版第2章6节对数函数

[转化成自然对数或常概念及其单调性，掌握对数函数图象通过函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对如果ax＝N(a＞0

且a≠1)，那么x

叫做其中a

叫做对数的底数，N

叫做真数．x＝logaN2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝

N

；②logaab＝b(a＞0，且

a≠1)．a(2)换底公式：log

blogcb＝logca(a，c

均大于0

且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝

logaM＋logaN；a

N②log

M＝，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．logaM－logaN3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0

且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：

(0，＋∞)

值域：

R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为

增函数

在(0，＋∞)上为

减函数

4.反函指数函数

y＝ax(a＞0

且

a≠1)与对数反函数，它们的图象关于直线

y＝x

对称．y＝logax(1)log2x2＝2lo当x＞1

时，logax＞0.(函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[对数函数

y＝logax(a＞0

且

a≠1)的图象过定1a

，－1，函数图象不在第二、三象限．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2．已知a＝223，b＝log

1，c＝log31，则(

)B．a＞c＞bD．c＞a＞b01231，b＝log

＜2log

1＝02，c＝log

＞log

1

1，＝A．a＞b＞cC．c＞b＞aD

[∵0＜a＝2

＜2

＝∴c＞a＞b.]则下列结论成立的A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D

[由图象得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]图2-6-1a44．(

改编)若

log

3

1(a＞0，且

a≠1)，则实数

a

的取值范围是(

)＜0

3A.

，4B．(1，＋∞)0

33

D.4，1C.

，4∪(1，＋∞)C

[当0＜a＜1

时，log

3a4＜a3log

a＝1，∴0＜a＜4；当a＞1

时，log

3a4＜alog

a＝1，∴a＞1.即实数

a的取值范围是0

3∪(1，＋∞)．]

，45．(2017·杭州二次质检)计算：2log510542

3

[2log510＋54以2log43＝2log23＝3.]对数的运算a

b(1)设

2a＝5b＝m，且1

1

2，则

m

等于(

)＋

＝A.

10C．20B．10D．1001(2)计算：lg

4－lg

25÷100—＝

.(1

1

1

∴a＋b＝log2m＋log5m∴m＝

10.(2)原式＝(lg

2－2－lg

52)×100

＝＝

1

lg2

·52

2×10＝(lg＝－20.][成分数指数幂的形式先将对数式化为同底数对法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数在运算中应注意互化．2x，x≥4，fx＋1，x＜4，A．24C．12则f(2B．D．8(2)(2015·浙江高考)计算：log2222

4

＝

，2log

3＋log

3＝(1)A23＋log23＝8×3＝24，故选A.22

2

22

2

2(2)log

2

＝log 2

－

log

2

＝

1

－

1

＝－

1

；

2log

33×2log43＝3×2log2

3＝3

3.对数函数的图象及应用(1)(2016·

焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数

y＝loga|x|的图象大致是(

)A

BD(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝Clog2x，x＞0，x3

，x≤0，且关于x

的方程f(x)＋x－a＝0

有且只有一个实根，则实数

a

的取值范围是

．B

(2)(1，＋∞) [(1)若函数

y＝a|x|(a＞0，且

a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图象如图所示．故选B.如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a

表示直线在y

轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a

与y＝log2x

只有一个交点．][规律方法]

1.在识别函数图象时，要上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形求解．[变式训练

2]

(2017·西城区二模)如图

2-6-2，点

A，B

在函数

y＝log2x＋2的图象上，点C

在函数y＝log2x

的图象上，若△ABC

为等边三角形，且直线BC∥y

轴，设点

A

的坐标为(m，n)，则

m＝(

)【导学号：31222051】A．2C.

2图2-6-2B．3D.

3D坐标为(m＋3，n＋1)．又Alog2m＋2＝n，log2m＋

3＋2＝n＋1，解得m＝3，故选D.]对数函数的性质及应用☞角度1比较对数值的大小(2016·A．logac＜logbcC．ac＜bc卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(B．logca＜logcbD．ca＞cb)B

[∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1

时，logac＞logbc，A

项错误；∵0＜c＜1，∴y＝logcx

在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，∴logca＜logcb，B

项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C

项错误；∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D

项错误．]☞角度2解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a，b>0

且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(b－1)<0C．(b－1)(b－a)<0D

[法一：logab＞1＝logaa，B．(a－1)(a－b)>0D．(b－1)(b－a)>0当a＞1

时，b＞a＞1；当0＜a＜1

时，0＜b＜a＜1.只有D

正确．法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D.]☞角度3探究对数型函数的性质已知函数f(x)＝loga(3－ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]

假设存在满足条件的实数

a.∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x的减函数.3分又f(x)＝loga(3－ax)在[1,2]上是关于x

的减函数，∴函数y＝logau是关于u

的增函数，∴a＞1，x∈[1,2]时，u

最小值为3－2a，7

分f(x)最即a3

＜2，3

2a＝

，10

分故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数为1.12

分[规律方法]

利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与

1

的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的[思想与方法]对数值取正、负值的规律当a＞1

且b＞1

或0＜a＜1

且0＜b＜1

时logab＞0；当a＞1

且0＜b＜1

或0＜a＜1

且b＞1

时logab＜0.利用单调性可解决比较大小、解不等式求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．数形结合；(24．多个对数函数图题，可通过比较图象与直线y＝1

交进行判定．[易错与防范]在对数式中，真数必须是大于

0

的，所以对数函数

y＝logax

的定义域应为(0，＋∞