高一数学函数单调性例题

高一数学函数单调性典型例题例1.(1)设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数，则a的范围为(D)1C.1C.a>--D.A.a»-提示：2a-1<0时该函数是R上的减函数.⑵函数y二X2+bx+c(xg[0,))是单调函数的充要条件是(A)A.b>0B.b<0C.b>0D.b<0提示：考虑对称轴和区间端点•结合二次函数图象(3)已知f(x)在区间(―®+8)上是减函数，a,bgR且a+b<0，则表达正确的是(D)A.f(a)+f(b)<-［f(a)+f(b)］B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)>-［f(a)+f(b)］D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)提示：a+b<0可转化为a<-b和b<-a在利用函数单调性可得.'(4)如下图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象，该函数的单调增区间为「—2,1]和「3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间•注意区间不能合并.⑸函数y=\；'x2+2x―3的单调减区间是(-8,-3]提示:结合二次函数的图象，注意函数的定义域.例2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间(1)y=-x2+21xI+1(2)y—I—x2+2x+31-x2+2x+1(x>0)［一(x-1)2+2(x>0)-x2-2x+1(x<0)［-(x+1)2+2(x<0)如图所示，单调增区间为(-8,-1］和［0,1］，单调减区间为［-1,0］和［1,+8)(2)当一x2+2x+3>0,得一1<x<3，函数y—-x2+2x+3—-(x一1)2+4当一x2+2x+3<0,1得x<—1或x>3，函数y—x2—2x—3—(x—1)2—4［-(x-1)2+4(-1<x<3)(x-1)2-4(x<-1或x>3)如图所示，单调增区间为［-1,1和［3,+8如图所示，单调增区间为［-1,1和［3,+8］，单调减区间为(-8,-1］和［1,3］-*(1)•〒义，证明函数/W=-^+i<x'■'2-x3—1例3.根据函数单调性的定证明：设x1,x2GR且片贝yf(x)-f(x)—x3-x3—(x-x)(x2+xx+x2)1221212121

因为x<x2所以x2—x>0，且在x］与x2中至少有一个不为0，x3不妨设x丰0，那么x2+xx+x2—(x+t)2+x2>0，所以f(x)>f(x)22121124212)上是减函数.故f(x)在(-8,+8)上为减函数例4.设f(x)是定义在R上的函数，对m、neR恒有f(m+n)=f(m)-f(n),且当x>0时，0<f(x)<1。(1)求证：f(0)=1；(2)证明：xeR时恒有f(x)>0；(3)求证：f(x)在R上是减函数；(4)若f(x)-f(2-x)>1，求x的范围。解:(1)取m=0,n=£则f(2+0)=f(|)-f(0)，因为f(2)>0所以f(0)=1(2)设x<0则-x>0，由条件可知f(—x)>o又因为1=f(0)=f(x-x)=f(x)・f(-x)>0,所以f(x)>0xeR时，恒有f(x)>0(3)设x<x则12f(x)-f(x)=f(x)-f(x-x+x)=f(x)-f(x-x)f(x)1212111211=f(x)[1-f(x-x)]121因为x<x所以x一x>0所以f(x—x)<1即1一f(x—x)>012212121又因为f(x)>0，所以f(x)[1-f(x-x)]>01121所以f(x1)-f(x2)>0，即该函数在R上是减函数.⑷因为f(x)-f(2-x)>1，所以f(x)-f(2-x)=f(2x-x2)>f(0)所以2x一x2<0，所以x的范围为x>2或x<0【课内练习】1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(D).3A.y=-3x+2b.y=c.y=x2-4x+5D.y=3x2+8x-10x提示：根据函数的图象.2•函数y=J-x2-2x+3的增区间是(A).A.［-3,-1］B.［-1,1］C.(—0—3)D.［-1,+8)提示：注意函数的定义域.f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-8,4］上是减函数，则a的取值范围是(A).A.a<-3B.a>-3C.a<5D.a>3提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.若函数f(x)在区间［a,b］上具有单调性，且f(a)•f(b)<0,则方程f(x)=0在区间［a,b］上(D)A.至少有一个实数根B.至多有一个实数根C.没有实数根D.必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.函数y=-x2-6x+10的单调增区间是(—®—3］，单调减区间［—3,+8)___。提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6.若f(x)=2x2-mx+3当xe［一2,+8)时是增函数，当xe(一8,-2］时是减函数，则f(1)=13提示：由题可知二次函数的对称轴是x=-2可求出m的值.7.已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0,在定义域内下列函数为单调增函数为②③①y=①y=a+f(x)(为常数)；②y=a一f(x)(a为常数)；③1y=f(x)；®y=[f(x)]2-提示：借助复合函数的单调性.8.