不等关系与不等式课件

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式第六章不等式、推理与证明1不等关系与不等式课件21.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则

a>b______(a,b>0)或(a,b<0)

a=ba-b=0（b≠0)

a<b______(a,b>0)或(a,b<0)a-b>0a-b<01.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则a>b_32.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒

对称性a>b⇔____⇔传递性a>b,b>c⇒____⇒可加性a>b⇔________⇔可乘性⇒______注意c的符号

⇒______b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bc2.不等式的基本性质性质性质内容特别对称性a>b⇔____⇔4性质性质内容特别提醒

同向可加性

⇒________⇒同向同正可乘性⇒______⇒可乘方性a>b>0⇒_____(n∈N,n≥2)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒(n∈N,n≥2)a+c>b+dac>bdan>bn性质性质内容特别同向可加性⇒同向同正⇒可乘方性53.不等式的其他性质（1）不等式的倒数性质①a＞b,ab＞0⇒___②a＜0＜b⇒___③a＞b＞0,0＜c＜d⇒___④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒______＜＜＞＜＜3.不等式的其他性质＜＜＞＜＜6(2)有关分数的性质若a＞b＞0,m＞0,则①真分数的性质：______(b-m＞0).②假分数的性质：______(b-m＞0).＜＞＞＜(2)有关分数的性质＜＞＞＜7判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立.()（2）同向不等式具有可加性和可乘性.()（3）若两个数的比值大于1，那么分子就大于分母.()（4）一个数越大，它的倒数不一定越小.()判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.8【解析】（1）错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向.（2）错误.同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性.（3）错误.只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立.（4）正确.例如，2<3时，有但-2<2时，却有答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】（1）错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，91.若a<0，-1<b<0，那么下列不等式中正确的是()(A)a<ab2<ab(B)ab2<a<ab(C)a<ab<ab2(D)ab2<ab<a【解析】选A.因为-1<b<0,所以b<0<b2<1,于是a<ab2<ab.1.若a<0，-1<b<0，那么下列不等式中正确的是(102.若a>1>b，下列不等式中不一定成立的是()(A)a-b>1-b(B)a-1>b-1(C)a-1>1-b(D)1-a>b-a【解析】选C.由a>1知a-b>1-b,故A正确；由a>b知a-1>b-1,故B正确;由1>b知1-a>b-a,故D正确，C项错误，如当a=3，b=-3时，不成立.2.若a>1>b，下列不等式中不一定成立的是()113.x+y<4的一个充分不必要条件是()(A)x<2或y<2(B)x<2且y<2(C)x<2且y>2(D)x<2或y>2【解析】选B.由不等式的性质知，当x<2且y<2时必有x+y<4,但当x+y<4时，不一定有x<2且y<2,如当x=1,y=2时就不成立.3.x+y<4的一个充分不必要条件是()12与的大小关系是_______.【解析】答案：与的大小关系是_______.135.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是_________，a2+b2的取值范围是___________.【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3,于是0<a-b<2.又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13.答案：(0,2)(5,13)5.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是14考向1用不等式（组）表示不等关系【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.考向1用不等式（组）表示不等关系15【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用变量和不等式表示，再组成不等式组即可.【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用变量和16【拓展提升】1.不等关系的含义(1)不等关系可以表示常量与常量之间的不等关系，如2>-4.(2)不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如2a≤5.(3)不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如f(x)<g(x).【拓展提升】172.文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如下表：【提醒】在不等式的应用题中，用不等式表示不等关系时，不可忽略变量自身的限制条件.文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言＞＜≥≤2.文字语言与符号语言的转化文字大于,小于,大于等于，至少，18【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x应满足的不等关系.【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2，故x应满足的不等关系如下：【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各19考向2

