线性代数第三章向量与向量空间课件

第三章向量与向量空间

第一节ｎ维向量一ｎ维向量三应用举例二向量的运算五向量空间四向量组与矩阵确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角θ小鸟身体的仰角ψ鸟翼的转角ψ所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组１、引入一、ｎ维向量（Vector）小鸟身体的质量ｍ鸟翼的振动频率ｔ还有…注意１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３、当没有明确说明时，都当作实的列向量.2、元素全为零的向量称为零向量（NullVector）.3、长度为１的向量称为单位向量（IdentityVector）.4、维数相同的列（行）向量称为向量同型.元素是复数的向量称为复向量（ComplexVector）.３、几种特殊向量1、元素是实数的向量称为实向量（RealVector）.5、对应分量相等的向量称为向量相等.４、向量与矩阵的关系其第ｊ个列向量记作ｍ个ｎ维行向量.按行分块按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.二、向量的运算1、加法规定2、数乘规定称为数ｋ与向量α的数量积.向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.称为α与β的和向量.称为α与β的差向量.4、乘法对于ｎ维行向量为一阶方阵，即一个数.为ｎ阶方阵；3、转置三、应用举例例１设ｎ维向量，矩阵，其中Ｅ为设ｎ阶单位阵，证明：证明：

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如四、向量组、矩阵、线性方程组向量组称为矩阵Ａ的列向量组.对于一个矩阵有ｎ个ｍ维列向量.记作：反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组构成一个矩阵.ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组也构成一个矩阵.矩阵与向量组之间一一对应．线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵(Ab)的列向量组之间一一对应．即或例３全体ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作.五、向量空间1、定义设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称向量组Ｖ为向量空间（VectorSpace）．解任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量；任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，例４判别下列集合是否为向量空间.解有所以是一个向量空间.解所以不是一个向量空间.例５判别下列集合是否为向量空间.解有所以是一个向量空间.解所以不是一个向量空间.向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系2、结构空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应课前复习１、定义ｎ个数组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.记作ｎ维向量写成一行称为行向量，一般记作ｎ维向量写成一列称为列向量，一般２、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.３、矩阵与向量的关系

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．５、向量组６、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.４、向量的运算向量的运算可采用矩阵的运算规律.①若α＝kβ，则称向量α与β成比例．②零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．④任一ｎ维向量都是单位向量组的一个线性组合．⑤向量β可由线性表示，即方程组事实上，有③向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．有解.定义Ⅲ设两向量组若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.定义Ⅳ设ｎ维向量组为零的数，使得则称向量组，如果存在不全线性相关（LinearDependent）.反之，若当且仅当，才有则称向量组线性无关（LinearIndependent）.即存在矩阵进一步来理解向量组的线性相关与线性无关考虑等式二、线性相关性的判断准则定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.推论ｎ个ｎ维向量线性相关.推论ｎ个ｎ维向量线性无关.向量组线性无关其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．定理向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示．定理证得证不妨设定理如果向量组线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.线性无关，而向量组证设∵Ａ线性无关，∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）∴α可由Ａ线性表示.下证唯一性：两式相减有∵Ａ线性无关，即表达式唯一.即有设定理设向量组若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关.定理设向量组若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.其中注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数变.1、设向量组线性相关，则

.2、设向量组线性无关，则必满足

.三、应用举例则（）A、必可由线性表示；B、必可由线性表示；C、必可由线性表示；D、必不可由线性表示.3、若向量组线性无关，线性相关，第三节向量组的秩一向量组的秩三向量组与矩阵秩的关系二判别准则四应用五向量空间的基与维数1、基本概念线性表示LE课前复习线性组合LC组合系数CC线性相关LD线性无关LID向量组LD其中至少有一个向量可由其余向量LE．定理向量组LID其中任何向量都不能由其余向量LE．定理定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.2、基本结论推论ｎ个ｎ维向量线性相关.推论ｎ个ｎ维向量线性无关.定理如果向量组线性相关，则β可由Ａ唯一线性表示.线性无关，而向量组定理设向量组若Ａ线性相关,则向量组Ｂ也线性相关；反之，若向量组Ｂ线性无关，则向量组Ａ也线性无关.定理设向量组若Ａ线性无关，则向量组Ｂ也线性无关；反之，若向量组Ｂ线性相关，则向量组Ａ也线性相关.其中一、向量组的秩１、极大线性无关组②线性相关.若满足：设A:是一个向量组，它的某一个部分组２、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩．记作：Ｒ(Ａ)或①线性无关；则称为Ａ的一个极大线性无关组.④一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同.①一个向量组的极大无关组不是唯一的.⑤一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身.③一个向量组的任意两个极大无关组都等价.⑦零向量组构成的向量组不存在极大无关组.⑧任何非零向量组必存在极大无关组.⑨任何ｎ维向量组如果线性无关，那么它就是中的极大无关组.⑩显然ｎ维向量组就是中的极大无关组.②向量组与它的任一极大无关组等价.⑥一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集.二、线性相关性的判断准则定理向量组Ａ线性相关Ｒ(Ａ)＜ｒ．向量组Ａ中向量的个数m＞向量的维数ｎ，则向量组Ａ线性相关.推论定理向量组Ａ可由Ｂ线性表示，则②

