D微分方程及其求解课件

二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法给出特解(p,q为常数)二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理,其通解解的叠加原理解的叠加原理一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m

次多项式.一、为实数,设特(2)若是特征方程的单根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可设可设可设(2)若是特征方程的单根,(3)若是特征上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).综上讨论不是根是单根是重根特解形式设为上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.例2.的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为代入方程得例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通例2.的通解.

解:比较系数,得因此特解为所求通解为代入方程得例2.的通解.解:比较系数,得因此特解为所求通解为代入令的特解y*(一般为复根)求可以证明与分别是下列方程的解设令的特解y*(一般为复根)求可以证明与分别是下列方程的解设综上讨论(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根综上讨论(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根解例3的一个特解

.有共轭复根特征方程本题不是特征根的特解令特解解例3的一个特解.有共轭复根特征方程本题不是特征根的特解例3的一个特解

.将特解代入原方程得解例3的一个特解.将特解代入原方程得例3的一个特解

.于是求得一个特解原方程得一个特解例3的一个特解.于是求得一个特解原方程得一个特解解例4的通解

.对应齐次方程特征方程为特征根:对应齐次方程的通解：解例4的通解.对应齐次方程特征方程为特征根:对应齐次方解例4的通解

.齐次通解：特征方程是特征方程的根本题故设特解为考虑方程解例4的通解.齐次通解：特征方程是特征方程的根本题故设特解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一个特解原方程通解为解例4的通解.代入方程整理得于是求得一个特解原方程通解为一、一阶微分方程求解

1.一阶标准类型方程求解关键:

辨别方程类型,掌握求解步骤四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,*全微分方程小结一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:1.可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解逐次积分解法:高阶

yf(x)型的微分方程1.可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解逐次积分解法

yf(x

y)型的微分方程解法:令化为x,p的一阶微分方程.则

yf(y

y)型的微分方程解法:令化为y,p的一阶微分方程.则yf(xy)型的微分方程解法:令化为x,二阶线性微分方程的通解的结构齐次方程的通解的结构如果函数y1(x)与y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数二阶线性微分方程的通解的结构齐次方程的通解的结构2.二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数)①所以令①的解为②其根称为特征根.因为r为常数时,函数(p,q为常数)2.二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数代入①得实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程方法步骤①写出特征方程②求出特征根③按特征根的三种不同情况依下表写出通解实根特征根通解以上结论可推3.二阶线性微分方程的通解的结构设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齐次方程的通解的结构3.二阶线性微分方程的通解的结构设y*(微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是单根是重根特解形式设为微分方程ypyqyPm(x)ex的待定特(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx的待定特解整合为(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根微分方程则是特解形式设为整合为的解是的解则是特解形式设为整合为的解是的解思考题1.微分方程(λ>0)的特解形式为2.微分方程满足条件y(0)=0的解2011年考研题思考题1.微分方程(λ>0)的特解形式为2.微分方程满足条设的特解为设的特解为则所求特解为思考题3.写出微分方程的待定特解的形式.解设的特解为设则所求特解为练习题3.写出微分方程的待定特解的形式.解特征根（重根）则所求特解为练习题3.写出微分方程的待定特解的形式.解特征4.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.4.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)

由一阶线性微分方程解的公式得于是将(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是将作业P2615(2)作业P2615(2)二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法给出特解(p,q为常数)二阶常系数非齐次线性微分方程:根据解的结构定理,其通解解的叠加原理解的叠加原理一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m

次多项式.一、为实数,设特(2)若是特征方程的单根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可设可设可设(2)若是特征方程的单根,(3)若是特征上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).综上讨论不是根是单根是重根特解形式设为上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.例2.的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为代入方程得例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通例2.的通解.

解:比较系数,得因此特解为所求通解为代入方程得例2.的通解.解:比较系数,得因此特解为所求通解为代入令的特解y*(一般为复根)求可以证明与分别是下列方程的解设令的特解y*(一般为复根)求可以证明与分别是下列方程的解设综上讨论(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根综上讨论(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根解例3的一个特解

.有共轭复根特征方程本题不是特征根的特解令特解解例3的一个特解.有共轭复根特征方程本题不是特征根的特解例3的一个特解

.将特解代入原方程得解例3的一个特解.将特解代入原方程得例3的一个特解

.于是求得一个特解原方程得一个特解例3的一个特解.于是求得一个特解原方程得一个特解解例4的通解

.对应齐次方程特征方程为特征根:对应齐次方程的通解：解例4的通解.对应齐次方程特征方程为特征根:对应齐次方解例4的通解

.齐次通解：特征方程是特征方程的根本题故设特解为考虑方程解例4的通解.齐次通解：特征方程是特征方程的根本题故设特解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一个特解原方程通解为解例4的通解.代入方程整理得于是求得一个特解原方程通解为一、一阶微分方程求解

1.一阶标准类型方程求解关键:

辨别方程类型,掌握求解步骤四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,*全微分方程小结一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:1.可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解逐次积分解法:高阶

yf(x)型的微分方程1.可降阶的二阶微分方程二、高阶微分方程求解逐次积分解法

yf(x

y)型的微分方程解法:令化为x,p的一阶微分方程.则

yf(y

y)型的微分方程解法:令化为y,p的一阶微分方程.则yf(xy)型的微分方程解法:令化为x,二阶线性微分方程的通解的结构齐次方程的通解的结构如果函数y1(x)与y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数二阶线性微分方程的通解的结构齐次方程的通解的结构2.二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数)①所以令①的解为②其根称为特征根.因为r为常数时,函数(p,q为常数)2.二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数代入①得实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程方法步骤①写出特征方程②求出特征根③按特征根的三种不同情况依下表写出通解实根特征根通解以上结论可推3.二阶线性微分方程的通解的结构设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齐次方程的通解的结构3.二阶线性微分方程的通解的结构设y*(微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是单根是重根特解形式设为微分方程ypyqyPm(x)ex的待定特(α±iβ)不是根特解形式设为(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx