2021-2022学年-有答案-广东省清远市某校初三(上)1月月考数学试卷

PAGE2424页2021-2022学年广东省清远市某校初三（上）1月月考数学试卷一、选择题1.抛物线𝑦=(𝑥+2)2+3的顶点坐标是（）A.(−2,−3) B.(2,3) C.(−2,3) D.(2,−3)2.如是方𝑥2−3𝑥+𝑘=0的一个根，则常𝑘的值( )A.1 B.2 C.−1 D.−2A.B.C.D.3.A.B.C.D.4.𝑦=𝑎𝑥>0时，𝑦𝑥𝑦=𝑎𝑥2𝑎𝑥𝑥A.B.C.D.A.B.C.D.5.一个𝑛边形的中心角72∘，𝑛等于( )6.如图所示，𝐴𝐵是⊙𝑂的弦，半径𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点𝐷6.如图所示，𝐴𝐵是⊙𝑂的弦，半径𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点𝐷，且𝐴𝐵=8𝑐𝑚，𝑂𝐶=5𝑐𝑚，则𝑂𝐷的长是( )A.3𝑐𝑚 B.2.5𝑐𝑚 C.2𝑐𝑚 D.1𝑐𝑚7.如图，在同一平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑘1𝑥(𝑘1≠0)与双曲线𝑦=𝑘2(𝑘2≠0)相𝑥交于7.如图，在同一平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑘1𝑥(𝑘1≠0)与双曲线𝑦=𝑘2(𝑘2≠0)相𝑥交于𝐴，𝐵两点，已知点𝐴的坐标为(1,2)，则点𝐵的坐标为（）将抛物𝑦=2𝑥2向上平个单位得到的抛物线的解析式( )A.𝑦=2𝑥2+3

B.𝑦=2𝑥2−3 C.𝑦=2(𝑥+3)2 D.𝑦=2(𝑥−3)2下列成语所描述的事件是必然事件的( )A.水中捞月 B.守株待兔 C.水涨船高 D.画饼充饥10.10.𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐴→𝐵→𝐶→𝐷路径匀速运动到点𝐷，设△𝑃𝐴𝐷的面积为𝑦，𝑃点的运动时间为𝑥，则𝑦关于𝑥的函数图象大致为( )A.B.C.D.如果反比例函数𝑦=𝑎−2（𝑎是常数）的图象在第一、三象限，那么𝑎的取值范围是𝑥 ．如图，从一块半径1𝑚的圆形铁皮上剪出一个圆周角120∘的扇𝐴𝐵𝐶，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径𝑚．方3𝑥(𝑥如图，从一块半径1𝑚的圆形铁皮上剪出一个圆周角120∘的扇𝐴𝐵𝐶，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径𝑚．在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为偶数的概率．如图，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝑂都在方格纸的格点上，△如图，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝑂都在方格纸的格点上，△𝐶𝑂𝐷是△𝐴𝑂𝐵绕点𝑂按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度．𝑥(2,𝑥(2,0)．作𝐵1𝐴2//𝑂𝐴1交双曲线于𝐴2，𝐴2作𝐴2𝐵2//𝐴1𝐵1𝑥轴于𝐵2，得到第二个等△𝐵1𝐴2𝐵2；𝐵2𝐵2𝐴3//𝐵1𝐴2交双曲线于𝐴3，𝐴3𝐴3𝐵3//𝐴2𝐵2交𝑥轴于𝐵3，得到第三个等△𝐵2𝐴3𝐵3；以此类推则的坐标．如图，已知等边△𝑂𝐴1𝐵1的顶点𝐴1在双曲线𝑦=√3(𝑥>0)上，点𝐵1的坐标为𝑥𝑥2−3𝑥+𝑎−2=(1)求𝑎的取值范围；(2)当𝑎为符合条件的最大整数，求此时方程的解．𝑅𝑡𝑂𝐴𝐵∠𝐵𝐴𝑂90∘𝐵(42)𝐴(40)．画出𝑂𝐴𝐵𝑂𝑂𝐴1𝐵1.如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂．(1)作∠𝐵的平分线与⊙𝑂交于点𝐷（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；(2)在(1)中，连接𝐴𝐷，若∠𝐵𝐴𝐶=60∘，∠𝐶=66如图，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2016年销售烟花爆竹20万箱，到2018年烟花爆竹销售量为9.8万箱．年烟花爆竹年销售量的平均下降率；年烟花爆竹销售量．老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．𝑂𝑀为12点为原点，𝑂𝑀𝑂𝑀为12点为原点，𝑂𝑀𝑥轴建立直角坐标系．如图，⊙𝑂是𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的外接圆，∠𝐴𝐵𝐶=90∘，弦𝐵𝐷=𝐵𝐴，𝐴𝐵=12，𝐵𝐶=5，𝐵𝐸⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝐸．(1)求证：∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐷；(2)求𝐷𝐸的长；(3)求证：𝐵𝐸是⊙𝑂的切线．如图，已知抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3与𝑥轴交于𝐴，如图，已知抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点（点𝐴在点𝐵的左边），与𝑦轴交于点𝐶，连接𝐵𝐶.(2)若点𝑃为线段𝐵𝐶上的一点（不与𝐵，𝐶重合），𝑃𝑀//𝑦轴，且𝑃𝑀交抛物线于点𝑀，交𝑥轴于点𝑁，当△𝐵𝐶𝑀的面积最大时，求△𝐵𝑃𝑁的周长；(3)在(2)的条件下，当△𝐵𝐶𝑀的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点𝑄，使得△𝐶𝑁𝑄为直角三角形，求点𝑄的坐标．参考答案与试题解析2021-2022学年广东省清远市某校初三（上）1月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】二次函数的性质【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】𝑦=(𝑥+2)2+(−2,3)．𝐶．2.【答案】B【考点】一元二次方程的解【解析】把𝑥＝2代入已知方程列出关于𝑘的新方程，通过解方程来求𝑘的值．【解答】解：∵2是一元二次方程𝑥2−3𝑥+𝑘=0的一个根，∴22−3×2+𝑘=0，解得𝑘=2.故选𝐵.3.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】180∘，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：AB，是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；C，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.故选B．4.【答案】A【考点】二次函数的图象【解析】根据反比例函数的性质判断𝑎的符号；再根据𝑎的符号，判断二次函数𝑦=𝑎𝑥2−𝑎𝑥的图象大致位置．【解答】𝑎>0，𝑦=𝑎𝑥2−𝑎𝑥𝐶，𝐷𝑥2𝑎

=1>0，2所以抛物线的对称轴在𝑦轴的右侧，排除𝐵选项．故选𝐴．5.【答案】B【考点】多边形内角与外角【解析】根据正多边形的中心角和为360∘和正多边形的中心角相等，列式计算即可．【解答】解：𝑛=360÷72=5.故选𝐵.6.【答案】A【解析】连接𝑂𝐴．根据垂径定理可得，𝐴𝐷=1𝐴𝐵=4𝑐𝑚，又⊙𝑂的半径𝑂𝐴是5𝑐𝑚，根据勾股2定理可得，𝑂𝐷=3𝑐𝑚．解：如图，连结𝑂𝐴解：如图，连结𝑂𝐴．∵𝐴𝐵是⊙𝑂的弦，𝑂𝐶是⊙𝑂的半径，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点𝐷，且𝐴𝐵=8𝑐𝑚，∴𝐴𝐷=4𝑐𝑚.在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，𝑂𝐴=𝑂𝐶=5𝑐𝑚，∴𝑂𝐷=√𝑂𝐴2−𝐴𝐷2=√52−42=3(𝑐𝑚)．故选𝐴．7.【答案】A【考点】中心对称【解析】反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴点𝐴与𝐵关于原点对称，∴𝐵点的坐标为(−1,−2)．故选𝐴.8.【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】𝑦=2𝑥2𝑦=2𝑥2+3．𝐴．9.【答案】C【考点】随机事件必然事件【解析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可解决．【解答】解：AB，守株待兔，是随机事件，故不符合题意；C，水涨船高，是必然事件，符合题意；D，画饼充饥，是不可能事件，故不符合题意．故选C.【答案】B【考点】动点问题【解析】设菱形的高为ℎ，即是一个定值，再分点𝑃在𝐴𝐵上，在𝐵𝐶上和在𝐶𝐷上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．【解答】解：由𝑃点匀速运动，则设速度为𝑣，设𝐴𝐵与𝐶𝐷间的距离为𝑚，当𝑃在𝐴𝐵上运动时，则𝑦=1𝑣𝑥⋅𝑚=𝑣𝑚𝑥.2 2∵𝑣，𝑚均为定值，∴𝑥是关于𝑦的一次函数，∴𝐶，𝐷错误；当𝑃在边𝐵𝐶上时，如图，设𝐵𝐶与𝐴𝐷间的距离为ℎ，𝑦=1𝐴𝐷⋅ℎ，2𝐴𝐷和ℎ都不变，∴𝐴不正确；当𝑃在边𝐶𝐷上时，如图，𝑦=1𝑃𝐷⋅𝑚.2∵𝑃𝐷随𝑥的增大而减小，𝑚不变，∴𝑦随𝑥的增大而减小.∵𝑃点从点𝐴出发沿在𝐴→𝐵→𝐶→𝐷路径匀速运动到点𝐷，∴𝑃在三条线段上运动的时间相同，∴选项𝐵正确.故选𝐵.二、填空题【答案】𝑎>2【考点】反比例函数的性质【解析】反比例函数𝑦=𝑘图象在一、三象限，可得𝑘>0，据此列出有关𝑎的不等式求得𝑎的取𝑥值范围即可．【解答】解：∵𝑦=𝑎2𝑥

