向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇(生)

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇(生)向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇(生)向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇(生)资料仅供参考文件编号：2022年4月向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇(生)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。三、典型例题：已知点G是内任意一点,点M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).（1）动点满足，，则点的轨迹一定通过的(2)若存在常数,满足,则点G的轨迹一定通过的__________.(3)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G的轨迹一定通过的__________.(4)若存在常数,满足,则点G的轨迹一定通过的__________.(5)若存在常数,满足,则点G的轨迹一定通过的__________.四、课后练习：1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A．2B．C．3D．62．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A．B．0C．1D．3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=6．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形7．已知三个顶点，若，则为（C）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形8、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的（）边中线的中点边中线的三等分点（非重心）C.重心边的中点9．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心10．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心五、与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;设，则向量必平分∠BAC的邻补角设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心点是△ABC的外心点是△ABC的重心点是△ABC的垂心点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边)△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，则有并且