微积分-内招课件wjf

第一节导数的概念第二节导数的运算第三节隐函数求导第四节高阶导数第五节微分的概念1

2

3

4

5

第一节导数的概念1.1导数的引例1.2导数的定义1.3导函数的定义1

2

3

4

5

导数引例：瞬时速度例

1

物体作变速直线运动，经过的路程

s

是时刻

t的函数，s

=ƒ

(t)．求在t0

时刻物体的瞬时速度．1

2

3

4

5

导数引例：瞬时速度例

1

物体作变速直线运动，经过的路程

s

是时刻

t的函数，s

=ƒ

(t)．求在t0

时刻物体的瞬时速度．从t0

到t0

+Δt

的平均速度为

=

Δ

s ƒ

(t0

+

Δt)

−ƒ

(t0)ΔtΔt1

2

3

4

5

导数引例：瞬时速度例

1

物体作变速直线运动，经过的路程

s

是时刻

t的函数，s

=ƒ

(t)．求在t0

时刻物体的瞬时速度．从t0

到t0

+Δt

的平均速度为

=

Δ

s ƒ

(t0

+

Δt)

−ƒ

(t0)ΔtΔt在t0

时刻的瞬时速度为Δt→0

Δt

Δt→0Δ

sƒ

(t0

+

Δt)

−ƒ

(t0)lim

=

limΔt1

2

3

4

5

导数引例：切线斜率例

2

求曲线

y

=

ƒ( )

在点

M(

0

,

y0

)

处的切线斜率1

2

3

4

5

导数引例：切线斜率例

2

求曲线

y

=

ƒ

( )

在点

M(

0

,

y0

)

处的切线斜率．设N

点在MΔ

y点附ƒ近(，则0

+割Δ线M)N−的ƒ

(斜0)率为=Δ

Δ1

2

3

4

5

导数引例：切线斜率例

2

求曲线

y

=

ƒ( )

在点

M(

0

,

y0

)

处的切线斜率设N

点在M

点附近，则割线

MN

的斜率为

=

Δ

y ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0

)Δ

Δ让N

点往M

点跑，则切线MT

的斜率为Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0)lim

=

limΔ1

2

3

4

5

导数引例：切线斜率yTN00

+

ΔΔ

yMΔ1

2

3

4

5

第一节导数的概念1.1导数的引例1.2导数的定义1.3导函数的定义1

2

3

4

5

导数的定义0定义

1

设

y

=

ƒ

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某邻域有定义．若极ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0)lim=

limΔ存在，导数微商注记1

2

3

4

5

变化率导数的定义0定义

1

设

y

=

ƒ

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某邻域有定义．若极ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0)lim=

limΔ0存在，则称此极限为

ƒ

( )

在处的导数（或微商）．注记变化率1

2

3

4

5

导数的定义0定义

1

设

y

=

ƒ

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某邻域有定义．若极ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0)lim=

limΔ0存在，则称此极限为

ƒ

( )

在处的导数（或微商）．0′

′记为ƒ

()，y

|=

0d

y，d0，或=ddƒ

(

)

．0=注记变化率1

2

3

4

5

导数的定义0定义

1

设

y

=

ƒ

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某邻域有定义．若极ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0)lim=

limΔ0存在，则称此极限为

ƒ

( )

在处的导数（或微商）．0′

′记为ƒ

()，y

|=

0d

y，d0，或=ddƒ

(

)

．0=注记

导数

ƒ

′(0)

反映了

ƒ

( )

在点0处的变化慢快，变化率1

2

3

4

5

导数的定义0定义

1

设

y

=

ƒ

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某邻域有定义．若极ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(

0)lim=

limΔ0存在，则称此极限为

ƒ

( )

在处的导数（或微商）．0′

′记为ƒ

()，y

|=

0d

y，d0，或=ddƒ

(

)

．0=注记

导数

ƒ

′(

0)

反映了

ƒ

(0)

在点

处的变化快慢，因此

ƒ

′(

0)

又称为

ƒ

( )

在0点的变化率．1

2

3

4

5

导数的几种形式ƒ

′(0ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(0)

=

limΔ

→0)Δ（定义）1

2

3

4

5

导数的几种形式ƒ

′(0ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(0)

=

lim（定义）ƒ

′(0Δ

→0

)Δƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

limh→00(

)h（令

h

=

Δ

）1

2

3

4

5

导数的几种形式ƒ

′(0ƒ

(

0

+

Δ

)

−ƒ

(0)

