常微分方程数值解法（二）第四节线性多步法第五节单步法收敛性与稳定性第六节一阶方程组和高阶方程第七节边值问题数值解法§4线性多步法用若干节点处y及y’值线性组合来近似y(xi+1).)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可写为：当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式.

基于数值积分结构法将在上积分，得到只要近似地算出右边积分，则可经过近似y(xi+1).而选取不一样近似式Ik，可得到不一样计算公式.亚当姆斯显式公式利用k+1个节点上被积函数值结构k阶牛顿后插多项式,有Newton插值余项/*显式计算公式*/局部截断误差为：例1k=1时有注：普通有，其中Bk与yi+1计算公式中fi,…,fik

各项系数均可查表得到.10123kfifi1fi2fi3…Bk…………………Misprintonp.106惯用是k=3

4阶亚当姆斯显式公式亚当姆斯隐式公式利用k+1个节点上被积函数值fi+1

,fi,…,fik+1

结构k阶牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式，并有，其中与fi+1

,fi,…,fik+1系数亦可查表得到.~~10123kfi+1fifi1fi2…Bk…………………~惯用是k=3

4阶亚当姆斯隐式公式小于Bk较同阶显式稳定亚当姆斯预测-校正系统

Step1:用Runge-Kutta法计算前k

个初值；Step2:用Adams显式计算预测值；Step3:用同阶Adams隐式计算校正值.注意：三步所用公式精度必须相同。通惯用经典Runge-Kutta法配合4阶Adams公式.4阶Adams隐式公式截断误差为4阶Adams显式公式截断误差为当h充分小时，可近似认为ii

，则：Predictedvaluepi+1Modifiedvaluemi+1Correctedvalueci+1Modifiedfinalvalueyi+1外推技术/*extrapolation*/§5收敛性和稳定性一、收敛性定义若某算法对于任意固定x=xi=x0+ih，当h0

(同时i)时有yi

y(xi

)，则称该算法是收敛.例3就初值问题考查欧拉显式格式收敛性.解：该问题准确解为尤拉公式为对任意固定x=xi=ih，有0.00.10.20.30.40.5准确解改进尤拉法

尤拉隐式尤拉显式

节点xi二、稳定性例4考查初值问题在区间[0,0.5]上解.分别用欧拉显、隐式格式和改进欧拉格式计算数值解.

1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107定义若某算法在计算过程中任一步产生误差在以后计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定.普通分析时为简单起见，只考虑试验方程常数，能够是复数当步长取为h时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于绝对稳定，全体组成绝对稳定区域.我们称算法A比算法B稳定，就是指A绝对稳定区域比B

大.hlh=h例5考查显式欧拉法由此可见，要确保初始误差0以后逐步衰减，必须满足：0-1-2ReImg例6考查隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：210ReImg注：普通来说，隐式尤拉法绝对稳定性比同阶显式法好.例7隐式龙格-库塔法而显式1~4阶方法绝对稳定区域为其中2阶方法绝对稳定区域为0ReImgk=1k=2k=3k=4-1-2-3---123ReImg无条件稳定§6微分方程组与高阶方程一、一阶微分方程组IVP普通形式为：==))(,...),(,()(.........))(,...),(,()(1111xyxyxfxyxyxyxfxymmmm初值0002020101)(,...,)(,)(mmyxyyxyyxy===将问题记作向量形式，令：前述全部公式皆适合用于向量形式.二、高阶微分方程====---10)1(1000)1()()(,...,)(,)(),...,,,(nnnnaxyaxyaxyyyyxfy化作一阶微分方程组求解.引入新变量初值条件为：§7边值问题数值解法2阶常微分方程边值问题打靶法先猜测一个初始斜率y(a)=s，经过解初值问题y(b)=(s)找出s*使得(s*)=，即把问题转化为求方程(s)=0根.yx0abyx()b斜率=s