（𝑎是常数）的图象在第一、三象限，∴𝑎 2>0，∴𝑎>2．故答案为：𝑎>2．【答案】3𝑥1=1，𝑥2=23【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】移项后分解因式得(𝑥 1)(3𝑥 2)＝0，推出方𝑥 2＝0，求出方程解即可．【解答】解：3𝑥(𝑥 1)=2(𝑥 移项得1) 2(𝑥 1)=即(𝑥 1)(3𝑥 2)=0，∴𝑥 1=0，3𝑥 2=0，3解得：𝑥1=1，𝑥2=2．33故答案为：𝑥1=1，𝑥2=2．3【答案】25【解析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：∵5个小球中，标号为偶数的有2，4，共2个，∴摸出的小球标号为偶数的概率是2.5故答案为：2.5【答案】100∘【考点】圆心角与圆周角的综合计算【解析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．∵弧𝐴𝐵所对圆周角为50∘，∴弧𝐴𝐵所对圆心角为100∘.故答案为：100∘.【答案】90∘【考点】【解析】由△𝐶𝑂𝐷是由△𝐴𝑂𝐵绕点𝑂按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是∠𝐵𝑂𝐷的大小，然后由图形即可求得答案．【解答】解：∵△𝐶𝑂𝐷是由△𝐴𝑂𝐵绕点𝑂按逆时针方向旋转而得，∴𝑂𝐵=𝑂𝐷，∴旋转的角度是∠𝐵𝑂𝐷的大小.∵∠𝐵𝑂𝐷=90∘，∴90∘．故答案为：90∘．【答案】13【考点】【解析】根据弧长公式求出弧𝐵𝐶的长，再根据圆的周长公式即可得出答案.解：如图：连结𝑂𝐴解：如图：连结𝑂𝐴，∵⊙𝑂1𝑚，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑂𝐴=1𝑚，∴𝐶𝑙=1=𝜋,180 3设圆锥底面圆的半径为𝑟，则2𝜋𝑟=23𝑟=1，3即该圆锥底面圆的半径为1m.3故答案为：1.3【答案】(2√6,0)【考点】等边三角形的性质规律型：点的坐标【解析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求、的标，得 规律，进而求 𝐵6的坐标．解：如图，作𝐴解：如图，作𝐴2𝐶⊥𝑥轴于点𝐶，设𝐵1𝐶=𝑎，则𝐴2𝐵1=2𝑎，则𝐴2𝐶=√3𝑎，𝑂𝐶=𝑂𝐵1+𝐵1𝐶=2+𝑎，𝐴2(2+𝑎,√3𝑎)．∵∴𝑥(2+𝑎)⋅√3𝑎=点𝐴2在双曲线𝑦=√3(𝑥>0)上，解得𝑎=√2−1，或𝑎=−√2−1（舍去），∴∴=+=2+−2=点𝐵2的坐标为(2√2,0)；作𝐴3𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，设𝐵2𝐷=𝑏，则𝐴3𝐷=√3𝑏，𝑂𝐷=𝑂𝐵2𝑂𝐷=𝑂𝐵2+𝐵2𝐷=2√2+𝑏，𝐴2(2√2+𝑏,√3𝑏)．∵点𝐴3在双曲线𝑦=√3(𝑥>0)上，∴𝑥+𝑏)⋅√3𝑏=√3，解得𝑏=−√2+√3，或𝑏=−√2−√3（舍去），∴𝑂𝐵3=𝑂𝐵2+2𝐵2𝐷=2√2−2√2+2√3=2√3，∴点𝐵3的坐标为(2√3,0)；同理可得点𝐵4的坐标为(2√4,0)即(4,0)；⋯，∴0)，∴0)．故答案为：(2√6,0)．【答案】解：(1)∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥+𝑎−2=0有实数根，∴𝛥≥0，(−3)2−4(𝑎−2)≥0，解𝑎

