知识讲解 带电体在电场中的运动

物理总复习：带电体在电场中的运动【考纲要求】1、 知道带电体在电场中的运动特点；2、 会综合力学知识分析带电体在电场中的运动问题；3、 会用能量的观点处理带电体在电场中的运动问题。【考点梳理】考点、带电体在电场中的运动要点诠释：1、 在复合场中的研究方法（1） 牛顿运动的定律+运动学公式（2） 能量方法：能量守恒定律和功能关系动量方法：动量守恒定律和动量定理2、 电场中的功能关系：（1） 只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。（2） 只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。（3） 除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。（4） 电场力做功的计算方法由公式W=Flcos9计算，此公式只在匀强电场中使用，即W=qElcos9。用公式W^b=qUab计算，此公式适用于任何形式的静电场。静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。由动能定理计算电场力做的功。【典型例题】类型一、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒（1） 带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即EpG+Ep电+Ek=恒定值（2） 带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。例1、（2014全国卷）地球表面附近某区域存在大小为150N/C、方向竖直向下的电场.一质量为1.00X10-4kg、带电荷量为一1.00X10-7C的小球从静止释放，在电场区域内下落10.0m.对此过程，该小球的电势能和动能的改变量分别为（重力加速度大小取9.80m/s2，忽略空气阻力）（）-1.50X10-4J和9.95X10-3J1.50X10-4J和9.95X10-3J-1.50X10-4J和9.65X10-3J1.50X10-4J和9.65X10-3J【答案】D【解析】本题考查功与能.设小球下落的高度为。，则电场力做的功W]=—qEh=—1.5x10-4J，电场力做负功，电势能增加，所以电势能增加1.5x10-4J；重力做的功W2=mgh=9.8x10-3J，合力做的功W=W]+W2=9.65x10-3J，根据动能定理可知AEk=W=9.65x10-3J，因此D项正确.举一反三【变式1】如图所示，。、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等，一个带正电的粒子在A点时的动能为10J，在电场力作用下从A运动到B速度为零，当这个粒子的动能为7.5J时，其电势能为（）A.12.5JB.2.5JC.0 D,—2.5J【答案】D【解析】根据动能定理可知，带电粒子从A到B，电场力做功为一10J，则带电粒子从A运动到等势面b时，电场力做功一5J，粒子在等势面b时动能为5J，带电粒子在电场中的电势能和动能之和为5J，当动能为7.5J时，其电势能为一2.5J。【变式2】图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4,相邻的等势面间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26eV和5eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为一8eV时，它的动能应为（）A.8eVB.13eVC.20eV D.34eV【答案】C【解析】相邻等势面的电势差相等，电荷在穿过相邻的等势面间时电场力做功相等，动能减少721eV，电势能增加721eV，即每个等势面间的电势能相差7eV。等势面3的电势为0，点势能为零，动能为12eV，即总能量等于12eV。当电势能变为一8eV时，根据能量的转化和守恒定律，其动能为E^=E—Ep=12eV-（—8eV）=20eV，故选C。这一点在什么地方呢5（在等势面2的左边一点）。例2、如图所示，在匀强电场中将一带电荷量为+q、质量为m的小球以初速度v0竖直向上抛出，在带电小球由抛出到上升至最大高度的过程中，下列判断正确的是（）A.小球的机械能守恒 B.小球的电势能增加C.所用的时间为生 D.到达最高点时，速度为零，加速度大于gg【思路点拨】运动分析：小球在竖直方向做匀减速运动，在水平方向做匀加速运动。【答案】C【解析】在带电小球由抛出到上升至最大高度的过程中，电场力方向向右，电场力做正功，动能增大，电势能减小，AB均错；小球竖直方向只受重力，加速度为重力加速度，到最大v高度的时间t=f，C对；到达最高点时，具有水平方向的速度，速度不为零，加速度等于重力加速度与电场力引起的加速度的矢量和，大于重力加速度，D错。故选C。【总结升华】本题在电场和重力场的复合场中重点考察带电小球的功能关系转化，在学习过程中要明确各种功能关系是解这类问题的关键。举一反三【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在其上端，一个质量为m，带电量为+q的小球由静止下滑，则（）小球运动过程中机械能守恒小球经过最低点时速度最大小球在最低点受到的压力mg+qE小球在最低点受到的压力为3（mg+qE）【答案】BD【解析】小球在重力场和静电场构成的复合场中运动时，重力势能、动能和电势能之和守恒，小球由静止下滑的过程中，电场力做功，电势能发生变化，因此球的机械能不守恒，选晦错误；带正电的小球在最低点处电势能和重力势能都最小，由能量守恒知，其动能必定最大，速度最大，选项B正确；对小球运用动能定理mgR+qER=1mv2；… 一 v2在最低点运用牛顿第二定律N-mg-qE=m—R解得小球在最低点受到的压力是N=3（mg+qE）类型二、等效“重力场”问题例3、如图所示，光滑绝缘半球槽的半径为R，处在水平向右的匀强电场中，一质量为m的带电小球从槽的右端A处无初速沿轨道滑下，滑到最低位置B时，球对轨道的压力为2mg。求：（1）小球受到电场力的大小和方向；（2）带电小球在滑动过程中的最大速度。