=

lim（定义）ƒ

′(0Δ

→0

)Δƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

limh→00(

)（令

h

=

Δ

）ƒ

′(0→hƒ

( )

−ƒ

(0)

=

lim0

)−00（令

= +

h）1

2

3

4

5

导数的定义如果

ƒ

( )

在0处有导数，则称函数

ƒ

()在0点可导．不可导1

2

3

4

5

导数的定义如果

ƒ

( )

在0处有导数，则称函数

ƒ

( )

在0点可导．否则，称

ƒ

( )

在0处不可导．1

2

3

4

5

导数的定义如果

ƒ

( )

在0处有导数，则称函数

ƒ

( )

在0点可导．否则，称ƒ

(如果

ƒ

( )

在区间

((

)0)

在 处不可导．,b)内每一点都可导，则称ƒ在区间

(

,

b)

内可导．1

2

3

4

5

第一节导数的概念1.1导数的引例1.2导数的定义1.3导函数的定义1

2

3

4

5

导函数的定义如果

ƒ

( )

在区间

(b)都有一个导数值ƒ

′(,b)

内可导，则每个

0

∈(

,0)与之对应，导函数导数1

2

3

4

5

导函数的定义如果

ƒ

( )

在区间

(

,

b)

内可导，则每个0∈

(

,b)都有一个导数值

ƒ

′(

0)

与之对应，从而得到一个函数

ƒ

′(

)：ƒ

′:

0

7−→ƒ

′(

0)导函数导数1

2

3

4

5

导函数的定义如果

ƒ

( )

在区间

(

,

b)

内可导，则每个0∈

(

,b)都有一个导数值

ƒ

′(

0)

与之对应，从而得到一个函数

ƒ

′(

)：ƒ

′:

0

7−→ƒ

′(

0))

在

(

,

b)

内的导函数（简称导数），ƒ

′(

)称为ƒ

(1

2

3

4

5

导函数的定义如果

ƒ

( )

在区间

(,

b)

内可导，则每个

0

∈

(

,b)都有一个导数值

ƒ

′(

0)

与之对应，从而得到一个函数

ƒ

′(

)：ƒ

′:

0

7−→

ƒ

′(

0)ƒ

′( )

称为

ƒ

( )

在

(

,

b)

内的导函数（简称导数），记d

y

d

为

ƒ

′(

)，或

y′，或

d

，

或

d

ƒ

(

)．1

2

3

4

5

导函数的定义如果

ƒ

( )

在区间

(,

b)

内可导，则每个

0

∈

(

,b)都有一个导数值

ƒ

′(

0)

与之对应，从而得到一个函数

ƒ

′(

)：ƒ

′:

0

7−→

ƒ

′(

0)ƒ

′( )

称为

ƒ

( )

在

(

,

b)

内的导函数（简称导数），记d

y

d

为

ƒ

′(

)，或

y′，或

d

，

或

d

ƒ

(

)．此时有=ƒ

′(

0)

=

ƒ

′(

)|

0

.1

2

3

4

5

导函数的几种形式Δ

→0Δƒ

( +

Δ

)

−ƒ

(

)ƒ

′( )

=

lim（定义）1

2

3

4

5

导函数的几种形式Δ

→0Δƒ

′( )

=

limƒ

( +

Δ

)

−ƒ

(

)（定义）h→0hƒ

( +

h)

−ƒ

(

)ƒ

′( )

=

lim（令

h

=

Δ

）1

2

3

4

5

第一节导数的概念第二节导数的运算第三节隐函数求导第四节高阶导数第五节微分的概念1

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．例21

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．例

2

求幂函数

ƒ

(n)=

的导数．1

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．n例

2

求幂函数

ƒ

( )

=

的导数．n

=

1

时，( )′

=?1

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．例

2

求幂函数

ƒ

( )

=n

=

1

时，( )′

=?n

=

2

时，(

2)′

=?n的导数．1

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．例

2

求幂函数

ƒ

( )

=n

=1

时，()′=?n

=2

时，(2)′=?n

=3

时，(3)′=?n的导数．1

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．n的导数．例

2

求幂函数

ƒ

( )

=n

=1

时，()′=?n

=2

时，(2)′=?n

=3

时，(3)′=?n

=−1

时，(1

)′=?1

2

3

4

5

例

1

求常值函数

ƒ

( )

=

C

的导数．例

2

求幂函数

ƒ

( )

