不等式恒成立能成立恰成立问题解析总结计划

不等式恒建立、能建立、恰建立问题分析总结方案不等式恒建立、能建立、恰建立问题分析总结方案不等式恒建立、能建立、恰建立问题分析总结方案不等式恒建立、能建立、恰建立问题分析一、不等式恒建立问题问题引入：不等式x22ax10对x[1,2]恒建立，此中a0，务实数a的取值范围。分析：思路〔1〕经过化归最值，直接求函数f(x)x22ax1的最小值解决，即fmin(x)0。思路〔2〕经过分别变量，转变到ax211(x1)解决，即a(x21)min。2x2x2x思路〔3〕经过数形联合，化归到x212ax作图解决，即yx21图像在y2ax的上方。小结：不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：〔1〕假定不等式界大于A；〔2〕假定不等式

Afx在区间D上恒建立,那么等价于在区间D上AfxBfx在区间D上恒建立,那么等价于在区间D上Bfx

minmax

x的下x的上界小于B。例fxx22xa对随意x1,,fx0恒建立，试务实数a的取值范围。x解：等价于xx22xa0对随意x1,恒建立,又等价于x1时,xmin0建立.因为t=mg(t)xx12a1在1,上为增函数,那么minx1a3,因此a30a3to·图2、分别参数法1〔1〕将参数与变量分别，即化为gfx〔或gfx〕恒建立的形式；〔2〕求fx在xD上的最大〔或最小〕值；〔3〕解不等式gfxmax(或gfxmin)，得的取值范围。例函数f(x)ax4xx2,x(0,4]时f(x)0恒建立，务实数a的取值范围。解：将问题转变成a4xx2对x(0,4]恒建立。x令由

g(x)4xx2，那么ag(x)minxg(x)4xx241可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)ming(4)0xxa0即a的取值范围为(,0)。注：分别参数后，方向明确，思路清楚能使问题顺利获得解决。例二次函数f(x)ax2x，假定x0,1时，恒有f(x)1，求a的取值范围。解：f(x)1，1ax2x1，即1xax21x〔1〕当x0时，不等式1a01明显建立，aR〔2〕当0x1时，由1xax21x得11a1111(11)210，(11)minx2xx2x0，a0．x2xx24x2x又1111212，(112，a2．2a0x2x()4x2)maxx2x综上得，a的取值范围为2a0。3、数形联合法〔1〕假定不等式fxgx在区间D上恒建立，那么等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；〔2〕假定不等式fxgx在区间D上恒建立，那么等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方。例设f(x)x24x,g(x)4x1a,假定恒有f(x)g(x)建立,务实数a的取值范围.3分析：在同向来角坐标系中作出f(x)及g(x)的图象y以以下列图，f(x)的图象是半圆(x2)2y24(y0)g(x)的图象是平行的直线系4x3y33a0。-2要使f(x)g(x)恒建立，-4x那么圆心(2,0)到直线4x3y33a0的距离-4O知足d833a52解得a5或a5〔舍去)3例当x(0,1)时，不等式x2logax恒建立，求a的取值范围．2分析：注意到函数f(x)x2，g(x)logax都是我们熟习的函数，运用数形联合思想，可知要使对全部x(0,1)，f(x)g(x)恒建立，只需在(0,1)内，g(x)logax的图象在22f(x)x2图象的上方即可．明显0a1，再运用函数思想将不等式转变成函数的最值问题，即f(1)g(1)．221解：设f(x)x2，g(x)logax，那么要使对全部x(0,)，f(x)g(x)恒建立，由图象可a1，而且f(1)g(1)，故有loga11，2知02224a1，又0a11a11616讨论：经过上述的等价转变，使恒建立的解决获得了简化，此中也包括着函数思想和数形联合思想的综合运用。其余，从图象上直观获得

0

a1后还需察看区间

(0,

1)右端点

x

1处的函数值的大小。2

24、变换主元法例对于知足0p4的一确实数，不等式x2px4xp3恒建立，试求x的取值范围。分析：习惯上把x看作自变量，记函数yx2(p4)x3p，于是问题转变成：当0,4时，y0恒建立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的。解：设函数

f(

p)

(x

1)p

(x2

4x

3)，明显

x

1，那么

f(p)

是

p的一次函数，要使

f(p)

0恒建立，当且仅当

f(0)

0，且

f(4)

0时，解得

x的取值范围是

(

,1)