BB【思路点拨】已知球对轨道的压力，即可根据牛顿第二定律结合圆周运动的特点，求出速度，求出电场力。求最大速度，最大速度的点加速度为零，合力为零，找出最大速度的地方应用动能定理求解。【答案】（1）1mg，方向水平向右；⑵、；Rg（J5-1）【解析】（1）设小球运动到最低位置B时速度为V，V2 八此时N-mg=m，求得v2=gRR设电场力大小为F由题意，小球从A处沿槽滑到最低位置B的过程中，设电场力方向向右，根据动能定理mgR-fr=—mv2……1 ，…一—、…一一联立解得F=-mg，电场力为正，所以方向水平向右（2）小球在滑动过程中最大速度的条件：是小球沿轨道运动到某位置时切向合力为零，设此时小球和圆心间的连线与竖直方向的夹角为，如图所示mgsin0=Fcos01 c2mgsin0=Fcos0可得sin0=—5，cos0=—5应用动能定理mv2-0应用动能定理mv2-0mgRcos0一―mgR（1-sin0）=2 2解得v=<Rg（扬-1）。m【总结升华】求速度最大的点，可以设一个角度，求B点切线方向合力为零，就可求出角度，这点速度最大。这点不是最低点，所以叫“等效最低点”。举一反三【变式】如图所示，在竖直平面内，有一半径为R的绝缘的光滑圆环，圆环处于场强大小为E，方向水平向右的匀强电场中，圆环上的A、C两点处于同一水平面上，B、D分别为圆环的最高点和最低点.M为圆环上的一点，匕MOA=45°.环上穿着一个质量为m，带电量为+q的小球，它正在圆环上做圆周运动，已知电场力大小qE等于重力的大小mg，且小球经过M点时球与环之间的相互作用力为零.求：（1）带电小球在圆环上做圆周运动的最小速度；（2） 小球经过A点时的动能；（3） 小球在圆环上做圆周运动的最大速度及位置。【答案】⑴⑵eka=(十一项如，(3)连接MO并延长至与圆环的交点P,v =q52gRmax【解析】(1)小球经过M点时球与环之间的相互作用力为零，M是等效“最高点”，此时小球的速度最小，重力与电场力的合力提供向心力，已知qE=mg，ZMOA=45°,F^mg，根据牛顿第二定律「合5=咤所以m点的动能Ew=WmgR最小速度为y=fgR-(等效“重力加速度”为g，=、&，则y=\诙=0)(2)当小球从M点运动到A点的过程中，电场力和重力做功分别为W=-mgR(1-cos45o)=-mgR(1-EW=mgRsin45。=—^mgR根据动能定理 号mgR-mgR(1-项=Eka-Ekm所以所以A点的动能气速度最大点在等效“最低点”，连接MO并延长至与圆环的交点P就是等效“最低点”，如图所示。从M到P点(前面已求出的A、B、C、D的动能都能用，但要保证正确，从B到P最简单)根据动能定理mg2Rsin45°+F2Rcos45°=E-E解得最大动能为ekp解得最大动能为ekp二辛mgR，最大速度V=\：'5侦'2gR.max类型三、电场中的功能关系【高清课堂：带电体在电场中的运动2例4】例4、一个质量为m的带电量为一q的物体，可以在水平轨道Ox上运动，轨道O端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E,方向沿Ox轴正方向。当物体m以初速度V。从x°点沿x轴正方向运动时受到轨道大小不变的摩擦力f的作用，且fVEq，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求：(1)(2)1.(1)(2)1.物体m停止运动前，它所通过的总路程为多少？%【思路点拨】对小物体进行运动过程分析，根据静电场场力做功与路径无关求出小物体所通过的总路程。【答案】mv【答案】mv2+2qEx【解析】运动过程分析：小物体受到的电场力F=Eq，大小不变，方向指向墙壁；摩擦力的方向总是与小物体运动的方向相反。不管开始时小物体是沿x轴的正方向还是负方向运动，因为fVEq，经多次碰撞后，如果小球处在Ox轴的某点，总会向O点加速运动的，1所以小物体最终会静止在O点。在这一过程中，摩擦力所做负功使物体的机械能；mv2和2o电势能qEx变为零。据此可求得总路程x。0⑴滑块俱到。点电场力做功为% W电=qEx。(2)滑块运动过程中摩擦力总与其运动方向相反，对m做负功，而电场力在滑块停在O点时做功仅为qEx。设滑块通过的总路程为x，则根据动能定理得:oqEx-fx=0-—mv20 2 0