=n的导数．n

=1

时，()′=?n

=2

时，(2)′=?n

=3

时，(3)′=?n

=−1

时，(1

)′=?n

=1/2

时，p( )′

=?1

2

3

4

5

基本导数公式I(C)′

=

0( )′

=−1(1)(2)1

2

3

4

5

第二节导数的运算2.1和与差的导数2.2导数的几何意义2.3左导数和右导数2.4积与商的导数2.5反函数的导数2.6复合函数的导数1

2

3

4

5

和与差的导数运算定理1[C

( )]′

=

C′()[

( )

±

( )]′

=′()

±′()1

2

3

4

5

例

3

求下列函数的导数．−42

++

1(1)ƒ

()

=

23+

2(2)ƒ

()

=2

−练答案1

2

3

4

5

ƒ

( )

=

2

3

−42

+例

3

求下列函数的导数．(1)+

2(2)ƒ

( )

=

2

−+

1练求下列函数的导数．ƒ

( )

=

5

−4+

eƒ

(4

+2

+

3)

=

( +

2

)(

33

+

2

)答案1

2

3

4

5

ƒ

( )

=

2

3

−42

+例

3

求下列函数的导数．(1)+

2(2)ƒ

( )

=

2

−+

1练求下列函数的导数．ƒ

(ƒ

()

=

5

−44

+2

+

3

+

e)

=

( +

2

)(

3

3

+

2

)答案

(1)

ƒ

′( )

=

5

4

−16

3

+

2

+3；(2)

ƒ

′( )

=

12

3

+

18

2

+

4

+

4．1

2

3

4

5

第二节导数的运算2.1和与差的导数2.2导数的几何意义2.3左导数和右导数2.4积与商的导数2.5反函数的导数2.6复合函数的导数1

2

3

4

5

导数的几何意义0函数

ƒ

( )

在

处的导数

ƒ

′((

)0)，就是曲线y

=ƒ在点

(

0

,

y0

)

处的切线斜率．切线方程法线方程1

2

3

4

5

导数的几何意义0函数

ƒ

( )

在 处的导数

ƒ

′((

)0)，就是曲线y

=ƒ在点

(

0

,

y0

)

处的切线斜率．从而点

(

0

,y0

)

处的切线方程为y

−y

0

=

ƒ

′(

0)(

−

0

)法线方程为ƒ

(

0

)y

−y

0

=

−

′1

(

−

0)1

2

3

4

5

导数的几何意义例

4

求

ƒ

( )

=线方程．2在点(1,1)处的切线方程和法练习2答案1

2

3

4

5

导数的几何意义例

4

求

ƒ

( )

=线方程．2在点(1,1)处的切线方程和法11练习

2

求

ƒ

( )

=方程和法线方程．在点2,

2处的切线答案1

2

3

4

5

导数的几何意义例

4

求

ƒ

( )

=线方程．2在点(1,1)处的切线方程和法11练习

2

求

ƒ

( )

=方程和法线方程．在点2,

2处的切线答案

切线方程为

+4

y

−4=

0．法线方程为

8

−2

y

−15

=

0．1

2

3

4

5

第二节导数的运算2.1和与差的导数2.2导数的几何意义2.3左导数和右导数2.4积与商的导数2.5反函数的导数2.6复合函数的导数1

2

3

4

5

左导数和右导数定义

设

ƒ

( )

在

(

0

−δ,义，0

]上有定左导数定义+右导数+1

2

3

4

5

左导数和右导数定义

设

ƒ

( )

在

(

0

−δ,

0

]

上有定义，若左极限h→0−limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)h左导数存在，定义+右导数+1

2

3

4

5

左导数和右导数定义

设

ƒ

( )

在

(

0

−δ,

0

]

上有定义，若左极限limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)hh→0−存在，则称它为

ƒ

(−0)

在

处的左导数，记为

ƒ

′(

0).定义+右导数+1

2

3

4

5

左导数和右导数定义

设

ƒ

( )

在

(

0

−δ,

0

]

上有定义，若左极限limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)hh→0−存在，则称它为

ƒ

(−0)

在

处的左导数，记为

ƒ

′(

0).定义

设

ƒ

( )

在

[义，0

,

0

+δ)上有定+右导数+1

2

3

4

5

左导数和右导数定义

设

ƒ

( )

在

(

0

−δ,

0

]

上有定义，若左极限limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)hh→0−存在，则称它为

ƒ

(−0)

在

处的左导数，记为

ƒ

′(

0).0

,

0

+δ)上有定义，若右定义

设

ƒ

( )

