汇总-外文翻译

第2 深入的袋鼠编码理论感的话，可以参阅在本章最后列出的文献。2.1令G为一组元素的集合。G上一个二元运算*定义为这样一种规则：对G中的每一对元素ab，由该规则可在G中唯一确定第三个元素c=a*b。G义了这样一种二元运算*，G*GG为实数的加法+。知道，对G中任意两个整数i和j，i+j是G上唯一确定的整数。因此，整数集合在实数加法运算下式封闭的。如果G*Ga，b，c eGiii，对GaGaˊa*aˊ=aˊ*a=b，定理2- 假设G中存在两个单位元e和e＇，那么eˊ=eˊ*e=e，这说明e和eˊ 2-2 a＇=a＇*e=a＇*（a*a＂）=(a＇*a)*a＂=e*a＂=a＂这说明a＇和a＂是相同的，所以a仅有唯一的一个逆元。 i01位元，有隶书b/a是a/b的乘法逆元。上面提到的群都含有无穷多个元素，含有限个元素women2-1G=﹛0,1﹜G0 0 1 1这样的二元运算称2。集合G﹛0,1﹜2加法下是一个群。2加法的定义，G在下是封闭的，同时满换律、结合律。元素0是单位元，0的逆元是它本身，1G一个非常类似于是暑假发的二元运算下构造一个m例2-2 令m为一个正整数，考虑整数集合G=﹛0,1，2，…，m-1﹜。记+为实数加法，定义G上的一个二元运算 如下：对G中任意整数i和j，有 GG在二元运算下式封闭的，称为模mm合G=﹛0,1，2，…，m-1﹜是群。首先，可以看出0是单位元。对0＜i＜m，i和m-i都在G 因此，i和m-i关于 互为逆元。很明显，0的逆元是它本身。因为实数加法满换律，由模m加法的定义，对G中任意的i和j，有i i。因此，模m加法也满换mi，jkG用m除i+j+k，得 r2=r。浴室，有 r2i+j+kmr2=r。于是，有 k），即模m加法满足结合律。这个结论也就证明了G=﹛0,1，2，…，m-1﹜在模m加法下是一个群。以后称这个群为加群。当m=2时，就得到例2-1所给出的二元群。424012341234023402-3令p（p=2,3,5,7,11，…）1﹜。 如下对于 其中r为 是G种的一个元素。因此集合G在二元运算 （被称为模p乘法）下是封闭的。在模p乘法下集合G=﹛0,1，2，…，p-1﹜是一个群。可以很容易验证模p乘法满换律和结合律，其单位元是1.剩下需要证明的仅仅是G中每一个元素都有逆元。令i是G中的一个元素。因为p为素数，且i＜p，所以i和p必然是互素的（即i和p没有比1大的公因数）。众所周知，存在两个整数a和b使得这说明当 i=i (2-apr0，且r1p-1rG r=1，r是i的逆元。因此，G中任意元素i关于模p乘法都有逆元。群G=﹛0,1，2，…，p-1﹜在模p乘法下称为乘群。对p=2，在模2乘法下women得到只有一个元素的群G=﹛1﹜。HG一个非空子集。如果子集HG下是封闭的，且满足群的全部条件，则H称为G的子群。例理数集合在实数加法下是一个群，整数集合在实数加法下是G的子群称为G2-3令G*下地一个群，HGH是G证明条件GHHG，*1234112342241a*H﹛a*h：h∈H﹜称为HH*a﹛a*h：h∈H﹜称为HGa*HH*a对任意a∈G，a*H=H*a。在本书中，主要对交换群感，因此以后不再区分例2-4考虑模16加法下地加群G=﹛0,1，2，…，15﹜。很容易可以验证H=﹛0,4，8，12﹜构成G的一个子群。陪群3 H为 陪集 H 发现3 H。事实上H只有4个不同的陪集。除了3 H，另外3个不同的陪 2-4令HG*HHa∈Ga*H={a*h：a-1*（a*