微积分06 第6讲常数项级数审敛法课件

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第六讲常数项级数的审敛法脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学1第二章数列的极限与常数项级数本章学习要求：第二章数列的极限与常数项级数本章学习要求：2第二章数列的极限与常数项级数第五节常数项级数的审敛法一.正项级数的审敛法二.任意项级数的敛散性第二章数列的极限与常数项级数第五节常数项级数的审敛法一3常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数4一.正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法一.正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔51.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义实质上应是非负项级数1.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义实质上应62.正项级数收敛的充要条件正项级数{Sn}有界.定理正项级数的部分和数列是单调增加的单调有界的数列必有极限理由在某极限过程中有极限的量必界2.正项级数收敛的充要条件正项级数{Sn}有界.定理7级数是否收敛？该级数为正项级数,又有(n=1,2,…)故当n1时,有即其部分和数列{Sn}有界,从而,级数解例1级数是否收敛？该级数为正项级数,又有(n=1,2,83.正项级数敛散性的比较判别法且0unvn(n=1,2,…)大收小收,小发大发.3.正项级数敛散性的比较判别法且0unv9记0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn证(1)记0unvn(n=1,10记0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn证(2)记0unvn(n=1,11判断级数的敛散性.(0<x<3)由于又由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.解例2判断级数的敛散性.(0<x<3)由于又由等12讨论P

级数(p>0)的敛散性.当p＝1时,P

级数为调和级数:它是发散的.当0<p<1时,有由比较判别法,P级数此时是发散的.解例3讨论P级数(p>0)的敛散性.当p＝1时,13当p>1时,按1,2,22,23,…,2n,…项而对P

级数加括号,不影响其敛散性：当p>1时,按1,2,22,23,…,14…………15故当p>1时,P级数收敛.综上所述:当p>1时,P级数收敛.

当p1时,P级数发散.故当p>1时,P级数收敛.综上所述:当164.比较判别法的极限形式4.比较判别法的极限形式17由于(0<<+)故>0,N>0,当n>N时,不妨取运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.证(1)

当0<<+时,由于(0<<+)故>0,18由于(=0)取=1时,N>0,当n>N时,故由比较判别法,当=0时,证(2)由于(=0)取=1时,N>0,19由于(=)M>0(不妨取M>1),即由比较判别法,证(3)故N>0,当n>N时,当=时,0vn<un由于(=)M>0(不妨取M>20判别级数的敛散性(a>0为常数).因为(即=1为常数)又是调和级数,它是发散的,发散.解原级数故例4判别级数的敛散性(a>0为常数).因为(即21解由比较判别法及P级数的收敛性可知：例5解由比较判别法及P级数的收敛性可知：例5225.达朗贝尔比值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身来进行判别.5.达朗贝尔比值判别法(1)<1时,级数收敛；(23判别级数的敛散性,其中,x0为常数.即=x2,由达朗贝尔判别法：解记则需要讨论x的取值范围例6判别级数的敛散性,其中,x0为常数.即=24当0<|x|<1时,<1,级数收敛.当|x|>1时,>1,级数发散.当|x|=1时,=1,但原级数此时为这是n=2的P

级数,是收敛的.综上所述,当0<|x|1时,原级数收敛,当|x|>1时,原级数发散.当0<|x|<1时,<1,级25解这是一个正项级数:单调增加有上界,以e为极限.例7解这是一个正项级数:单调增加有上界,以e为极限.26由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.由级数收敛的必要条件得利用级数知识求某些数列得极限.例8解由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.由级数收敛的必要条27达朗贝尔(D’AiemberJeanLeRond)是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。达朗贝尔(D’AiemberJeanL28达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的“作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零”的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的296.柯西根值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.6.柯西根值判别法(1)<1时,级数收敛；(30解例10解例1031判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记解即当x>a时,当0<x<a时,当x=a时,=1,但故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例11判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记32当0<x<a时,原级数收敛;当xa时,原级数发散.综上所述,当0<x<a时,原级数收敛;当xa33二.任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,或其中,un0(n=1,2,…).它的一般形式为定义二.任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数是各项34(莱布尼兹判别法)满足条件:(1)(2)unun+1

(n=1,2,…)