比较大小【典例2】（1）（2013·渭南模拟）设则有()（A）m＞n（B）m=n（C）m＜n（D）m,n的大小不定（2）已知θ∈且a=2sin2θ+sin2θ，b=sinθ+cosθ，试比较a与b的大小.考向2比较大小20【思路点拨】（1）运用作差法进行比较，由于m和n都带有根号需作它们的平方差.（2）由于作差法不易比较，且a与b均为正数，可用作商法比较.【思路点拨】（1）运用作差法进行比较，由于m和n都带有根号需21【规范解答】（1）选C.∵m＞0,n＞0,∴m2-n2=∵a(a+5)-(a+2)(a+3)=-6＜0,∴m2-n2＜0，∴m＜n.【规范解答】（1）选C.∵m＞0,n＞0,22（2）由于θ∈所以a=2sin2θ+sin2θ>0，b=sinθ+cosθ>0，而因为θ∈所以sinθ∈2sinθ∈(0,1)，即故必有a<b.（2）由于θ∈所以a=2sin2θ+sin223【互动探究】本例题（2）中，若将θ的取值范围改为：那么a与b大小关系如何？【解析】由于所以a=2sin2θ+sin2θ>0，b=sinθ+cosθ>0，而因为所以2sinθ∈(1,2),即故必有a>b.【互动探究】本例题（2）中，若将θ的取值范围改为：24【拓展提升】1.作差法比较大小的方法步骤（1）作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；（2）变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；（3）定号：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b等；（4）得结论.【拓展提升】252.作商法比较大小的注意事项利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负，然后根据：若b>0,则a>b；若b<0,则a<b的原则进行判断.2.作商法比较大小的注意事项26【变式备选】设x>5，则P与Q的大小关系是___________.【解析】所以必有P>Q.答案：P>Q【变式备选】设x>5，27考向3

不等式的性质及其应用【典例3】(1)（2013·合肥模拟）已知a,b,c,d为实数，且c>d，则“a>b”是“a-c>b-d”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件考向3不等式的性质及其应用28（2）（2012·湖南高考）设a>b>1,c<0，给出下列三个结论：②ac＜bc；③logb(a-c)>loga(b-c)，其中所有的正确结论的序号是()(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③（3）已知-1<2x-1<1，则的取值范围是_______.（2）（2012·湖南高考）设a>b>1,c<0，给出下列三29【思路点拨】（1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论.（2）可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较.（3）先求出x的范围，再求的范围，从而求出的取值范围.【思路点拨】（1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用30【规范解答】（1）选B.由于c>d，所以-d>-c，因此当a>b时能够推出a-d>b-c，但不一定有a-c>b-d，如a=3,b=2,c=4,d=1.但当c>d且a-c>b-d时，必有a>b,所以是必要不充分条件.故选B.（2）选D.由不等式a>b>1知又c<0，所以①正确；根据幂函数y=xc在（0，+∞)上的单调性知②正确；由a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知③正确.故选D.（3）由-1<2x-1<1，得0<x<1，所以于是答案：(1,+∞)【规范解答】（1）选B.由于c>d，所以-d>-c，因此当a31【拓展提升】1.判断命题真假的三种方法（1）直接运用不等式的性质：把要判断的命题和相应的不等式的性质联系起来，利用不等式的性质进行推理判断.（2）利用基本初等函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.（3）取特殊值：即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.【拓展提升】322.正确运用倒数法则求范围涉及“取倒数求范围”等问题时，注意倒数法则的正确运用.一般地：（1）若x>a,a>0，则（2）若x>a,a<0，则（3）若x<a,a<0，则（4）若x<a,a>0，则2.正确运用倒数法则求范围33【变式训练】（1）下列命题中为真命题的是______.①若a>b,则②若a>b>0,c>d>0,则③若a>b,且a,b∈R,则④若则1-sinα>0.【变式训练】（1）下列命题中为真命题的是______.34【解析】由于所以①是错误的；由于a>b>0,c>d>0,所以a2>b2>0,所以所以②正确；由于函数是减函数，a>b,所以故③正确；当时，1-sinα=0,故④不正确.答案：②③【解析】由于所以①是错误的；由于a>b>0,c35(2)若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是_______.【解析】因为-4<β<2,所以0≤|β|<4,于是-4<-|β|≤0,又1<α<3,所以-3<α-|β|<3.答案：(-3,3)(2)若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是_36【创新体验】不等式与函数的融合【典例】(2012·浙江高考）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()（A）若ea+2a=eb+3b，则a＞b（B）若ea+2a=eb+3b，则a＜b（C）若ea-2a=eb-3b，则a＞b（D）若ea-2a=eb-3b，则a＜b【创新体验】不等式与函数的融合37【思路点拨】

