【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修1：第四章-函数应用-单元同步测试

阶段性检测卷四(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若方程f(x)＝0有4个解，则函数y＝f(x)的零点个数是()A．1 B．2个C．3个 D．4个答案D2．函数y＝1＋eq\f(1,x)的零点是()A．(－1,0) B．x＝－1C．x＝1 D．x＝0解析由1＋eq\f(1,x)＝0，得x＝－1.答案B3．某乡镇企业的一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从2022年起，方案每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，其次年开头拿与老工人一样数额的年薪，那么第n年付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数为()A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4解析第n年共有(3n＋8)位工人，其中新工人3人，老工人(3n＋5)人，老工人的工资总额为(3n＋5)·(1＋20%)n＝(3n＋5)×1.2n,3位新工人的工资总额为3×0.8＝2.4.所以第n年付给工人的工资总额y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4.答案A4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋2的两个零点是－eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，则g(x)＝bx2－ax的零点是()A．－12和－2 B．6和0C.eq\f(1,6)和0 D．－2和6解析由f(x)＝ax2＋bx＋2的两个零点是－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，由韦达定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝\f(2,a)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))∴g(x)＝bx2－ax＝－2x2＋12x＝－2x(x－6)故g(x)的零点是0,6.答案为B.答案B5．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)内零点的个数为()A．至多一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有解析若a≠0时，由二次函数的图像知答案为C；当a＝0时，答案也为C.答案C6．实数a，b，c是图像连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a<b<c，f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上零点有()A．2个 B．奇数个C．偶数个 D．至少2个解析∵f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，f(a)f(c)>0，即图像在区间(a，c)上至少有2个交点．答案D7．在(－2,2)上有零点，且能用二分法求零点的是()A．y＝x2－2x－3 B．y＝x2－2x＋1C．y＝x2－2x＋3 D．y＝－x2＋2x－3答案A8．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图像是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析f(1)＝－1，f(2)＝2，∴f(－1)·f(2)<0∴方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．答案B9．某商店把原定价每台为2640元的彩电以九折优待售出时，仍可获利20%，那么这种彩电每台的进价是()A．1980元 B．2000元C．2112元 D．2200元解析设每台彩电进价为x元，由题意得2640×90%－x＝x×20%，解得x＝1980(元)．答案A10．给出下列命题：①y＝1是幂函数；②函数y＝|x＋2|－2x在R上有3个零点；③eq\r(x－1)(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)；④当n≤0时，幂函数y＝xn的图像与两坐标轴不相交．其中正确的命题是()A．①②④ B．①②③④C．②④ D．①②③答案C二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)11．对于二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)答案(2,3)12．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析两组值(1,2)，(2,5)都满足甲、乙两模型，又把(3,10.2)代入两模型检验得，甲模型拟合效果更好．答案甲13．假如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．解析∵函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则f(0)＝0，∴m＋3＝0，∴m＝－3，则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3.答案314．若函数f(x)＝x2＋3x＋a在[0,1]有且只有一个零点，则实数a的取值范围是________．解析当Δ＝9－4a＝0时，a＝eq\f(9,4)时，不合题意．当Δ>0时，由题意可得f(0)·f(1)≤0得－4≤a≤0.答案[－4,0]15．在不考虑空气阻力的状况下，火箭(除燃料外)的质量mkg，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg的函数关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度才能达到12km/s.解析设M＝tm，则有2000ln(1＋t)＝12000.即ln(1＋t)＝6，解得t＝e6－1.答案e6－1三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(12分)求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－4x＋3；(2)f(x)＝log2(3x－2)－1解(1)由x2－4x＋3＝0，得(x－1)(x－3)＝0，∴x＝1，或x＝3.∴函数f(x)的零点为1和3.(2)由log2(3x－2)－1＝0，得3x－2＝2，∴x＝eq\f(4,3).故函数f(x)＝log2(3x－2)－1的零点为eq\f(4,3).17．(12分)已知函数f(x)＝x2－mx－m＋3，是否存在实数m满足一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．解假设存在实数m，使f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝3－m>0，,f1＝1－m－m＋3<0，,f2＝4－2m－m＋3>0，))得2<m<eq\f(7,3).∴当2<m<eq\f(7,3)时，f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(1,2)内．18．(12分)若函数f(x)＝lnx＋x2－a有且只有一个零点在(1,2)内，求实数a的取值范围．解∵f(x)＝lnx＋x2－a在(1,2)内单调递增，又f(x)在(1,2)内有且只有一个零点．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝ln1＋1－a<0，,f2＝ln2＋4－a>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a<4＋ln2.))∴a的取值范围是1<a<4＋ln2.19．(13分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域．(2)求函数f(x)的零点．(3)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．解(1)要使函数有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋3>0，))解得－3<x<1.所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数f(x)可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0得－x2－2x＋3＝1即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±eq\r(3).∵－1±eq\r(3)∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1±eq\r(3).(3)函数f(x)可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4，∵0<a<1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.即f(x)min＝loga4，∴loga4＝－4得a－4＝4，∴a＝4eq\s\up15(－eq\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2).20．(13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c和一次函数g(x)＝－bx，其中a，b，c满足a>b>c；a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，求证：两函数的图像交于不同的两点．证明图像的交点问题可以转化为求方程的根的问题．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ax2＋bx＋c，,y＝－bx，))消去y得ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－＝4(a2＋ac＋c2)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(c,2)))2＋\f(3,4)c2)).∵a＋b＋c＝0，a>b>c，∴a>0，c<0.∴eq\f(3,4)c2>0，∴Δ>0.∴两函数的图像交于不同的两点．21．(13分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓舞销售商订购，打算当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，依据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)解(1)当0＜x≤100时，P＝60，当100＜x≤500时，P＝60－0.02(x－100)＝62－eq\f(x,50).∴P＝f(x)＝eq