【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.6空间向量的坐标运算（第2课时）

第九章直线、平面、简单几何体1编辑ppt1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论；(2)当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM；题型4垂直中的探索题第二课时2编辑ppt(3)若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.解：(1)当a=2时，四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC.又因为PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC.故当a=2时，BD⊥平面PAC.3编辑ppt

(2)证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN,因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，所以∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得PM⊥DM.故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM.4编辑ppt

(3)设M是BC边上符合题设的点M，因为PA⊥底面ABCD，所以DM⊥AM,因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.5编辑ppt

点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.探究空间的垂直(或平行)的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索性题.此类题是垂直(或平行)问题中的逆向问题，可利用垂直(或平行)的性质逆推得出结论成立的一个条件.6编辑ppt

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA

⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠AB

C

=60°，PA=AB=BC，E是线段PC上的一点.(1)证明：CD⊥AE；(2)当E在PC什么位置时PD⊥平面ABE？7编辑ppt

解：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)当Ｅ为PC的中点时，有PD⊥平面ABE.证明如下：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.8编辑ppt

由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD

=C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD.又AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.9编辑ppt2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1上一点.已知平面A1EC⊥平面AA1C1C，求证：BE=B1E.证明：在平面A1EC内过点E作EG⊥A1C，垂足为G.因为平面A1EC⊥平面AA1C1C，所以EG⊥平面AA1C1C.题型5线面垂直性质的应用10编辑ppt

取AC的中点F，连结BF.因为AB=BC，

所以BF⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，

所以BF⊥平面AA1C1C.于是BF∥EG.连结FG.

因为BE∥平面AA1C1C，所以BE∥FG.又BE∥AA1，所以FG∥AA1.11编辑ppt因为F为AC的中点，所以G为A1C的中点，所以

，所以又BB1=AA1，所以

，即BE=B1E.

点评：线面垂直的判定与性质反映了“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”三者之间的相互转化，也是证空间有关垂直的转化方向.如由“面面垂直”可得出“线面垂直”，而证“面面垂直”可转化为证“线面垂直”.12编辑ppt在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，∠APC=90°，∠APB=∠BPC=60°，D为AC的中点.过PA、PC

的中点A′、C′作平面A′B′C′，使PD⊥平面A′B′C′，交

PB于B′点.求证：平面A′B′C′∥平面ABC.13编辑ppt

证明：因为PA=PC，D为AC的中点，所以PD⊥AC.①设PA=a.由题设△PAB和△BPC都是正三角形，△APC是等腰直角三角形，所以AB=BC=a，AC=a.连结BD，易得PD=BD=AC=a，14编辑ppt从而PD2+BD2=a2=PB2，所以PD⊥BD.②结合①②知，PD⊥平面ABC.由已知，PD⊥平面A′B′C′，所以平面A′B′C′∥平面ABC.15编辑ppt

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，

D为BC的中点，E为AD上任意一点，F为棱BB1上一点.若C1F⊥EF，求的值.题型线面垂直背景下的求值问题16编辑ppt

解：因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.又B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥BB1，于是AD⊥平面BB1C1C.所以DF是EF在平面BB1C1C内的射影.所以C1F⊥EFC1F⊥DF，即DF2+C1F2=C1D2.17编辑ppt

设BC=2a，BF=x.因为BB1BC=，所以BB1=3a，B1F=3a-x.在Rt△C1B1F中，C1F2=B1C2+B1F2=4a2+(3a-x)2.在Rt△DBF中，DF2=BD2+BF2=a2+x2.在Rt△C1CD中，C1D2=CC21+CD2=10a2.由a2+x2+［4a2+(3a-x)2］=10a2，得x2-3ax+2a2=0，解得x=a或x=2a.故BFBB1==或.18编辑ppt1.“由已知想性质，由求证想判定”是处理直线与平面平行、垂直关系的一般思想方法.即看到已知条件去想有关的性质定理，看到求证的结论去想有关的判定定理，这实质上就是把综合与分析的思路结合起来使用，使问题得以解决.2.三垂线定理及其逆定理是判定或证明两条直线互相垂直的重要理论依据，应用时要先找“平面”，再认定“斜线”和“射影”.19编辑ppt

3.利用线线垂直、线面垂直的有关性质，将垂直条件或结论转化为线面位置关系或数量关