17.4(2)由(1)可知𝑎≤

17，4∴𝑎的最大整数值为4，此时方程为𝑥2−3𝑥+2=0，解得𝑥=1或𝑥=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】𝑎𝑎的取值范围；由(1)𝑎𝑎的最大整数值，代入方程求解即可．【解答】解：(1)∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥+𝑎−2=0有实数根，∴𝛥≥0，(−3)2−4(𝑎−2)≥0，解𝑎

17.4(2)由(1)可知𝑎≤

17，4∴𝑎的最大整数值为4，此时方程为𝑥2−3𝑥+2=0，解得𝑥=1或𝑥=2．解：如图，△𝑂𝐴解：如图，△𝑂𝐴1𝐵1为所作，点𝐵1的坐标为(−4,−2).【考点】中心对称图形【解析】𝐴1、△𝑂𝐴1𝐵1；(−4−2𝐴𝑎即可．解：如图，△𝑂𝐴解：如图，△𝑂𝐴1𝐵1为所作，点𝐵1的坐标为(−4,−2).解：(1)解：(1)如图所示，𝐵𝐷即为所求；(2)如图，∵(2)如图，∵∠𝐵𝐴𝐶=60∘，∠𝐶=66∘，∴∠𝐴𝐵𝐶=180∘−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶=54∘.由作图可知𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐶=1∠𝐴𝐵𝐶=27∘．2作图—基本作图三角形的外接圆与外心【解析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）根据三角形的内角和得出∠𝐴𝐵𝐶＝180∘−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶＝54∘，由作图可知𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，从而得出∠𝐷𝐴𝐶＝∠𝐷𝐵𝐶=1∠𝐴𝐵𝐶＝27∘．2解：(1)解：(1)如图所示，𝐵𝐷即为所求；(2)如图，∵∠𝐵𝐴𝐶=60∘，∠𝐶=66∘，∴∠𝐴𝐵𝐶=180∘−∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶=54∘.由作图可知𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐵𝐶=1∠𝐴𝐵𝐶=27∘．2【答案】解：(1)设平均下降率为𝑥，则20(1−𝑥)2=9.8,解得𝑥1=0.3，𝑥2=1.7，经检验𝑥1=0.3=30%符合题意，𝑥2=1.7不符合题意，舍去.答：烟花爆竹年销售量的平均下降率是30%.(2)9.8×(1−30%)=6.86(万箱）答：该市2019年春节的烟花爆竹销售量为6.86万箱.【考点】一元二次方程的应用——增长率问题由实际问题抽象出一元二次方程有理数的混合运算【解析】..【解答】解：(1)设平均下降率为𝑥，则20(1−𝑥)2=9.8,解得𝑥1=0.3，𝑥2=1.7，经检验𝑥1=0.3=30%符合题意，𝑥2=1.7不符合题意，舍去.答：烟花爆竹年销售量的平均下降率是30%.(2)9.8×(1−30%)=6.86(万箱）答：该市2019年春节的烟花爆竹销售量为6.86万箱.解：(1)解：(1)补全小明同学所画的树状图，如图所示：(2)从树状图可知，共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况共有4种，所以小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：𝑃=4．9【考点】列表法与树状图法【解析】根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：(1)解：(1)补全小明同学所画的树状图，如图所示：(2)从树状图可知，共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况共有4种，所以小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为：𝑃=4．9【答案】解：(1)由图象和题意可得：𝑀(12,0)，𝑃(6,6)．(2)设抛物线解析式为：𝑦=𝑎(𝑥−6)2+6∵抛物线𝑦=𝑎(𝑥−6)2+6经过点(0,0)，∴0=𝑎(0−6)2+6，即𝑎=−1.6∴抛物线解析式为：𝑦=−1(𝑥−6)2+6，即𝑦=−1𝑥2+2𝑥．6 6【考点】二次函数的应用待定系数法求二次函数解析式【解析】𝑀、𝑃的坐标；𝑂点（𝑀点）坐标代入求待定系数求出解析式；𝐴(𝑚,0)𝑚表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．【解答】解：(1)由图象和题意可得：𝑀(12,0)，𝑃(6,6)．(2)设抛物线解析式为：𝑦=𝑎(𝑥−6)2+6∵抛物线𝑦=𝑎(𝑥−6)2+6经过点(0,0)，∴0=𝑎(0−6)2+6，即𝑎=−1.6∴抛物线解析式为：𝑦=−1(𝑥−6)2+6，即𝑦=−1𝑥2+2𝑥．6 6【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷=𝐵𝐴，∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷.∵∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐷𝐴（圆周角定理），∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐷．(2)解：∵∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐴𝐵（圆周角定理）且∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐵𝐴=90∘，∴△𝐵𝐸𝐷∼△𝐶𝐵𝐴，∴𝐵𝐷 =𝐷𝐸，12 =𝐷𝐸，𝐴𝐶 𝐴𝐵 13 12解得：𝐷𝐸 =144．13(3)证明：连结𝑂𝐵(3)证明：连结𝑂𝐵，𝑂𝐷，在△𝐴𝐵𝑂和△𝐷𝐵𝑂中，{𝐵𝑂=𝐵𝑂，𝑂𝐴=𝑂𝐷，∴△𝐴𝐵𝑂≅△𝐷𝐵𝑂(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝑂.∵∠𝐴𝐵𝑂=∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵𝐷𝐶，∴∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐵𝐷𝐶，∴𝑂𝐵//E𝐷.∵𝐵E⊥E𝐷，∴E𝐵⊥𝐵𝑂，∴𝐵E是⊙𝑂的切线．【考点】切线的判定全等三角形的性质与判定【解析】(1)根据𝐵𝐷=𝐵𝐴得出∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷，再由∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐷𝐴即可得出结论；(2)判断△𝐵E𝐷∽△𝐶𝐵𝐴，利用对应边成比例的性质可求出𝐷E的长度．(3)连接𝑂𝐵，𝑂𝐷，证明△𝐴𝐵𝑂≅△𝐷𝐵𝑂，推出𝑂𝐵//𝐷E，继而判断𝐵E⊥𝑂𝐵，可得出结论．(2)判断△𝐵E𝐷∽△𝐶𝐵𝐴，利用对应边成比例的性质可求出𝐷E的长度．(3)连接𝑂𝐵，𝑂𝐷，证明△𝐴𝐵𝑂≅△𝐷𝐵𝑂，推出𝑂𝐵//𝐷E，继而判断𝐵E⊥𝑂𝐵，可得出结论．【解答】(1)证明：∵𝐵𝐷=𝐵𝐴，∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷.∵∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐷𝐴（圆周角定理），∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐷．(2)解：∵∠𝐵𝐷E=∠𝐶𝐴𝐵（圆周角定理）且∠𝐵E𝐷=∠𝐶𝐵𝐴=90∘，∴△𝐵E𝐷∼△𝐶𝐵𝐴，∴𝐵𝐷=𝐷E，即12=𝐷E，𝐴𝐶 𝐴𝐵 13 12解得：𝐷E=

