人教部编版九年级数学上册《第21章 一元二次方程【全章】》优质课件

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《第21章一元二次方程【全章】》

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《第21章一元二次方程【全章21.1一元二次方程

——一元二次方程的相关概念R·九年级上册21.1一元二次方程

——一元二次方程的相关概念R·九年级新课导入导入课题情景：要设计一座高2m的人体雕像,使

它的上部(腰以上)与下部(腰以

下)的高度比等于下部与全身的

高度比,则雕像的下部应设计多

少米高?新课导入导入课题情景：要设计一座高2m的人体雕像,使思考问题问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？问题4：设雕像下部高BC=xm,请说出你所列的方

程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？

它有什么特点？审、设、列、解、验、答x2+2x-4=02mx2-x思考问题问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？问题2：你能学习目标（1）会设未知数，列一元二次方程.（2）了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地

指出各项系数.学习目标（1）会设未知数，列一元二次方程.（2）了解一元二次推进新课知识点1寻找等量关系列方程并化简问题1

有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？推进新课知识点1寻找等量关系列方程并化简问题

问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为

cm，则盒底的宽为

cm，盒底的长为

cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600cm2，可列方程为

.(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去(100-2x)(50-2x)=36005000－100x－200x+4x2=36004x2－300x+1400=0x2－75x+350=0先去括号移项、合并同类项系数化为1(100-2x)(50-2x)=

问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为

场.设邀请

支队参赛，则每支队与其余

支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程是

.整理为

.28x(x-1)x(x-1)=28x2-x=56

问题2

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为强化训练①一个圆的面积是2πm2，求半径r.

②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求

较长的直角边x的长.③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等

于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.πr2=2π

x=(1-x)2强化训练①一个圆的面积是2πm2，求半径r.πr2=2π

知识点2一元二次方程的概念下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？x2+2x-4=0①x2－75x+350=0②x2-x=56③只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2.知识点2一元二次方程的概念下列方程中未知数的个数和最高次数各结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.若方程（m-1）x2+

x=1是关于

x的一元二次方程，则m的取值范围是

.m≥0且m≠1结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：若方程（m

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？

因为a=0时，未知数的最高次数小于2.知识点3一元二次方程的一般形式

a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号。例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号。知识点4一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.知识点4一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等.下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？-5，-4，-3，随堂演练基础巩固1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别

是（

）A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，02.下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.C解：－4，3.随堂演练基础巩固1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）3x2+1=6x；

（2）4x2=81－5x；解：一般形式：3x2-6x+1=0

二次项系数：3

一次项系数：-6

常数项：1解：一般形式：4x2+5x-81=0

二次项系数：4

一次项系数：5

常数项：-813.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二4.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平

方的长方形?

解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.

根据题意，得x(0.5-x)=0.06,

整理，得50x2-25x+3=0.（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10

次.有多少人参加这次聚会？

解：设有x人参加了这次聚会,

根据题意，得

x(x-1)=10，

整理，得x2-x-20=0.4.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.综合应用在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一

条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂

图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x

满足的方程是（

）

A.x2+130x+1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0B综合应用在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一B拓展延伸6.如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另

一个根.

解：将2代入原方程中，22-c=0，得c=4.

将c=4代入原方程，得x2-4=0.

解得x=±2.

即方程的另一个根为-2.拓展延伸6.如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方课堂小结一般形式：

ax2+bx+c=0(a≠0)a+b+c二次项系数一次项系数常数项一元二次方程概念一个未知数最高次是2整式方程课堂小结一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；23课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想24谢谢观赏！谢谢观赏！25再见！再见！2621.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法R·九年级上册21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时新课导入导入课题

一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简.相等6x2×10=1500化简为：x2=25新课导入导入课题一桶油漆可刷的面积为1500学习目标（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一

元二次方程.（2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.（3）体会“降次”的数学思想.学习目标（1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=推进新课知识点1用直接开平方法解一元二次方程问题1

根据平方根的意义解导入列出的方程：

x2=25.解：根据平方根的意义，得x=±5即x1=5，x2=-5因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.推进新课知识点1用直接开平方法解一元二次方程问题1根据平巩固练习根据平方根的意义解方程x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6x1=6，x2=-6x2=4x=±2x1=2，x2=-2巩固练习根据平方根的意义解方程x2=36；当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根

x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.规律总结当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根知识点2降次你认为应怎样解方程(x+3)2=5?由方程x2=25得x=±5.以此类推：由方程(x+3)2=5，可得知识点2降次你认为应怎样解方程(x+3)2=5?由方程x2=解方程(x+3)2=5，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解.当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是