找准创新点

由等量关系研究不等量关系寻找突破口

（1）利用不等式的性质得到ea+2a与eb+2b的大小关系以及ea-2a与eb-2b的大小关系（2）结合式子的特点构造函数f(x)=ex+2x或g(x)=ex-2x，研究其单调性（3）根据单调性，判断a与b的关系

【思路点拨】找准创由等量关系研究不等量关系寻找（1）利用不38【规范解答】选A.由于a>0,b>0,且ea+2a=(eb+2b)+b,所以有ea+2a>eb+2b,设函数f(x)=ex+2x,显然函数f(x)在（0，+∞)上是增加的,又f(a)>f(b),所以有a>b.故A正确，B错误.又ea-2a=(eb-2b)-b，所以ea-2a<eb-2b.设函数g(x)=ex-2x，则g′(x)=ex-2，由g′(x)>0可得x>ln2，所以函数g(x)在(0,ln2)上是减少的，在(ln2,+∞)上是增加的.因此由g(a)<g(b)不能确定a与b的大小，即C和D都错误，故选A.【规范解答】选A.由于a>0,b>0,且ea+2a=(eb+39【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了函数思想在解题中的应用，即通过构造函数，研究其单调性，通过单调性结合函数值的大小关系得出自变量值的大小关系.一般地，函数与不等式是紧密联系在一起的，很多不等式问题，都可以借助函数的方法进行求解，这种思想方法值得我们仔细体会.【思考点评】402.技巧提升：（1）在通过构造函数解决不等式问题时，注意观察题目的特点.一般来说，要比较大小的两个式子(或已知大小关系的两个式子)，在结构上、形式上都非常类似，都可以看作是将某个函数解析式中的自变量换成了不同的数、字母等得到的，因此可以通过研究函数的单调性，得到自变量的大小与函数值的大小之间的关系.2.技巧提升：（1）在通过构造函数解决不等式问题时，注意观察41（2）构造函数这种思想方法，不仅适用于不等式中的大小比较问题，也可以解决方程与等式问题；另外，构造函数后，不仅可以研究其单调性，还可以研究其奇偶性、周期性等，然后再利用奇偶性、周期性等解决相关问题.