mv2+2qExx= 02f―"【总结升华】静电场场力做功与路径无关，解题时要灵活准确地应用动能定理。举一反三【变式】(2014扬州中学)如图所示，绝缘水平面上的48区域宽度为也带正电、电荷量为+q的小滑块以大小为v0的初速度从4点进入48区域，当滑块运动至区域的中点。时，速度大小为侦号v0，从此刻起前区域内加上一个水平向左的匀强电场，电场强度成持不变，并且48变，并且48区域外始终不存在电场。求滑块受到的滑动摩擦力大小.若加电场后小滑块受到的电场力与滑动摩擦力大小相等，求滑块离开48区域时的速度.要使小滑块在48区域内运动的时间达到最长，电场强度E应满足什么条件?并求这种情况下滑块离开AB区域时的速度.mv2【答案】mv2【答案】(1) 04d1 mv2(2)2v0，方向水平向右⑶商亨v0，方向水平向解析：(1)设滑块所受滑动摩擦力大小为f，则滑块从4点运动至C点过程中，由动能定理厂 mv2解得f=广.4d则滑块从C点运动至8点过程中，由动能定理得(2)假设最后滑块从则滑块从C点运动至8点过程中，由动能定理得(qE+F)-§=2m(v2-v2)<3将UTv0和徂寸代入，解得v81 、_由于滑块运动至g点时还有动能，因此滑块从8点离^AB区域，速度大小为^七，万向水平向右.(3)要使小滑块在48区域内运动的时间达到最长，必须使滑块运动至8点停下，然后再向左加速运动，最后从4点离开AB区域.滑块从C点运动至8点过程中，由动能定理得-mv2解得电场强度欧滑块运动至8点后，因为qE^^W，所以滑块向左加速运动，从B运动至人点过程中，由动能定理得1—mv22A由以上各式解得滑块离开AB区域时的速度为v0(方向水平向左).【高清课堂：带电体在电场中的运动2例6】例5、真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°(取sin37°=0.6,cos37°=0.8)。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中小球受到的电场力的大小和方向；小球从抛出点至最高点的电势能变化量；小球的最小动量的大小和方向。【思路点拨】作出受力图，根据小球做直线运动的特点求出电场力；根据动能定理求出电场力做的功，再判断电势能变化量。一3 9【答案】(1)F=-mg，方向水平向右；(2)电势能减少了gmv2；(3)最小动量的4 3203大小为Pmin=5mv0，与水平方向成37度夹角。

【解析】（1）根据题意作图如图，电场力F=mgtan37o=3mg4电场力方向与场强方向相同，水平向右。（2）要求电势能的变化量，根据功能关系，就是求电场力做了多少功。做正功，电势能减少；做负功，电势能增加。以初速度％竖直向上抛出，由七=%-gt，上升时间qE3水平方向受电场力，水平方向的加速度a= =丁gxm4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3v水平方向的位移x=；at2=lx8g3v2 9 一电场力做功W=qEx=-mgx—0=—■mv28g32o根据功能关系，电场力做正功，电势能减少，故电势能减少了二mv2。32o（3）求小球的最小动量，显然就是求最小速度，设t时刻小球的速度为v，竖直方向：v=v0一gt3水平方向：vx=at=4gt小球的速度v2=v2+v2=—g2t2-2vgt+v2

xy16 - -【总结升华】求电势能的变化量，根据功能关系，就是求电场力做了多少功。做正功，电势能减少；做负功，电势能增加。此外，求最小速度也是本题的一个难点，一是明确最小速度的条件，二是根据一元二次方程求最大值、最小值的方法求解。25 - ,25 - ,、八—g2t2-2vgt+(v2-v2)=016 0 -16vt= 0时，有最小速度v25g min求得最小速度的大小为vmin3=冒mv求得最小速度的大小为vmin3=冒mv。最小动量的方向：当速度方向与合力方向垂直时，速度最小，采用分解速度的方法，最小动所以最小动量的大小为pmin=mvmin举一反三【变式1】质量为m、带电量为+q的小球从距地面高为h处以一定的初速度水平抛出.在距抛出点水平距离为l处，有一根管口比小球直径略大的上下都开口的竖直细管，管的上口距地面1h.为使小球能无碰撞地从管子中通过，可在管子上方的整个区域里加一个电场强度方向水平向左的匀强电场，如图所示.求：小球的初