【优化方案】2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第九章第9课时

[基础达标]1．(2022·安徽芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8解析：选C．E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝eq\f(1,2)，n＝12，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\f(1,2)·(eq\f(1,2))11＝3·2－10.2．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为()A．4 B．6C．8 D．10解析：选A．由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4.3．(2022·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：选B．由题意可知，X可以取3，4，5，6，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.4．袋中装有大小相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：选D．依题意得，ξ的全部可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7)·Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，因此E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).5．体育课的排球发球项目考试的规章是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：选C．发球次数X的分布列如下表：X123Pp(1－p)p(1－p)2所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)(舍去)或p<eq\f(1,2).又p>0，则0<p<eq\f(1,2).6．(2022·安徽阜阳质检)某项玩耍活动的嘉奖分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该玩耍获得资金的期望为________元．解析：a1＋2a1＋4a1＝1，∴a1＝eq\f(1,7)，E(ξ)＝eq\f(1,7)×700＋eq\f(2,7)×560＋eq\f(4,7)×420＝500(元)．答案：5007．已知某次英语考试的成果X听从正态分布N(116，82)，则10000名考生中成果在140分以上的人数为________．解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X＞140)＝eq\f(1,2)(1－0.9974)＝0.0013，∴成果在140分以上的人数为13.答案：138．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为eq\f(2,3)，此人得分的数学期望与方差分别为________．解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B(3，eq\f(2,3))，ξ＝10η，∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×eq\f(2,3)＝20，D(ξ)＝100D(η)＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).答案：20，eq\f(200,3)9．(2022·河北石家庄市高中毕业班质检)某市的训练争辩机构对全市高三同学进行综合素养测试，随机抽取了部分同学的成果，得到如图所示的成果频率分布直方图．(1)估量全市同学综合素养成果的平均值；(2)若评定成果不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市同学中任选3名同学(看作有放回地抽样)，变量ξ表示3名同学中成果优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望E(ξ)．解：(1)依题意可知55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6，所以综合素养成果的平均值为74.6.(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)＝0.3，由题意知，ξ～B(3，eq\f(3,10))，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,10))k(eq\f(7,10))3－k，故其分布列为ξ0123Peq\f(343,1000)eq\f(441,1000)eq\f(189,1000)eq\f(27,1000)E(ξ)＝3×eq\f(3,10)＝eq\f(9,10).10．(2021·高考重庆卷)某商场进行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．依据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余状况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．解：设Ai(i＝0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0，1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(18,35).(2)X的全部可能值为：0，10，50，200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,7))·eq\f(1,3)＝eq\f(1,105)，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,7))·eq\f(2,3)＝eq\f(2,105)，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,7))·eq\f(1,3)＝eq\f(12,105)＝eq\f(4,35)，P(X＝0)＝1－eq\f(1,105)－eq\f(2,105)－eq\f(4,35)＝eq\f(6,7).综上可知，获奖金额X的分布列为X01050200Peq\f(6,7)eq\f(4,35)eq\f(2,105)eq\f(1,105)从而有E(X)＝0×eq\f(6,7)＋10×eq\f(4,35)＋50×eq\f(2,105)＋200×eq\f(1,105)＝4(元)．[力气提升]1．(2022·浙江省名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，竞赛接受七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，竞赛就此结束．因两队实力相当，每场竞赛两队获胜的可能性均为eq\f(1,2).据以往资料统计，第一场竞赛可获得门票收入40万元，以后每场竞赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．解：(1)依题意，每场竞赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，所以Sn＝eq\f(n（10n＋70）,2)＝300.解得n＝－12(舍去)或n＝5，所以此决赛共竞赛了5场．则前4场竞赛的比分必为1∶3，且第5场竞赛为领先的球队获胜，其概率为Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4).(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.又P(X＝220)＝2×(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,8)，P(X＝300)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4＝eq\f(1,4)，P(X＝390)＝Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,2))5＝eq\f(5,16)，P(X＝490)＝Ceq\o\al(3,6)(eq\f(1,2))6＝eq\f(5,16)，所以X的分布列为X220300390490Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(5,16)eq\f(5,16)所以X的均值为E(X)＝377.5(万元)．2．(2021·高考湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是听从正态分布N(800，502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆担当甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天来回一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X听从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(700<X≤900)＝0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y，则相应的营运成本为1600x＋2400y.依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y≤x＋7，,36x＋60y≥900，,x，y≥0，x，y∈N，))且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距eq\f(z,2400)最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．3．(2022·云南昆明市调研)气象部门供应了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：℃)t≤2222<t≤2828<t≤32t>32天数612YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门供应的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.某水果商依据多年的销售阅历，六月份的日最高气温t(单位℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t(单位：℃)t≤2222<t≤2828<t≤32t>32日销售额X(单位：千元)2568(1)求Y，Z的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．解：(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，∴Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P(t≤22)＝eq\f(6,30)＝0.2，P(22<t≤28)＝eq\f(12,30)＝0.4，P(2