函数f(x)二ax+log(x+i)在［0,1］上的最大和最小值的和为a，则a=a提示：f(x)是［0,1］上的增函数或减函数，故f(0)+f(1)=a，可求得a=|9.设f(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1求：(1)f(1)；(2)当f(X)+f(x-8)<2时x的取值范围.解:(1)令x=y=1可得f(1)=0⑵又2=1+1=f(3)+f(3)=f(9)由f(x)+f(x-8)<2,可得f［x(x-8)］<f(9)因为f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，所以有x>0且x—8>0且x(x-8)<9，解得：8<x<910.求证:函数f(x)=x+-(a>0)在(賦,+8)上是增函数.x证明:设x>x>\：a贝y12aaaxx-af(x)一f(x)=(x+)—(x+)=(x—x)(1一)=(x—x)121x2x12xx12xx121212当x>x>Ja时x—x>0,xx>0,xx>a，所以f(x)—f(x)>012'12121212所以函数f(x)=x+(a>0)在(*a,+8)上是增函数.x课后作业-A组xx1•下列四个函数：①y=口;②y-x2+x；③y=—(x+1)2;④y=口+2，其中在(-8,0)上为减函数的是(A)。(A)①(B)④(C)①、④(D)①、②、④2•函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若xe(a,b),xe(c,d)，且x<x那么(d)1212A.f(x)<f(x)B.f(x)>f(x)C.f(x)二f(x)D.无法确定121212围为(B)A.m>03.已知函数f(x)是定义在(—2,2)上的减函数，若f(m-1)>f(2m-围为(B)A.m>0TOC\o"1-5"\h\z313B.0<m<2°-1<m<3D.—2<m<2已知f(x)=(x—2)2,xe［—1,3］，函数f(x+1)的单调递减区间为［-2,1］13函数y=x-—在［1，2］上的值域为［0,彳］ax6•判断函数f(x)=£(a工o)ax6•判断函数f(x)=£(a工o)在区间(一1,1)上的单调性。x2—1解：设—1<x<x<1,则12axax1———2—=a(xx+1)(x—x)f(x)—f(x)=—-——=I2+12x2—1x2—1(x2—1)(x2—1)'1212(xx+1)(x—x)•/x2—1<0,x2—1<0,xx+1>0,x—x>0,...I21>0,121221(x2—1)(x2—1)12・•.当a>0时，f(x)—f(x)>0,函数y=f(x)在(一1,1)上为减函数，12xx当a<0时，f(x)—f(x)<0,函数y=f(x)在(一1,1)上为增函数.127•作出函数f(x)=1x2—1I+x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.解:当x>1或x<一1时，y=x2+x—1=(x+2)2一4厶I当—1<x<1时，y=—x2+x+1=—(x_2)2+4由函数图象可以知道函数增区间为(—8,—1]，[2，1]函数减区间为[-i,|],[i,+^)&设f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，f⑵=1，且f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x―3)<2的x的取值范围.解：由题意可知：f(x)+f(x—3)二f(x2-3x)又2=2f⑵=f⑵+f⑵=f⑷，于是不等式f(x)+f(x一3)<2可化为f(x2—3x)<f⑷因为函数在(°，+8)上为增函数，所以不等式可转化为：7沁.，解得：3<x<4，所以x的取值范围是(3,4].x-3>0?课后作业-B组1.函数y=一x2+1xI的单调递减区间为(a)a.[-!。]和2,B.[-2,o]C.[-2，0]和£1]D.i。]和吟切2•单调增函数f(x)对任意x,yeR,满足f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k-3x)+f(3x—9x—2)<0恒成立，则k的取值范围是(B)A.(—222-1,2\运+1)B.(—8,2/2-1)C.(0,2丁2-1]D.[2*2-1,+8)13•函数y=的单调递增区间为(A)x2-2x—80A.(—8,—8)B.(—8,1)C.(1,+8)D.(—&+8)4•函数y=的递减区间是(一X,—1)、(一1,+*);函数y=；_的递TOC\o"1-5"\h\z1+x\1+x减区间是(一1,+1]兀25•已知函数f(x)在[0,n)上是递减函数，那么下列三个数f(lgl00),f(-),f(-K)，兀2从大到小的顺序是f()>f(IglOO)>f(-兀)23226.(1)证明：函数y二JX在［0,+8)上是增函数,并判断函数y二x+{X在［0,+8)上的单调性x-x求函数y=x+\:x在区间［1,4］x-x证明：(1)设0<xi<x2，则由已知y二芝X，有人―y2=Z]—JX2X-Xn因为+Jx>0x—x<0，所以午r<0，即y<y因为+Jx12jx+JX12一1V2所以函数y=rx在[0,+8)上是增函数.(2)f(x)二x,g(x)=px在[0,+8)上都是增函数,所以y=/(x)+g(x)，即y=x+\：x在[0,+8)上是增函数.(3)由(2)可以知道该函数在区间［1,4］上为增函数则由函数单调性可以知道,该函数的值域为［1,3］7•如果二次函数f(x)二x2-(a—1)x+5在区间(土，1)上是增函数，求f(2)的范围。解：二次函数f(x)在区间(2,1)上是增函数因为图象开口向上，故其对称轴x=乎与x=2重合或者位于x=2的左侧所以有乎＜2，所以a＜2所以f⑵＞—2x2+11=7，即f⑵＞7&若f(x)是定义在(0,+8)上的增函数，且对于x>