,当p<0时，方程(mx+n)2=p

.无实数根解方程(x+3)2=5，实质上是把一个一元二次方程降次，巩固练习(x+6)2－9=03(x－1)2－12=0解：(x+6)2=9

x+6=+3x1=－3,x2=－9解：3(x－1)2=12(x－1)2=4

x－1=+2x1=3,x2=－1巩固练习(x+6)2－9=0随堂演练一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，

其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一

次方程是（

）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-42.方程3x2+9=0的根为（

）A.3B.－3C.±3D.无实数根3.若8x2-16=0，则x的值是

.DD

随堂演练一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方4.解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得

x+m=±

，方程的两根为x1=

-m,x2=-

-m.

②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得

x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m.

③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.4.解关于x的方程(x+m)2=n.课堂小结当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根

x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是

,当p<0时，方程(mx+n)2=p

.无实数根课堂小结当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；39课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想40谢谢观赏！谢谢观赏！41再见！再见！42R·九年级上册21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第2课时配方法R·九年级上册21.2解一元二次方程

21.2.1配新课导入导入课题请把方程(x+3)2=5化成一般形式。那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+m)2=n的形式吗？这节课我们一起来学习配方法。新课导入导入课题请把方程(x+3)2=5化成一般形式。那么你学习目标（1）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会

用配方法解一元二次方程.（2）通过配方进一步体会“降次”的转化思想.学习目标（1）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会推进新课知识点1用配方法解一元二次方程怎样解方程x2+6x+4=0?分析：我们已经会解方程(x+3)2=5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？推进新课知识点1用配方法解一元二次方程怎样解方程x2+6x+降次左边写成完全平方式使左边配成x2+2bx+b2的形式x2+6x+4=0x2+6x=－4移项两边加9x2+6x+9=－4+9(x+3)2=5

解一次方程降次左边写成使左边配成x2+2bx+b2的形式x2回忆完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2思考：为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.回忆完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2思考：为什么试一试：对下列各式进行配方：x2+10x+25=(x+5)2

x2-12x+36=(x－6)2试一试：对下列各式进行配方：x2+10x+25知识点2用配方法解一元二次方程的一般步骤例1

解下列方程(1)x2-8x+1=0(2)2x2+1=3x(3)3x2-6x+4=0(1)解：移项，得：x2-8x=-1

配方，得：x2-8x+42=-1+42(x-4)2=15知识点2用配方法解一元二次方程的一般步骤例1解下列方(2)2x2+1=3x

(2)解：移项，得：2x2-3x=-1二次项系数化为1：

配方，得：(2)2x2+1=3x(2)解：移项，得：2x2-3x(3)3x2-6x+4=0(3)解：移项，得：3x2-6x=-4二次项系数化为1：

配方，得：因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.(3)3x2-6x+4=0(3)解：移项，得：3x思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要

注意什么？思考2：说说配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要思考2：说说配方法一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.规律总结①当p>0时，则

，方程的两个根为②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为

x1=x2=-n.③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成规律总结①当p1.用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为()A.(x+3)2=16 B.(x-3)2=16C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=22.填空.(1)4x2+4x+1=(2)x2－30x+225=随堂演练基础巩固(2x+1)2

B(x－15)2

1.用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为3.用配方法解下列方程.

（1）x2+10x+9=0；

（2）x2+4x-9=2x-11;解：移项,x2+10x=-9

配方,x2+10x+25=16(x+5)2=16

x+5=±4方程的两个根为

x1=-1，x2=-9解：移项,x2+2x=-2

配方,x2+2x+1=-1(x+1)2=-1

方程没有实数根.3.用配方法解下列方程.解：移项,x2+10x=-9解：（3）x(x+4)=8x+12解：化简移项

x2-4x=12

配方

x2-4x+4=16(x-2)2=16

x-2=±4

方程的两个根为x1=6,x2=-2（3）x(x+4)=8x+12解：化简移项x2-4.当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出

这个最小值.解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17

∵(a+1)2≥0,

∴当a=-1时，原式有最小值为17.4.当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出解课堂小结配方法解一元二次方程配方法直接开平方法ax2+bx+c=0(a≠0）(x+m)2=n(n≥0)课堂小结配方法解一元二次方程配方法直接开平方法ax2+bx+课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；60课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想61谢谢观赏！谢谢观赏！62再见！再见！6321.2.2公式法