则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)定理若交错级数(单调减少)(莱布尼兹判别法)满足条件:(1)(2)unun350(由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证级数部分和Sn当n时极限存在.0(由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证36证1)取交错级前2m项之和由条件(2)：得S2m及由极限存在准则：unun+1,un0,证1)取交错级前2m项之和由条件(2)：得S2372)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述,有2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上38讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.解例12讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,39解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例13解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例1340微积分学的创始人之一数学大师

莱布尼茨Friedrich.Leibniz(1646~1716年)微积分学的创始人之一数学大师莱布尼茨Friedr41莱布尼茨（Leibniz）莱布尼茨(1646~1716年)是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文《论组合的艺术》获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。1671年，他制造了他的计算机。1672年3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。莱布尼茨（Leibniz）莱布尼茨421673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家43他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学中的发明和化学、生理学方面的发现（1700年柏林科学院成立）。莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从1673年起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类441714年莱布尼茨写了《微分学的历史和起源》，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676年6月23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求dy/dx，其中dy，dx是变量的差，dy/dx是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。1716年，他无声无息地死去。1714年莱布尼茨写了《微分学的历史和起源》452.任意项级数及其敛散性(1)级数的绝对敛和条件收敛定义2.任意项级数及其敛散性(1)级数的绝对敛和条件收敛定义46定理(即绝对收敛的级数必定收敛)证un|un|从而定理(即绝对收敛的级数必定收敛)证un47(1)<1时,级数绝对收敛.(2)>1(包括=)时,级数发散.(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.定理(达朗贝尔判别法)(1)<1时,级数绝对收敛.(2)>48解由P

级数的敛散性：即原级数绝对收敛.判别级数的敛散性.例14解由P级数的敛散性：即原级数绝对收敛.判别级数的敛散性49记解判别的敛散性,其中,x1为常数.例15记解判别的敛散性,其中,x1为常数.例1550当|x|<1时,=|x|<1,原级数绝对收敛.当|x|>1时,=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|>1时,原级数发散.当|x|<1时,=|x|<1,51级数是否绝对收敛?解由调和级数的发散性可知,故发散.例16级数是否绝对收敛?解由调和级数的发散性可知,故发散.例1652但原级数是一个交错级数,且满足：故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.但原级数是一个交错级数,且满足：故原级数是条件收敛,53(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对收敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变.性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其和等于原来两个级数的和之积.(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对收敛54(3)任意项级数敛散性的一个判别法(狄利克雷判别法)定理其中,M>0为与n无关的常数,单调递减趋于零部分和有界(3)任意项级数敛散性的一个判别法(狄利克雷判别法)定理55判别级数的敛散性,其中,x2k,kZ.解单调递减趋于零例17判别级数的敛散性,其中,x2k,k56又又57而x2k,kZ,于是且故由狄利克雷判别法,(x2k,kZ)收敛.而x2k,kZ,于是且故由狄利克雷判58高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第六讲常数项级数的审敛法脚本编写、教案制作：刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学59第二章数列的极限与常数项级数本章学习要求：第二章数列的极限与常数项级数本章学习要求：60第二章数列的极限与常数项级数第五节常数项级数的审敛法一.正项级数的审敛法二.任意项级数的敛散性第二章数列的极限与常数项级数第五节常数项级数的审敛法一61常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数62一.正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法一.正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔631.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义实质上应是非负项级数1.正项级数的定义若级数则称之为正项级数.定义实质上应642.正项级数收敛的充要条件正项级数{Sn}有界.定理正项级数的部分和数列是单调增加的单调有界的数列必有极限理由在某极限过程中有极限的量必界2.正项级数收敛的充要条件正项级数{Sn}有界.定理65级数是否收敛？该级数为正项级数,又有(n=1,2,…)故当n1时,有即其部分和数列{Sn}有界,从而,级数解例1级数是否收敛？该级数为正项级数,又有(n=1,2,663.正项级数敛散性的比较判别法且0unvn(n=1,2,…)大收小收,小发大发.3.正项级数敛散性的比较判别法且0unv67记0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn证(1)记0unvn(n=1,68记0unvn

(n=1,2,…)

0SnGn证(2)记0unvn(n=1,69判断级数的敛散性.(0<x<3)由于又由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.解例2判断级数的敛散性.(0<x<3)由于又由等70讨论P

级数(p>0)的敛散性.当p＝1时,P

级数为调和级数:它是发散的.当0<p<1时,有由比较判别法,P级数此时是发散的.解例3讨论P级数(p>0)的敛散性.当p＝1时,71当p>1时,按1,2,22,23,…,2n,…项而对P

级数加括号,不影响其敛散性：当p>1时,按1,2,22,23,…,72…………73故当p>1时,P级数收敛.综上所述:当p>1时,P级数收敛.