若ｒ＞ｓ，则Ａ线性相关.③

Ａ线性无关，则ｒ≤ｓ.④

Ｒ(Ａ)≤Ｒ(Ｂ).⑤

等价向量组必有同秩．（反之则不然）①存在矩阵定理向量组Ａ线性无关Ｒ(Ａ)=ｒ．证②：设即记又Ａ可由Ｂ线性表示，则仅考虑由于ｒ＞ｓ，所以Ｋ构成的列向量线性相关.故有非零解.亦即所以Ａ线性相关.证③：的极大无关组.因为Ａ可由Ｂ线性表示，则线性表示，定理向量组Ａ与Ｂ均线性无关,且Ａ与Ｂ等价,则再设分别为Ａ,Ｂ设推论设矩阵Ｃ和Ａ用其列向量表示为证明：而线性无关，则易知矩阵Ｃ的列向量组能由Ａ的列向量组线性表示，设向量组Ｂ是向量组Ａ的部分组，若向量组Ｂ线性推论无关，且向量组Ａ能由向量组Ｂ线性表示，则向量组Ｂ是向量组Ａ的一个极大无关组.设向量组Ｂ含ｒ个向量，则它的秩为ｒ，证明：因向量组Ａ能由向量组Ｂ线性表示，故Ａ组的秩≤ｒ，从而Ａ组中任意ｒ+１个向量线性相关，所以向量组Ｂ满足定义中极大无关组的条件.所以向量组Ｂ是向量组Ａ的一个极大无关组.三、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义矩阵Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为：Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为：定理结论①，则所在行（列）向量组线性无关.②，则Ａ的任r行（列）向量组线性相关.③，且含有的，则.定理有相同的线性关系.相同的线性关系是指：已知ｎ维列向量组若对Ａ施行初等行变换把Ａ化为则向量组①线性表示，且表达式的系数对应相同.②线性表示，对应的③极大无关组相对应.证明设Ａ的某些列有关系则相应的具有相同的线性关系.即Ｂ中列向量组与Ａ中列向量组四、应用举例1、向量组线性无关，证明：线性无关.证明也可以从齐次线性方程组的系数行列式不等于零,方程组只有零解推出(此方法更具一般性)2、向量组线性无关，证明：线性无关.中线性相关的是（）A、,,3、已知向量组线性无关，则下列向量组B、,,C、,,D、,,四、应用举例证明例４设所以线性无关试讨论及秩及线性相关性.线性相关例５已知设证明线性无关.解且ERT证明ⅡⅢ求矩阵Ａ的列向量组的秩及一个极大线性无关组，例６

设矩阵并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.所以Ａ的列向量组的秩为３.故极大线性无关组所含向量的个数为３个.解显然极大线性无关组为所以可得例７设①当ｔ为何值时，线性无关②当ｔ为何值时，线性相关③当线性相关时，将用线性表示.五、向量空间的基与维数定义②线性相关.若满足：设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，记作：dimＶ.①线性无关；则称为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数.且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.第三章小结与练习一、ｎ维向量１、定义ｎ个数组成的有序数组称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.记作ｎ维向量写成一行称为行向量，记作ｎ维向量写成一列称为列向量，２、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.３、矩阵与向量的关系

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．５、向量组６、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.４、向量的运算向量的运算与采用矩阵的运算规律.二、向量的线性相关性1、基本概念定义Ⅰ给定向量组，对于任何一组数，称向量为向量组的一个线性组合（LinearCombination）.为组合的组合系数（CombinationCoefficient）.定义Ⅱ设向量组及向量β有关系则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ线性表示（LinearExpression）.称为β在该线性组合下的组合系数.定义Ⅲ设两向量组若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.定义Ⅳ设ｎ维向量组为零的数，使得则称向量组，如果存在不全线性相关（LinearDependent）.反之，若当且仅当，才有则称向量组线性无关（LinearIndependent）.即存在矩阵三、向量组的秩１、极大线性无关组②线性相关.若满足：设是一个向量组，它的某一个部分组２、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩．记作：Ｒ(Ａ)或①线性无关；则称为Ａ的一个极大线性无关组.３、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义矩阵Ａ的列向量组的秩称为列秩，记为：Ａ的行向量组的秩称为行秩，记为：定理结论①，则所在行（列）向量组线性无关.②，则Ａ的任ｒ行（列）向量组线性相关.③，且含有的，则.定理有相同的线性关系.相同的线性关系是指：已知ｎ维列向量组若对Ａ施行初等行变换把Ａ化为则向量组①线性表示，且表达式的系数对应相同.②线性表示，对应的③极大无关组相对应.四、向量空间定义②线性相关.若满足：设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量所的线性组合，记作：dimＶ.①线性无关；则称为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数.且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.设为ｎ维向量组，下面命题等价①线性无关.②满足的数当且仅当全为零.③④都不可由其余向量线性表示.⑤⑥向量组的极大线性无关组是其本身.⑦设则矩