【三维设计】高考数学 第一节绝对值不等式 新人教A选修45

选修4-5不等式选讲第一节绝对值不等式明考向提能力编辑ppt

[备考方向要明了]考

什

么1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用

绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2.掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，

|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法.编辑ppt怎

么

考从高考内容上看，绝对值不等式的解法及简单应用是命题的热点，题型多为解答题，难度中低档，着重考查数形结合思想及分类讨论思想的应用.编辑ppt编辑ppt[精析考题][例1]

(2011·陕西高考改编)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．[自主解答]

由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．编辑ppt若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.编辑ppt[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·宝鸡统考)不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．编辑ppt解析：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.答案：(－∞，2)编辑ppt2．(2011·西安模拟)某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．编辑ppt解析：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)

＋2|x－3|]≥编辑ppt|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．答案：(3,3)编辑ppt[冲关锦囊]1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号

成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最

值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用

于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值

问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.编辑ppt[精析考题][例2]

(2011·新课标全国卷)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．编辑ppt[自主解答]

(1)当a＝1时f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组编辑ppt编辑ppt[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)编辑ppt编辑ppt4．(2012·南京模拟)如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解

集是全体实数，求实数a的取值范围．解：在数轴上，结合绝对值的几何意义可知|x－a|＋|x＋4|≥|x＋4－x＋a|＝|4＋a|≥1，a≤－5或a≥－3.编辑ppt[冲关锦囊]1．形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集.编辑ppt编辑ppt编辑ppt[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)编辑ppt编辑ppt②若|a|＝|b|，则a2＝b2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．编辑ppt6．设f(x)＝x2－x＋43，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋43－a2＋a－43|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|.∵|x－a|＜1，∴|x|－|a|≤|x－a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)．编辑ppt[冲关锦囊]含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不等式，往往可