（2）构造函数这种思想方法，不仅适用于不等式中的大小比较问题421.（2013·宝鸡模拟）在以下条件中，a＞b＞0,0＞a＞b,a＞0＞b,b＞0＞a,能使成立的充分条件的个数是()（A）4（B）3（C）2（D）1【解析】选B.当a＞b＞0时，当0＞a＞b时，当b＞0＞a时，故应选B.1.（2013·宝鸡模拟）在以下条件中，a＞b＞0,0＞a＞432.（2013·西安模拟）设P=(x-3)(x-5),Q=(x-4)2，则P，Q的大小关系是()（A）P＞Q（B）P＜Q（C）P=Q（D）不能确定【解析】选B.P-Q=x2-8x+15-(x2-8x+16)=-1＜0,∴P＜Q.2.（2013·西安模拟）设P=(x-3)(x-5),Q=(443.（2013·铜川模拟）若a＞b＞0，且则实数m的取值范围是_________.【解析】由由a＞b＞0,则上式等价于即-b＜m＜0.答案：(-b,0)3.（2013·铜川模拟）若a＞b＞0，且454.（2013·阳信模拟）A杯中有浓度为a的盐水x克，B杯中有浓度为b的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为______．【解析】依题意知a>b，将A，B两杯盐水混合后，盐水的浓度变为故有答案：4.（2013·阳信模拟）A杯中有浓度为a的盐水x克，B杯中461.若a>1,b<1，那么下列式子中正确的是()(B)(C)|a|>|b|(D)ab<a+b-1【解析】选D.由a>1,b<1得a-1>0,b-1<0，所以(a-1)(b-1)<0，展开整理即得ab<a+b-1，故选D.1.若a>1,b<1，那么下列式子中正确的是()472.若α，β∈记M=sinαcosβ,N=sinα+cosβ-1,则M与N的大小关系是()(A)M>N(B)M<N(C)M=N(D)大小关系不确定【解析】选A.由于M-N=sinαcosβ-(sinα+cosβ-1)=(sinα-1)(cosβ-1),而α,β∈所以(sinα-1)(cosβ-1)>0，故M>N.2.若α，β∈记M=sinαcosβ,N=s483.设［x］表示不超过x的最大整数，又设x，y满足方程组如果x不是整数，那么x+y的取值范围是()（A）(35，39)（B）(49，51)（C）(71，75)（D）(93，94)【解析】选D.∵［x-3］=［x］-3,解得［x］=20,y=73,∵x不是整数，∴20＜x＜21,∴93＜x+y＜94.故选D.3.设［x］表示不超过x的最大整数，又设x，y满足方程组49不等关系与不等式课件50不等关系与不等式课件51第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式第六章不等式、推理与证明52不等关系与不等式课件531.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则

a>b______(a,b>0)或(a,b<0)

a=ba-b=0（b≠0)

a<b______(a,b>0)或(a,b<0)a-b>0a-b<01.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则a>b_542.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒

对称性a>b⇔____⇔传递性a>b,b>c⇒____⇒可加性a>b⇔________⇔可乘性⇒______注意c的符号

⇒______b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bc2.不等式的基本性质性质性质内容特别对称性a>b⇔____⇔55性质性质内容特别提醒

同向可加性

⇒________⇒同向同正可乘性⇒______⇒可乘方性a>b>0⇒_____(n∈N,n≥2)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒(n∈N,n≥2)a+c>b+dac>bdan>bn性质性质内容特别同向可加性⇒同向同正⇒可乘方性563.不等式的其他性质（1）不等式的倒数性质①a＞b,ab＞0⇒___②a＜0＜b⇒___③a＞b＞0,0＜c＜d⇒___④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒______＜＜＞＜＜3.不等式的其他性质＜＜＞＜＜57(2)有关分数的性质若a＞b＞0,m＞0,则①真分数的性质：______(b-m＞0).②假分数的性质：______(b-m＞0).＜＞＞＜(2)有关分数的性质＜＞＞＜58判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立.()（2）同向不等式具有可加性和可乘性.()（3）若两个数的比值大于1，那么分子就大于分母.()（4）一个数越大，它的倒数不一定越小.()判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.59【解析】（1）错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向.（2）错误.同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性.（3）错误.只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立.（4）正确.例如，2<3时，有但-2<2时，却有答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】（1）错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，601.若a<0，-1<b<0，那么下列不等式中正确的是()(A)a<ab2<ab(B)ab2<a<ab(C)a<ab<ab2(D)ab2<ab<a【解析】选A.因为-1<b<0,所以b<0<b2<1,于是a<ab2<ab.1.若a<0，-1<b<0，那么下列不等式中正确的是(612.若a>1>b，下列不等式中不一定成立的是()(A)a-b>1-b(B)a-1>b-1(C)a-1>1-b(D)1-a>b-a【解析】选C.由a>1知a-b>1-b,故A正确；由a>b知a-1>b-1,故B正确;由1>b知1-a>b-a,故D正确，C项错误，如当a=3，b=-3时，不成立.2.若a>1>b，下列不等式中不一定成立的是()623.x+y<4的一个充分不必要条件是()(A)x<2或y<2(B)x<2且y<2(C)x<2且y>2(D)x<2或y>2【解析】选B.由不等式的性质知，当x<2且y<2时必有x+y<4,但当x+y<4时，不一定有x<2且y<2,如当x=1,y=2时就不成立.3.x+y<4的一个充分不必要条件是()63与的大小关系是_______.【解析】答案：与的大小关系是_______.645.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是_________，a2+b2的取值范围是___________.【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3,于是0<a-b<2.又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13.答案：(0,2)(5,13)5.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是65考向1用不等式（组）表示不等关系【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.考向1用不等式（组）表示不等关系66【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用变量和不等式表示，再组成不等式组即可.【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用变量和67【拓展提升】1.不等关系的含义(1)不等关系可以表示常量与常量之间的不等关系，如2>-4.(2)不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如2a≤5.(3)不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如f(x)<g(x).【拓展提升】682.文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如下表：【提醒】在不等式的应用题中，用不等式表示不等关系时，不可忽略变量自身的限制条件.文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言＞＜≥≤2.文字语言与符号语言的转化文字大于,小于,大于等于，至少，69【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x应满足的不等关系.【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2，故x应满足的不等关系如下：【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各70考向2