144．(3)(3)证明：连结𝑂𝐵，𝑂𝐷，在中，𝐴𝐵={𝐵𝑂=𝐵𝑂，𝑂𝐴=∴△𝐴𝐵𝑂≅△𝐷𝐵𝑂(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝑂.∵∠𝐴𝐵𝑂=∠𝑂𝐴𝐵=∴∠𝐷𝐵𝑂=∠𝐵𝐷𝐶，∴𝑂𝐵//E𝐷.∵𝐵E⊥E𝐷，∴E𝐵⊥𝐵𝑂，∴𝐵E是⊙𝑂的切线．【答案】解：(1)由抛物线的解析式𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，∴𝐶(0,3)，令𝑦=0，−𝑥2+2𝑥+3=0，解得𝑥=3或𝑥=−1，∴𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)．(2)设直线𝐵𝐶的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则有：3𝑘+𝑏=0， 𝑘={ 𝑏={𝑏=∴直线𝐵𝐶的解析式为：𝑦=−𝑥+3．设𝑃(𝑥,−𝑥+3)，则𝑀(𝑥,−𝑥2+2𝑥+3)，∴𝑃𝑀=(−𝑥2+2𝑥+3)−(−𝑥+3)=−𝑥2+3𝑥．∴=+1 1=2𝑃𝑀⋅(𝑥𝑃−𝑥𝐶)+2𝑃𝑀⋅(𝑥𝐵−𝑥𝑃)1=2𝑃𝑀⋅(𝑥𝐵−𝑥𝐶)=3𝑃𝑀．2∴𝑆△𝐵𝐶𝑀=3(−𝑥2+3𝑥)=−3(𝑥−3)2+27．2 2 2 8∴当𝑥=3时，△𝐵𝐶𝑀的面积最大．2此时𝑃(3,

