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大一上学期高数知识点大一上学期高数知识点大一上学期高数知识点大一上学期高数知识点编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:第二章导数与微分一、主要内容小结1.定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2）定理与运算法则定理1存在.定理2若在点处可导，则在点x处连续；反之不真.定理3函数在处可微在处可导.导数与微分的运算法则：设均可导，则,,，（3）基本求导公式2.各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对求导）.（7）分段函数微分法3.高阶导数（1）定义与基本公式高阶导数公式：莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法①直接法②间接法4.导数的简单应用(1)求曲线的切线、法线(2)求变化率——相关变化率二、例题解析例设,（K为整数）.问：（1）当K为何值时，在处不可导；（2）当K为何值时，在处可导，但导函数不连续；（3）当K为何值时，在处导函数连续解函数在x=0点的导数：===即当时,的导函数为：为使，取即可。因此，函数当K≤1时，在处不可导；当时，在处可导，但导函数在处不连续；当时，在处可导且导函数在处连续。例，求。分析本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。解=。所以。如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。例，求。分析本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解因为所以=例设，求。解利用积的求导法则及复合函数求导法则，有==。例设方程,求.本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。解(方法一)方程两端同时对求导(y看作x的函数),由复合函数求导法可得(方法二)方程两边同时微分：所以例已知,为二次可微函数,且，求,。分析这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。解因为=所以。又所以=。常见错解：。错误原因没有搞清求导对象.是一阶导数对求导,而是一阶导数对t求导。例求函数的微分。解==例设,求。分析本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。解===（）例设求的导函数的连续区间，若间断，判别类型，并分别作与的图形。分析函数是用分段表达的函数.在的两侧：当时，；当时，.因此，在处，的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。解因为，所以

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