比较大小【典例2】（1）（2013·渭南模拟）设则有()（A）m＞n（B）m=n（C）m＜n（D）m,n的大小不定（2）已知θ∈且a=2sin2θ+sin2θ，b=sinθ+cosθ，试比较a与b的大小.考向2比较大小71【思路点拨】（1）运用作差法进行比较，由于m和n都带有根号需作它们的平方差.（2）由于作差法不易比较，且a与b均为正数，可用作商法比较.【思路点拨】（1）运用作差法进行比较，由于m和n都带有根号需72【规范解答】（1）选C.∵m＞0,n＞0,∴m2-n2=∵a(a+5)-(a+2)(a+3)=-6＜0,∴m2-n2＜0，∴m＜n.【规范解答】（1）选C.∵m＞0,n＞0,73（2）由于θ∈所以a=2sin2θ+sin2θ>0，b=sinθ+cosθ>0，而因为θ∈所以sinθ∈2sinθ∈(0,1)，即故必有a<b.（2）由于θ∈所以a=2sin2θ+sin274【互动探究】本例题（2）中，若将θ的取值范围改为：那么a与b大小关系如何？【解析】由于所以a=2sin2θ+sin2θ>0，b=sinθ+cosθ>0，而因为所以2sinθ∈(1,2),即故必有a>b.【互动探究】本例题（2）中，若将θ的取值范围改为：75【拓展提升】1.作差法比较大小的方法步骤（1）作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；（2）变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；（3）定号：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b等；（4）得结论.【拓展提升】762.作商法比较大小的注意事项利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负，然后根据：若b>0,则a>b；若b<0,则a<b的原则进行判断.2.作商法比较大小的注意事项77【变式备选】设x>5，则P与Q的大小关系是___________.【解析】所以必有P>Q.答案：P>Q【变式备选】设x>5，78考向3