当p1时,P级数发散.故当p>1时,P级数收敛.综上所述:当744.比较判别法的极限形式4.比较判别法的极限形式75由于(0<<+)故>0,N>0,当n>N时,不妨取运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.证(1)

当0<<+时,由于(0<<+)故>0,76由于(=0)取=1时,N>0,当n>N时,故由比较判别法,当=0时,证(2)由于(=0)取=1时,N>0,77由于(=)M>0(不妨取M>1),即由比较判别法,证(3)故N>0,当n>N时,当=时,0vn<un由于(=)M>0(不妨取M>78判别级数的敛散性(a>0为常数).因为(即=1为常数)又是调和级数,它是发散的,发散.解原级数故例4判别级数的敛散性(a>0为常数).因为(即79解由比较判别法及P级数的收敛性可知：例5解由比较判别法及P级数的收敛性可知：例5805.达朗贝尔比值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身来进行判别.5.达朗贝尔比值判别法(1)<1时,级数收敛；(81判别级数的敛散性,其中,x0为常数.即=x2,由达朗贝尔判别法：解记则需要讨论x的取值范围例6判别级数的敛散性,其中,x0为常数.即=82当0<|x|<1时,<1,级数收敛.当|x|>1时,>1,级数发散.当|x|=1时,=1,但原级数此时为这是n=2的P

级数,是收敛的.综上所述,当0<|x|1时,原级数收敛,当|x|>1时,原级数发散.当0<|x|<1时,<1,级83解这是一个正项级数:单调增加有上界,以e为极限.例7解这是一个正项级数:单调增加有上界,以e为极限.84由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.由级数收敛的必要条件得利用级数知识求某些数列得极限.例8解由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.由级数收敛的必要条85达朗贝尔(D’AiemberJeanLeRond)是法国物理学家、数学家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。1741年24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。1754年成为法国科学院终身院士。达朗贝尔(D’AiemberJeanL86达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的“作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零”的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分方程表示场。达朗贝尔终身未婚。1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的876.柯西根值判别法(1)<1时,级数收敛；(2)>1(包括=)时,级数发散；(3)=1时,不能由此断定级数的敛散性.6.柯西根值判别法(1)<1时,级数收敛；(88解例10解例1089判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记解即当x>a时,当0<x<a时,当x=a时,=1,但故此时原级数发散.（级数收敛的必要条件）例11判别的敛散性.(x>0,a>0为常数)记90当0<x<a时,原级数收敛;当xa时,原级数发散.综上所述,当0<x<a时,原级数收敛;当xa91二.任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,或其中,un0(n=1,2,…).它的一般形式为定义二.任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数是各项92(莱布尼兹判别法)满足条件:(1)(2)unun+1

(n=1,2,…)

则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)定理若交错级数(单调减少)(莱布尼兹判别法)满足条件:(1)(2)unun930(由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证级数部分和Sn当n时极限存在.0(由已知条件)证明的关键在于它的极限是否存在？只需证94证1)取交错级前2m项之和由条件(2)：得S2m及由极限存在准则：unun+1,un0,证1)取交错级前2m项之和由条件(2)：得S2952)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述,有2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上96讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.解例12讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,97解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例13解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例1398微积分学的创始人之一数学大师

莱布尼茨Friedrich.Leibniz(1646~1716年)微积分学的创始人之一数学大师莱布尼茨Friedr99莱布尼茨（Leibniz）莱布尼茨(1646~1716年)是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年以论文《论组合的艺术》获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。1671年，他制造了他的计算机。1672年3月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨基本上不懂数学。莱布尼茨（Leibniz）莱布尼茨1001673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面做了重要工作。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家101他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有益的力学中的发明和化学、生理学方面的发现（1700年柏林科学院成立）。莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从1673年起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类1021714年莱布尼茨写了《微分学的历史和起源》，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676年6月23日的手稿中，他意识到求切线的最好