——根的判别式及求根公式R·九年级上册21.2.2公式法

——根的判别式及求根公式R·九年级上新课导入导入课题（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)吗？

我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.新课导入导入课题（1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？（学习目标（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式

直接判断一元二次方程的根的情况.（2）会用公式法解一元二次方程.学习目标（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式推进新课知识点1一元二次方程根的判别式任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)那么我们能否也用配方法得出它的解呢？推进新课知识点1一元二次方程根的判别式任何一ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数化为1，得配方，得即ax2+bx+c=0(a≠0)二次项系数化为1，得配方，得因为a≠0，所以4a2＞0.式子ax2+bx+c=0的根有以下三种情况：①当b2－4ac>0时，>0，方程有两个不等的

实数根因为a≠0，所以4a2＞0.式子ax2+bx+c=0的根有②当b2－4ac=0时，=0，方程有两个相等的

实数根③当b2－4ac<0时，

<0，方程没有实数根.②当b2－4ac=0时，=0，

Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+b巩固练习不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0方程有两个不等的实数根Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个相等的实数根巩固练习不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+52x2+4x－3=2x－4；

x(x+4)=8x+12.化简得2x2+2x+1=0Δ=b2-4ac

=22-4×2×1=-4<0方程无实数根化简得x2-4x-12=0Δ=b2-4ac

=(-4)2-4×(-12)=64>0方程有两个不等的实数根2x2+4x－3=2x－4；知识点2用公式法解一元二次方程当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.知识点2用公式法解一元二次方程当Δ≥0时，一元二次方程ax2

例2

用公式法解下列方程：解：a=1，b=-4，c=-7Δ=b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0

例2用公式法解下列方程：解：a=1，b=-4，c=(3)5x2-3x=x+1；(4)x2+17=8x.解：方程化为5x2-4x-1=0

a=5，b=-4，c=-1Δ=b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0解：方程化为x2-8x+17=0

a=1，b=-8，c=17Δ=b2－4ac

=(-8)2-4×1×17=-4＜0方程无实数根(3)5x2-3x=x+1；思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；

计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；

若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，

若Δ<0，方程无实数根.易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？步骤：先将随堂演练基础巩固一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（

）A.b2-4ac=0B.b2-4ac＞0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≥0B随堂演练基础巩固一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有3.利用求根公式求5x2+=6x的根时，a，b，c的值分别是（）2.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.

下列说法正确的是（）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解BC

3.利用求根公式求5x2+=6x的根时，a，b，c

解：Δ=b2-4ac

=(-24)2-4×16×9=0方程有两个相等的实数根

解：Δ=b2-4ac5.用公式法解下列方程：（1）x2+x－12=0；

（2）x2+4x+8=2x+11；解：a=1，b=1，c=-12Δ=b2－4ac=12-4×1×(-12)=49>0解：化简，得x2+2x-3=0

a=1，b=2，c=-3Δ=b2－4ac=22-4×1×(-3)=16>05.用公式法解下列方程：解：a=1，b=1，c=-12解：化6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等

的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2-5x+6-p2=0

∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,

∴Δ>0

∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个课堂小结公式法用求根公式解一元二次方程的方法一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac求根公式(b2－4ac≥0)当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程无实数根.课堂小结公式法用求根公式解一元二次方程的方法一元二次方程根的课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；84课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想85谢谢观赏！谢谢观赏！86再见！再见！8721.2.3因式分解法R·九年级上册21.2.3因式分解法R·九年级上册新课导入导入课题

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2.

问题：设物体经过xs落回地面，请说说你列出的方程.10x-4.9x2=0新课导入导入课题根据物理学规律，如果把一个物学习目标(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.学习目标(1)会用因式分解法解一元二次方程.推进新课知识点1用因式分解法解一元二次方程你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？是否还有更简单的方法呢？分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解这两个一次方程，得x1=0,x2=.推进新课知识点1用因式分解法解一元二次方程你能用配方法或公式思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次解下列方程：x(x-2)+x-2=0；解：分解因式，得

(x-2)(x+1)=0即x-2=0或x+1

=0,

x1=2，x2=-1解：移项、合并同类项得

4x2-1=0(2x-1)(2x+1)=0即2x-1=0或2x+1

=0,

x1=,x2=解下列方程：解：分解因式，得解：移项、合并同类项得思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是：

如果ab=0，则a=0或b=0.思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.解：由题可得x-2=0或x-3=0

x1=2,x2=3解：分解因式，得

故x=0或

x1=0,解下列方程：解：由题可得解：分解因式，得你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式；第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？第知识点2一元二次方程解法的选用选择适当的方法解下列方程：2x2-4x+1=0；(2x-1)2=x(3x+2)-7；解：解：化简，得