在

[极限h→0+limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)h存在，右导数+1

2

3

4

5

左导数和右导数定义

设

ƒ

( )

在

(

0

−δ,

0

]

上有定义，若左极限limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)hh→0−存在，则称它为

ƒ

(−0)

在

处的左导数，记为

ƒ

′(

0).0

,

0

+δ)上有定义，若右定义

设

ƒ

( )

在

[极限limƒ

(

0

+

h)

−ƒ

(

0)hh→0+存在，则称它为ƒ

(0)

在 处的右导数，记为

ƒ

′(

0).+1

2

3

4

5

导数与左右导数性质

1

导数存在

⇐⇒

左导数和右导数都存在且相等．性质21

2

3

4

5

导数与左右导数性质

1

导数存在

⇐⇒

左导数和右导数都存在且相等．导数：ƒ

′(0ƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

lim0(

)−左导数：ƒ

′(0h→0

hƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

lim0(

)+右导数：ƒ

′(0h→0−

hƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

limh→0+0(

)h性质21

2

3

4

5

导数与左右导数性质

1

导数存在

⇐⇒

左导数和右导数都存在且相等．导数：ƒ

′(0ƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

lim0(

)−左导数：ƒ

′(0h→0

hƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

lim0(

)+右导数：ƒ

′(0h→0−

hƒ

(

0

+

h)

−ƒ)

=

lim

(

)h→0+0h点可导=⇒函数在性质2函数在点连续．001

2

3

4

5

分段函数的导数对于分段函数，有（假定

g

()和h

()可导）：ƒ

( )

=g(

),

≤h(

),

>′=⇒

ƒ

( )=((g′(

),

<h′(

),

>注记1注记21

2

3

4

5

分段函数的导数对于分段函数，有（假定

g

()和h

()可导）：ƒ

( )

=′=⇒

ƒ

( )=((g(

),

≤h(

),

>

h′(g′(

),

<),

>注记

1

ƒ

′(注记2)需要单独研究：未必有

ƒ

′()=

g′(

)．1

2

3

4

5

分段函数的导数对于分段函数，有（假定

g

()和h

()可导）：ƒ

( )

=′=⇒

ƒ

( )=((g(

),

≤h(

),

>

h′(g′(

),

<),

>注记

1

ƒ

′( )

需要单独研究：未必有

ƒ

′( )

=

g′(

)．注记2如果

ƒ

( )

在=

点连续，则有),

ƒ

′( )

=

h′(

).+ƒ

′( )

=

g′(−1

2

3

4

5

分段函数的导数对于分段函数，有（假定

g

()和h

()可导）：ƒ

( )

=′=⇒

ƒ

( )=((g(

),

≤h(

),

>

h′(g′(

),

<),

>注记

1

ƒ

′( )

需要单独研究：未必有

ƒ

′( )

=

g′(

)．注记2如果

ƒ

( )

在=

点连续，则有),

ƒ

′( )

=

h′(

).ƒ

′( )

=

g′(−

+此时

ƒ

′( )

存在当且仅当

g′( )

=

h′(

)．1

2

3

4

5

分段函数的导数(1)

ƒ

( )

=例

5

判断函数在?=0

处的连续性和可导性．+

1,

>

0;−

,

≤

0.1

2

3

4

5

分段函数的导数(1)

ƒ

( )

=例

5

判断函数在=0

处的连续性和可导性．>

0;≤

0.?+

1,−

,(2)

ƒ

( )

=

|

|.1

2

3

4

5

分段函数的导数(1)

ƒ

( )

=例

5

判断函数在=0

处的连续性和可导性．>

0;≤

0.?+

1,−

,(2)

ƒ

( )

=

|

|.≥

0;<

0.2

+2

+?(3)

ƒ

( )

=

−,,1

2

3

4

5

练习

3

判断函数在?2ƒ

( )

=?ƒ

( )

=?(3)

ƒ

( )

=

−=1

的连续性和可导性．+

1,

>

1;−

,

≤

1.+

1,

>

1;,

≤

1.2

+ +

2,

≥

1;2

+

5

,

<

1.1

2

3

4

5

?1,2

+b

+c,

≥0在<

0=0

可例

6

设

ƒ

( )

=导，求b

和c．1

2

3

4

5

基本导数公式II(e)′)′((3)(4)(ln)′(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本导数公式II(e

)′

=

e()′(3)(4)(ln)′(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本导数公式II(e

)′

=

e( )′

=·

ln(3)(4)(ln)′(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本导数公式II(3)(4)(e