不等式的性质及其应用【典例3】(1)（2013·合肥模拟）已知a,b,c,d为实数，且c>d，则“a>b”是“a-c>b-d”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件考向3不等式的性质及其应用79（2）（2012·湖南高考）设a>b>1,c<0，给出下列三个结论：②ac＜bc；③logb(a-c)>loga(b-c)，其中所有的正确结论的序号是()(A)①(B)①②(C)②③(D)①②③（3）已知-1<2x-1<1，则的取值范围是_______.（2）（2012·湖南高考）设a>b>1,c<0，给出下列三80【思路点拨】（1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论.（2）可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较.（3）先求出x的范围，再求的范围，从而求出的取值范围.【思路点拨】（1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用81【规范解答】（1）选B.由于c>d，所以-d>-c，因此当a>b时能够推出a-d>b-c，但不一定有a-c>b-d，如a=3,b=2,c=4,d=1.但当c>d且a-c>b-d时，必有a>b,所以是必要不充分条件.故选B.（2）选D.由不等式a>b>1知又c<0，所以①正确；根据幂函数y=xc在（0，+∞)上的单调性知②正确；由a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知③正确.故选D.（3）由-1<2x-1<1，得0<x<1，所以于是答案：(1,+∞)【规范解答】（1）选B.由于c>d，所以-d>-c，因此当a82【拓展提升】1.判断命题真假的三种方法（1）直接运用不等式的性质：把要判断的命题和相应的不等式的性质联系起来，利用不等式的性质进行推理判断.（2）利用基本初等函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.（3）取特殊值：即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.【拓展提升】832.正确运用倒数法则求范围涉及“取倒数求范围”等问题时，注意倒数法则的正确运用.一般地：（1）若x>a,a>0，则（2）若x>a,a<0，则（3）若x<a,a<0，则（4）若x<a,a>0，则2.正确运用倒数法则求范围84【变式训练】（1）下列命题中为真命题的是______.①若a>b,则②若a>b>0,c>d>0,则③若a>b,且a,b∈R,则④若则1-sinα>0.【变式训练】（1）下列命题中为真命题的是______.85【解析】由于所以①是错误的；由于a>b>0,c>d>0,所以a2>b2>0,所以所以②正确；由于函数是减函数，a>b,所以故③正确；当时，1-sinα=0,故④不正确.答案：②③【解析】由于所以①是错误的；由于a>b>0,c86(2)若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是_______.【解析】因为-4<β<2,所以0≤|β|<4,于是-4<-|β|≤0,又1<α<3,所以-3<α-|β|<3.答案：(-3,3)(2)若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是_87【创新体验】不等式与函数的融合【典例】(2012·浙江高考）设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()（A）若ea+2a=eb+3b，则a＞b（B）若ea+2a=eb+3b，则a＜b（C）若ea-2a=eb-3b，则a＞b（D）若ea-2a=eb-3b，则a＜b【创新体验】不等式与函数的融合88【思路点拨】

找准创新点

由等量关系研究不等量关系寻找突破口

（1）利用不等式的性质得到ea+2a与eb+2b的大小关系以及ea-2a与eb-2b的大小关系（2）结合式子的特点构造函数f(x)=ex+2x或g(x)=ex-2x，研究其单调性（3）根据单调性，判断a与b的关系

【思路点拨】找准创由等量关系研究不等量关系寻找（1）利用不89【规范解答】选A.由于a>0,b>0,且ea+2a=(eb+2b)+b,所以有ea+2a>eb+2b,设函数f(x)=ex+2x,显然函数f(x)在（0，+∞)上是增加的,又f(a)>f(b),所以有a>b.故A正确，B错误.又ea-2a=(eb-2b)-b，所以ea-2a<eb-2b.设函数g(x)=ex-2x，则g′(x)=ex-2，由g′(x)>0可得x>ln2，所以函数g(x)在(0,ln2)上是减少的，在(ln2,+∞)上是增加的.因此由g(a)<g(b)不能确定a与b的大小，即C和D都错误，故选A.【规范解答】选A.由于a>0,b>0,且ea+2a=(eb+90【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了函数思想在解题中的应用，即通过构造函数，研究其单调性，通过单调性结合函数值的大小关系得出自变量值的大小关系.一般地，函数与不等式是紧密联系在一起的，很多不等式问题，都可以借助函数的方法进行求解，这种思想方法值得我们仔细体会.【思考点评】912.技巧提升：（1）在通过构造函数解决不等式问题时，注意观察题目的特点.一般来说，要比较大小的两个式子(或已知大小关系的两个式子)，在结构上、形式上都非常类似，都可以看