4x2-4x+1=3x2+2x-7

x2-6x+8=0(x-2)(x-4)=0

x1=2，x2=4知识点2一元二次方程解法的选用选择适当的方法解下列方程：解：

x2+2x-35=0；(x-1)2+2x-3=0；解：分解因式，得

(x-5)(x+7)=0

x1=5,x2=-7解：化简，得

x2-2x+1+2x-3=0

x2-2=0x2+2x-35=0；直接开平方法适用于哪种形式的方程？配方法适用于哪种形式的方程？公式法适用于哪种形式的方程？因式分解法适用于哪种形式的方程？x2=p(mx+n)2=pax2+bx+c=0(a≠0)

x2-(m+n)x+mn=0直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p(mx+n)2=p随堂演练基础巩固1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（

）A.3，-5B.-3，-5C.-3，5D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（

）

A.-1B.2C.1和2D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是

.4.方程

的根是

.DDx1=1,x2=2随堂演练基础巩固1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两5.用适当方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0;

（2）x2+5x+7=3x+11；解：化简，得

4x2+12x+9-25=0

x2+3x-4=0分解因式，得(x-1)(x+4)=0

x1=1,x2=-4解：化简，得

x2+2x=4

x2+2x+1=5(x+1)2=55.用适当方法解下列方程：解：化简，得解：化简，得6.若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，求此三角形的周长.解：x2-7x+12=0，则(x-3)(x-4)=0.

∴x1=3，x2=4.∵三角形三边长均为方程的根.①三角形三边长为4、3、3，周长为10；②三角形三边长为4、4、3，周长为11；③三角形三边长为4、4、4，周长为12；④三角形三边长为3、3、3，周长为9.6.若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，求7.用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0.解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2-x-4=0.∵a=5，b=-1，c=-4，b2-4ac=(-1)2-4×5×(-4)=81>0,

∴方程有两个不相等的实数根.

∴x=,

∴x1=,x2=1

因式分解法：方程左边提公因式，得

(5x+4)(x-1)=0，则x1=，x2=1.7.用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)课堂小结因式分解法通过因式分解实现降次来解一元二次方程提公因式法公式法十字相乘法完全平方公式平方差公式课堂小结因式分解法通过因式分解实现降次来解一元二次方程提公因课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；105课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想106谢谢观赏！谢谢观赏！107再见！再见！108*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系R·九年级上册*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系R·九年级上册新课导入导入课题

如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？

今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系.新课导入导入课题如果一个方程的两根之和为1推进新课知识点1一元二次方程的根与系数的关系思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2,将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？推进新课知识点1一元二次方程的根与系数的关系

把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.

于是x1+x2=-p,x1x2=q.把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分别为x1=

，x2=

。x1+x2=

，x1x2=

.已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c

例根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积.(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2

解：(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15例根据一元二次方程根与系数的关系，求下不解方程，求下列方程两根的和与积.x2-3x=15；5x2-1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=-15解：化简得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1不解方程，求下列方程两根的和与积.x2-3x=15；设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则有Δ≥0且x1x2＞0Δ≥0且x1x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0x1+x2＞0x1+x2＜0两根同为正数两根同为负数两根异号且正根的绝对值大两根异号且负根的绝对值大设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)随堂演练基础巩固关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1-，则p=

，q=

.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是

，

k＝

.-2-1-7随堂演练基础巩固关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=13.求下列方程的两根x1，x2的和与积：

（1）x2－3x+2=0；

（2）x2+x=5x+6解：x1+x2=3x1x2=2解：化简得x2-4x-6=0x1+x2=4x1x2=-63.求下列方程的两根x1，x2的和与积：解：x1+x2=34.已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).

根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，

得x2-8x+9.75=0.

解得x1=6.5,x2=1.5.

当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.

∴这两个数是6.5和1.5.4.已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.解：设其5.x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：

（1）

；（2）.解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.

则x1+x2=5，x1x2=-7.5.x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下人教部编版九年级数学上册《第21章一元二次方程【全章】》优质课件6.已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于

两根之积，求m的值.解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.

∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.

根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.

当m=3时，原方程为x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有实数根.

当m=-1时，原方程为x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此m值舍去.