3)，∴𝑃𝑁=𝑂𝑁=3，2 2 2∴𝐵𝑁=𝑂𝐵−𝑂𝑁=3−3=3．2 2在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝑁中，由勾股定理得：𝑃𝐵=3√2,2𝐶△𝐵𝑃𝑁=𝐵𝑁+𝑃𝑁+𝑃𝐵=3+3√2,∴当△𝐵𝐶𝑀的面积最大时，△𝐵𝑃𝑁的周长为3+3√2．222(3)∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4，∴抛物线的对称轴为直线𝑥=1．在𝑅𝑡△𝐶𝑁𝑂中，𝑂𝐶=3，𝑂𝑁=3，2由勾股定理得：𝐶𝑁=3√5．2𝐷为𝐶𝑁𝐷(3

3)，𝐶𝐷=𝑁𝐷=3√5．4 2 4①若点𝑄为直角顶点．作𝑅𝑡△𝐶𝑁𝑂的外接圆⊙𝐷，与对称轴交于𝑄1，𝑄2两点，由圆周角定理可知，𝑄1，𝑄2两点符合题意．4连接𝑄1𝐷，则𝑄1𝐷=𝐶𝐷=𝑁𝐷=3√5．4过点𝐷(3,4

𝐸，2则𝐸(1,

3)，𝑄1𝐸=𝑄2𝐸，𝐷𝐸=1−3=1．2 4 4在𝑅𝑡△𝑄1𝐷𝐸中，2由勾股定理得：𝑄1𝐸=√𝑄1𝐷2−𝐷𝐸2=√11，2∴𝑄1(1,3+√11)，𝑄2(1,3−√11)；2 2②若点𝑁为直角顶点．过点𝑁作𝑁𝐹⊥𝐶𝑁，交对称轴于点𝑄3，交𝑦轴于点𝐹．易证𝑅𝑡△𝑁𝐹𝑂∼𝑅𝑡△𝐶𝑁𝑂，则𝑂𝐹

=𝑂𝑁，即

33=2，解𝑂𝐹= ，3𝑂𝑁

𝑂𝐶

3 3 42∴𝐹(0,−

3).4又∵𝑁(3,0)，2∴可求得直线𝐹𝑁的解析式为：𝑦=1𝑥−3．2 4当𝑥=1时，𝑦=−1，43∴𝑄(1,−1)；34③当点𝐶为直角顶点时．过点𝐶作𝑄4𝐶⊥𝐶𝑁，交对称轴于点𝑄4．∵𝑄4𝐶//𝐹𝑁，4∴𝑄𝐶=1𝑥𝑏.42∵点𝐶(0,3)在该直线上，∴𝑏=3，4∴𝑄𝐶=1𝑥42当𝑥=1时，𝑦=7，24∴𝑄(1,7)．42综上所述，满足条件的点𝑄有4个，其坐标分别为：𝑄1(1,3+√11)，𝑄2(1,3−√11)，2 2𝑄3(1,−1)，𝑄4(1,7)．4 2【考点】抛物线与x二次函数综合题二次函数的最值【解析】依据抛物线的解析式直接求得𝐶的坐标，令𝑦=0解方程即可求得𝐴、𝐵点的坐标；△𝐵𝐶𝑀𝐵𝑃𝑁的周长；【解答】解：(1)由抛物线的解析式𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，∴𝐶(0,3)，令𝑦=0，−𝑥2+2𝑥+3=0，解得𝑥=3或𝑥=−1，∴𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)．(2)设直线𝐵𝐶的解析式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则有：{3𝑘+𝑏=0，

𝑘=−1，𝑏=3

解得{𝑏=3，∴直线𝐵𝐶的解析式为：𝑦=−𝑥+3．设𝑃(𝑥,−𝑥+3)，则𝑀(𝑥,−𝑥2+2𝑥+3)，∴𝑃𝑀=(−𝑥2+2𝑥+3)−(−𝑥+