高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

页脚页脚推理与证明一、核心知识合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。演绎推理（1）定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。（2）演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。（1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A,只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

确。反证法的思维方法:正难则反．．．．5．数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤(1)证明：当n取第一个值nO(nOWN*)时命题成立；(2)假设当n=k(kWN*，且k$nO)时命题成立，证明当n二k+1时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从nO开始的所有正整数n都正确。二、典型例题例1.已知f(x+1)=巧(x),f⑴=1(xgN*),猜想f(x)的表达式为(B)f(x)+2A.f(xA.f(x)=B.f(x)=illC.f(x)=x+1D.f(x)=2x+11113例2.已知f(n)=1+-+-++-(ngN*)，计算得f(2)=-,f(4)>2,23n257f(8)>-,f(16)>3,f(32)>―,由此推测：当n>2时，有2…2f(2n)f(2n)>2n+12(ngN*)3sin25。+sin265。+sin2125。例3.已知：sin230sin25。+sin265。+sin2125。2通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题：3=23解：一般形式：sin2a+sin2(a+60°)+sin2(a+120°)=、正明左、力=1—cos2a+1—cos(2a+120°)+1—cos(2a23解：一般形式：sin2a+sin2(a+60°)+sin2(a+120°)=、正明左、力=1—cos2a+1—cos(2a+120°)+1—cos(2a+240°)31=——[cos2a+cos(2a+120°)+cos(2a+240°)]2231=一一[cos2a+cos2acosl20-sin2asinl20+cos2cos240-sin2asin240°]22=—-1[cos2a-1cos2a-2:-sin2a-1cos2a+^—sin2a]=—=右边2222222(将一般形式写成sin2(a-60)+sin2a+sin2(a+60)=—,2。3sin2(a-240。)+sin2(a-1200)+sin2a=一等均正确。)2236求证：a,b,c中至少有一个大于0。答案：(用反证法)假设a,b,c都不大于0，即a<0,b<0,c<0，则有a+b+c<0，而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(++)-3236236=(x-l)2+(y-l)2+(z-l)2+兀-3…(x-1)2,(y—1)2,(z-1)2均大于或等于0，兀—3>0，…a+b+c>0，这与假设a+b+c<0矛盾，故a,b,c中至少有一个大于0。例5•求证：1+3+5+-+(2n+1)=n2(n^N*)三、课后练习1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是(B)|a|a=1,11/、[a=a+n(n$N*)n＋1na=1，1a=a+n(nGN*,n±2)nn－1|a|a=1,C.11[a=a+(n—1)(n£N*)n+1na=1,1a=a+(n—1)(n£N*,n±2)nn—1［解析］记数列为｛a｝，由已知观察规律：a比a多2,a比a多3,a比a多n213243|a=1,…，可知当n±2时,a比a多n,可得递推关系]1(n±2,nGN*).nn—1[a—a=nnn—12.用数学归纳法证明等式12.用数学归纳法证明等式1+2+3+・・・+(n+3)(n+3)(n+4)2(neN*)时，验A.fA.f(n)中共有n项,当n=2时，f(2)证n=1,左边应取的项是(D)A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4[解析]当n=1时，左=1+2(1+3)=1+2+4,故应选D.•已知•已知f(n)=n+£+占i+n?则(d)f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=£+3+4C.fC.f(n)中共有应一n项,当n=2时，f(2)D.f(n)中共有n2—n+1项，当n=2时，f⑵=|+|+4［解析］项数为n2—(n—1)=n2—n+1,故应选D.已知a+b+c=0,则ab+bc+ca的值(D)A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0［解析］解法1：Ta+b+c=0,.°.a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,a2+b2+c2.°.ab+ac+bc=2乙已知c>1,a=..Jc+1—\：2,b=jc—寸c—1,则正确的结论是(B)A.a>bB.aVbC.a=bD.a、b大小不定［解析］⑴丁―后肘+乂,匸込—尸=后占,因为\'c+1>\；c>0,"Jc>\fc—1>0,所以.Jc+l+.t'cMjc+pc—1>0,所以a<b.sinAcosBcosC6.若==，则△ABC是(C)abcA.等边三角形B.有一个角是30。的直角三角形等腰直角三角形D.有一个角是30。的等腰三角形sinAcosBcosC［解析］V-—，由正弦定理得，abcsinA_sinB_sinC.sinB_cosB_cosC_sinCabc，…bbcc，.°.sinB=cosB,sinC=cosC,.°.ZB=ZC=45°,.•.△ABC是等腰直角三角形.A、C、“13“115“111A、C、“13“115“11171+-<,1++-<一,1++-+-<_22223232324247.观察式子：，…，则可归纳出式子为(B、1+丄+丄+…丄<丄2232n22n—11+丄+丄+…丄<丄2232n22n+11+丄+丄+…丄<42232n2nD、1+丄+丄+…丄亠2232n22n+1解析：用n=2代入选项判断。8•设f(x)=cosx,f(x)=f'(x),f(x)=f'(x),,f(x)=f'(x),n^N,则01021n+1nf2008x)=•••解：cosx,由归纳推理可知其周期是49.函数f(x)由下表定义：x25314f(x)12345若a=5，a=f(a)，n=0,1,2,，则a=40n+1n200710.在数列1,2,2，3，3,3,4,4,4,4，……中，第25项为___7__・11・同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖4n+8块.(用含n的代数式表示)⑴辽］⑶⑴辽］⑶(712.△ABC的三个角A、B、C成等差数列，求证：丄+丄=」。a+bb+ca+b+c答案：证明：要证+「=3，即需证a+b+c+a+b+c=3。a+bb+ca+b+ca+bb+c即证_=+」=1。a+bb+c又需证c(又需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)需证c2+a2=ac+b2•「△ABC三个角A、B、C成等差数列°・・・B=60°。由余弦定理，有b2=c2+a2—2cacos60，即b2=c2+a2—ac。・c2+a2=ac+b2成立，命题得证。用分析法证明：若a>0,贝*2+丄—込>a+丄—2。'a2a答案：证明：要证(a2+丄—<2>a+丄-2，a2aTOC\o"1-5"\h\z只需证严+亡+2>a+新2。_Va>0，.两边均大于零，因此只需证(］；a2+-1+2)2>(a+丄+込)2只需证a2+丄+4+4'a2+—>a2+—+2+2+2"2(a+丄)，a21a2a2a只需证、,.''a2+丄>^(a+丄)，只需证a2+丄>丄@2+丄+2)，

a22'aa22a2只需证、,即证a2+丄>2，它显然成立。.•.原不等式成立。a2求证：AABC为等边三角AABC中，已知3b=2f3asinB，且cosA=求证：AABC为等边三角形。解:分析：由3b=2•瓦sinBn简B=2品inAsinBnsinA七-A=亍3解:］兀由cosA=cosCn