∴m的值为3.6.已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之课堂小结若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=-p,x1x2=q.课堂小结若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；126课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想127谢谢观赏！谢谢观赏！128再见！再见！12921.3实际问题与一元二次方程

第1课时实际问题与一元二次方程（1）R·九年级上册21.3实际问题与一元二次方程

第1课时新课导入导入课题问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？本节课我们学习一元二次方程的应用.审、设、列、解、验、答新课导入导入课题问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？问题推进新课知识点列一元二次方程解决实际问题

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？你能解决这个问题吗？推进新课知识点列一元二次方程解决实际问题有一设每轮传染中平均一个人传染了x个人.第一轮传染后有

人患了流感.第二轮传染中的传染源为

人，第二轮传染后有

人患了流感.

根据等量关系“

”列出方程

.x+1x+1x+1+x(x+1)两轮传染后，有121人患了流感x+1+x(x+1)=121设每轮传染中平均一个人传染了x个人.x+1x解方程x+1+x(x+1)=121化简得：x2+2x-120=0(x-10)(x+12)=0

x1=10,x2=-12(舍)有更简单的方法解这个方程吗？解方程x+1+x(x+1)=121提取公因式：(x+1)(x+1)=121(x+1)2=121

x+1=±11

x1=10,x2=-12(舍)解方程x+1+x(x+1)=121有更简单的方法解这思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？经过三轮传染后共有121×10+121=1331(人)患流感.n轮后患流感的人数为(1+10)n=11n.思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？巩固练习某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.

依题意1+x+(1+x)x=81，(1+x)2=81，x+1=9或x+1=-9.

解得x=8或x=-10(舍去)

三轮感染后被感染的电脑台数为

(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支?解：设每个支干长出x个小分支.

根据题意，得1+x+x2=91，

即(x-9)(x+10)=0

解得x1=9，x2=-10(舍去).答：每个支干长出9个小分支.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又随堂演练基础巩固1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182

件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(

)A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182C.2x(x+1)=182 D.x(1-x)=182×2B随堂演练基础巩固1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人.

依题意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64,

解得x1=7，x2=-9(舍).

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.解：(2)第三轮被传染的人数为

(1+x)2·x=(1+7)2×7=448(人).

答：第三轮将有448人被传染.(2)第三轮被传染的人数为3.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？解：设共有x个队参加了比赛.

依题意x(x-1)=90.

解得x1=10,x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.3.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次解：设共有x个队参4.有一人利用手机发送短信，获得信息的人也按他的发送人数发送了该条短信息，经过两轮短信发送，共有90人的手机上获得同一信息，则每轮平均一个人向多少人发送短信？解：设每轮平均一个人向x人发送短信.由题意，得x+x2=90.解得：x1=9，x2=-10(舍去).答：每轮平均一个人向9个人发送短信.4.有一人利用手机发送短信，获得信息的人解：设每轮平均一个一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对

调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296,

则这个两位数是多少？解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x),

原数为10x+(10-x)=9x+10.

对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x.

依题意(9x+10)(100-9x)=2296.

解得

x1=8,x2=2.

当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.答：这个两位数是82或28.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对解：设这个课堂小结传播问题两个要点：传染源和传播速度传染轮数与传染总人数之间的关系：设1个人每次可以传染x人第一轮：(1+x)人第二轮：(1+x)+x(1+x)人第三轮：(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人第n轮：(1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人课堂小结传播问题两个要点：传染源和传播速度传染轮数与传染总人课后作业1.从教材课后习题中选取；2.从练习册中选取。课后作业1.从教材课后习题中选取；146课堂感想1、这节课你有什么收获？2、这节课还有什么疑惑？说出来和大家一起交流吧！课堂感想147谢谢观赏！谢谢观赏！148再见！再见！14921.3实际问题与一元二次方程

第2课时

实际问题与一元二次方程（2）R·九年级上册21.3实际问题与一元二次方程

第2课时实际新课导入导入课题

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?本节课我们学习增长/下降率问题.新课导入导入课题两年前生产1t甲种药品的成本推进新课知识点1有关增长/下降率的问题探究2

两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？推进新课知识点1有关增长/下降率的问题探究2两年前生产下降率是下降额与原成本的比值；下降率=×100%原成本－终成本原成本下降率是下降额与原成本的比值；下降率=①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为

，再次下降后的成本变为

.（用代数式表示）②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系

可得方程

，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？5000(1-x)5000(1-x)2终成本=原成本×(1－下降率)25000(1-x)2=3000①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变

应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大.③

设乙种药品成本平均每年的下降率为

y，

则由等量关系

可得方程

.④成本下