(3,

)。讨论：本题看上去是一个不等式问题，可是经过等价转变，把它化归为对于p的一次函数，利用一次函数的单一性求解，解题的重点是变换变量角色。例对随意a[1,1]，不等式x2(a4)x42a0恒建立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是对于x的一元二次不等式，但假定把a看作主元，那么问题可转变为一次不等式(x2)ax24x40在a[1,1]上恒建立的问题。解：令f(a)(x2)ax24x4，那么原问题转变成f(a)0恒建立〔a[1,1]〕。当x2时，可得f(a)0，不合题意。当x2时，应有f(1)0解之得x1或x3。f(1)0故x的取值范围为(,1)(3,)。注：一般地，一次函数f(x)kxb(k0)在[,]上恒有f(x)0的充要条件为f( )0。f( )0例设函数h(x)axb，对随意a[1,2]，都有h(x)10在x[1,1]恒建立，务实数bx24的取值范围。分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再办理另一个参数。以本题为例，实质仍是经过函数求最值解决。方法1：化归最值，h(x)10hmax(x)10；方法2：变量分别，b10(ax)或ax2(10b)x；x方法3：更正主元，(a)1axb100，a[1,2]x21简解：对于方法3：更正主元，原函数可以看作是对于a的函数(a)axb100，x只需(a)max0即可，因为10，因此当a2时(a)有最大值(a)max2xb100在x[1,1]恒建立，只需(2x1时，(2x1xb10)max0。当xxb10)max8b100，4x4x4得b的取值范围是b7。4练习题1、设fxx22ax2,当x[-1,+]时，都有fxa恒建立，求a的取值范围。解：a的取值范围为[-3，1]2、R上的函数fx既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2fcos22msinf2m20恒建立，务实数m的取值范围。解：由fcos22msinf2m20获得：fcos22msinf2m2因为fx为奇函数，故有fcos22msinf2m2恒建立，g(t)又因为fx为R减函数，进而有cos22msin2m2对t=m0,2恒建立。设sint，那么t22mt2m10对于t0,1o·t恒建立，1图设函数gtt22mt2m1,对称轴为tm.①当tm0时，g02m10，g(t)t=m即m1，又m0∴1m0(如图1)22②当tm0,1，即0m1时,4m24m2m10,即m22m10,·to∴12m12,又m0,1,∴0m1(如图2)1图③当tm1时，g112m2m120恒建立.∴m1〔如图3〕故由①②③可知：m1.213、假定不等式ax10对x1,2恒建立，实数a的取值范围是。a24、假定对于随意a1，不等式x2a4x42a0恒建立，务实数x的取值范围解：x,1U3,5、当x1,2时，不等式x2mx40恒建立，那么m的取值范围__________分析：当x(1,2)时，由x2mx40得mx24.∴m5.x6、假定对随意xR,不等式|x|ax恒建立，那么实数a的取值范围是________xR,不等式|x|ax恒建立y|x|分析：对y|x|y那么由一次函数性质及图像知1a1，即1a1。yaxyaxx二、不等式能建立问题O假定在区间D上存在实数x使不等式fxA建立，那么等价于在区间D上fxmaxA；假定在区间D上存在实数x使不等式fxB建立，那么等价于在区间D上的fxminB例不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，务实数a的取值范围______解：a1例假定对于x的不等式x2axa3的解集不是空集，那么实数a的取值范围是__________解：设fxx2axa.那么对于x的不等式x2axa3的解集不是空集fx3在R上能建立fminx3,即fminx4aa23解得a6或a24三、不等式恰巧建立问题例不等式ax2bx10的解集为x|1x1那么ab__________：63例，fxx22xa当x1,,fx的值域是0,，试务实数a的值。x解：是一个恰建立问题,这相当于fxx22xa0的解集是x1,.x当a0时，因为x1时，fxx22xaxa3，与其值域是0,矛盾，x2x当a0时，fx22xaxa2是1,上的增函数，xxx因此fx的最小值为f1，令f13a0a3不等式恒建立、能建立、恰建立问题专项练习1、假定不等式m1x2m1x3m10对随意实数x恒建立，务实数取值范围m解：,13112、不等式kx2kx62对随意的xR恒建立，务实数k的取值范围x2x2解：2,103、函数f(x)x2ax3a，〔1〕在R上f(x)0恒建立，求a的取值范围。〔2〕假定x2,2时，f(x)0恒建立，求a的取值范围。〔3〕假定x2,2时，f(x)2恒建立，求a的取值范围。分析：〔1〕yf(x)的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。略解：a243aa24a1206a2a2〔2〕f(x)xa22,2上的最小值为g(a)。2a3，令f(x)在4①当②当

a2，即a4时，g(a)f(2)73a0a7又Qa4a不存在。232a2，即4a4时，g(a)f(a)a2a306a2又Q4a42244a2③当a2，即a4时，g(a)f(2)7a0a7又Qa47a42总上所述，7a2。〔3〕解法一：分析：题目中要证明f(x)a在2,2上恒建立，假定把a移到等号的左侧，那么把原题转变成左侧二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题。略解：f(x)x2ax3a20，即f(x)x2ax1a0在2,2上建立。⑴a241a0222a222a24(1a)0f(2)0⑵f(2)05a222aa2—222或22综上所述，5a222。解法二：〔利用根的散布状况知识〕⑴当a2，即a4时，g(a)f(2)73a2a54,a不存在。23⑵当2a2，即4a4时，g(a)f(a)a2a32，224－222a2224a222⑶当a2，即a4时，g(a)f(2)7a2，a55a42综上所述5a222。说明：本题也可以利用参数分别法。4、对于知足p2的全部实数p,求使不等式x2px1p2x恒建立的x的取值范围。解：不等式即x1px22x10,设fpx1px22x1，那么fp在[-2,2]上恒大于0，故有：f20x24x30x3或x1x1或x3f20x210x1或x15、不等式x22xa0对随意实数x2,3恒建立，务实数a的取值范围。答案：a06、对随意的a2,2，函数fxx2a4x42a的值老是正数，求x的范围解：,0U4,7、假定不等式x2logmx0在0,1内恒建立，那么实数m的取值范围。2答案：1,1168、不等式axx4x在x0,3内恒建立，务实数a的取值范围。解：画出两个凼数上的图象如图知当