)′

=

e( )′

=·

ln(ln

)′

=1(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本导数公式II(3)(4)(5)(e

)′

=

e( )′

=·

ln(ln

)′

=1(

log

)′

=

1·

ln(6)1

2

3

4

5

基本导数公式III(sin(cos)′)′(7)(8)1

2

3

4

5

基本导数公式III(sin

)′=

cos(cos)′(7)(8)1

2

3

4

5

基本导数公式III(sin

)′=

cos(cos

)′

=

−sin(7)(8)1

2

3

4

5

第二节导数的运算2.1和与差的导数2.2导数的几何意义2.3左导数和右导数2.4积与商的导数2.5反函数的导数2.6复合函数的导数1

2

3

4

5

积与商的导数运算定理2(

( )

·

( ))′

=′(′()

·

( )

+)(

)·?()

?′=′(′())

·

(2

)

−

(

)

·(

)(

)1

2

3

4

5

基本导数公式IV利用商的导数运算公式，可以得到：(t

n(cot(sec(csc)′)′)′)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本导数公式IV利用商的导数运算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot(sec(csc)′)′)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本导数公式IV利用商的导数运算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot

)′

=

−csc

2(sec(csc)′)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本导数公式IV利用商的导数运算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot

)′

=

−csc

2(sec

)′

=

sec

·

t

n(csc)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本导数公式IV利用商的导数运算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot

)′

=

−csc

2(sec

)′

=

sec

·

t

n(csc

)′

=

−csc

·

cot(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本导数公式IV利用商的导数运算公式，可以得到：(cot(sec(csc(t

n

)′

=

sec

2)′

=

−csc

2)′

=

sec

·

t

n)′

=

−csc·

cot(9)(10)(11)(12)1=

cos1=

sin其中，sec．，

c

s

c1

2

3

4

5

例

7

求下列函数的导数．(1)

ƒ

( )

=

·

ln1

2

3

4

5

例

7

求下列函数的导数．(1)(2)ƒ

( )

=

·

lnƒ

( )

=

e

·

sin1

2

3

4

5

(3)

ƒ

( )

=例

7

求下列函数的导数．(1)(2)ƒ

( )

=

·

lnƒ

()

=

e

·

sinsin21

2

3

4

5

(3)

ƒ

( )

=例

7

求下列函数的导数．(1)(2)ƒ

( )

=

·

lnƒ

()

=

e

·

sinsin(4)

ƒ

( )

=23

+

2e1

2

3

4

5

练习

4

求下列函数的导数．ƒ

(ƒ

()

=

e

·

ln)

=

sin

·

(4

+)

e(3) ƒ

( )

=21

2

3

4

5

函数乘积的导数运算定理

3

由两个函数乘积的导数公式，可以得到多个函数乘积的导数公式，例如：′( )

·

( )

·

(

)=(

)′

()

·

( )

·′()

·+

( )

·(

)+

( )

·

( )

·′(

)例81

2

3

4

5

函数乘积的导数运算定理

3

由两个函数乘积的导数公式，可以得到多个函数乘积的导数公式，例如：′( )

·

( )

·

(

)=(

)′

()

·

( )

·+

( )

·(

)·

s+i

n

(

的)导·′(

)′()

·( )

·例

8

求

ƒ

( )

=

e

·数．21

2

3

4

5

第二节导数的运算2.1和与差的导数2.2导数的几何意义2.3左导数和右导数2.4积与商的导数2.5反函数的导数2.6复合函数的导数1

2

3

4

5

反函数的导数[ƒ

( )]′

=定理

4

设

y

=

ƒ

( )

在点数ƒ

′(

)，并且其反函数处有不等于0

的导=ƒ

−1(y)在相应点处连续，则[ƒ

−1(y)]′存在，并且1[ƒ

−1

(y)]′y.注记1

2

3

4

5

反函数的导数[ƒ

( )]′

=定理

4

设

y

=

ƒ

( )

在点数ƒ

′(

)，并且其反函数处有不等于0

的导=ƒ

−1(y)在相应点处连续，则[ƒ

−1(y)]′存在，并且1[ƒ

−1

(y)]′y.d

yd注记

上式也可以写成=1dd

y．1

2

3

4

5

基本导数公式V(

rcsin)′

(13)(

rccos)′

(14)(

rct

n(

rccot)′

(15))′1

2

3

4

5

(16)基本导数公式V1(

rcsin

)′

=

p

(13)(

rccos)′1

−

2(14)(

rct

n)′

(15))