yax和yyyaxx4x在x0,3x3时y33，a3当a3，x0,3时总有axx4x因此a333

03x。9、不等式kx2k20有解，求k的取值范围。解：不等式kx2k20有解kx212有解k2有解k22，因此x21x21maxk,2。10、①对一确实数x，不等式x3x2a恒建立，务实数a的范围。②假定不等式x3x2a有解，务实数a的范围。③假定方程x3x2a有解，务实数a的范围。解：①a5②a5③a5,511、假定对随意的实数x，sin2x2kcosx2k20恒建立，求k的取值范围。分析：这是相关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。解法一：原不等式化为cos2x2kcosx2k10令tcosx，那么t1，即f(t)t22kt2k1tk222k1在t1,1上恒大于0。k〔1〕假定k1，要使f(t)0，即f(1)0，k1k不存在2〔2〕假定1k1，假定使f(t)0，即f(k)k22k1012k1212k1〔3〕假定k1，要使f(t)0，即f(1)0，k1由〔1〕、〔2〕、〔3〕可知，k12。解法二：f(t)t22kt2k10，在1,1上恒建立。⑴k22k1012k12k22k10⑵f(1)0k12f(1)0k或k11由⑴，⑵可知，k12。12、〔1〕假定对于x的不等式x2axa0的解集为(,)，务实数a的取值范围；〔2〕假定对于x的不等式x2axa3的解集不是空集，务实数a的取值范围。解：〔〕1设fxx2axa.那么对于x的不等式x2axa0的解集为(,)fx0在,上恒建立fminx0，即fminx4aa20,解得4a04〔2〕设fxx2axa.那么对于x的不等式x2axa3的解集不是空集fx3在,上能建立fminx3，即fminx4aa23,解得a6或a2.413、aR，二次函数f(x)ax22x2a.假定f(x)0的解集A，x|1x3,AIB，求数a的取范。分析：此等价于二次不等式ax22x2a0在x1,3上有解〔能建立〕。解：(1)当a0,因fx的象的称10，x1,3，f1最大，afmaxxf1a22a0.a2.(2)当a0,fmaxx,x1,3在f1或f3，由f12a0,f37a6,f37a606a7于是，数a的取范是,2U6,7个解法的关是用函数思想指，学会用函数和量来思虑。14、定在区[0,2]上的两个函数f(x)和g(x)，此中f(x)x22ax4〔a≥1〕，g(x)x2．x1〔1〕求函数yf(x)的最小m(a)；〔2〕假定随意x1、x2[0,2]，f(x2)g(x1)恒建立，求a的取范．解：〔1〕由f(x)x22ax4(xa)24a2，得m(a)4a21≤a2,⋯6分84aa≥2.〔2〕g(x)(x1)12，当x[0,2]，x1[1,3]，x1又g(x)在区[0,2]上增〔明略〕，故g(x)0,4．⋯9分31≤a2,a≥2,⋯12分由，得f(x2)ming(x1)max，故4a24或84a43,3解得1≤a26所求的范．⋯14分315、函数的定域R，随意数x1、x2，都足f(x1x2)f(x1)f(x2)，当x0f(x)01〕判断函数f(x)的奇偶性，性；〔2〕当0时，f(cos23)f(4m2mcos)0恒建立，务实数m的取值范围。216、函数f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，假定a,b1,1，ab0，有f(a)f(b)0，b1〕证明f(x)在1,1上的单一性；〔2〕假定f(x)m22am1对全部a1,1恒建立，求m的取值范围。分析：第一问是利用定义来证明函数的单一性，第二问中出现了3个字母，最后求的是m的范围，因此依据上式将m看作变量，a作为常量，而x那么依据函数的单一性求出f(x)的最大值即可。〔1〕简证：任取x1,x21,1且x1x2，那么x21,1f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)0又Qf(x)是奇函数x1x20x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在1,1上单一递加。〔2〕解：Qf(x)m22am1对全部x1,1，a1,1恒建立，即m22am1fmax，Qfmaxf(1)1m22am11m22am0g(1)12a0a1即g(a)2amm220在1,1上恒建立。g(1)12a0a12a1。22高考真题全接触：〔2021年，理11〕当0x1时，不等式sinxkx建立，那么实数k的取值范围是2__________，1k〔2006理，12〕三个同学对问题“对于x的不等式x225x35x2ax在1,12上恒成立，务实数a的取值范围〞提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左侧的最小值不小于右侧的最大值〞乙说：“把不等式变形为左侧含变量x的