【全套解析】高三数学一轮复习 73 空间点、直线、平面之间的位置关系 （理） 新人教A

第三节

空间点、直线、平面之间的位置关系编辑ppt1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.编辑ppt1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过

的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线．两点不在一条直线上有且只有一条编辑ppt2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类编辑ppt(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．锐角(或直角)编辑ppt3．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示编辑ppt4．两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0两平面相交斜交α∩β＝a有无数个公共点在一条直线上垂直α⊥βα∩β＝a有无数个公共点在一条直线上编辑ppt5.平行公理平行于同一条直线的两条直线

互相平行．编辑ppt1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(

)A．异面B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：两直线可相交、异面或平行，选D.答案：D编辑ppt2．在空间内，可以确定一个平面的条件是(

)A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点编辑ppt解析：A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者成立才能确定一个平面，因此，排除C；编辑ppt只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由公理2知其可以确定一个平面．答案：D编辑ppt3．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(

)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：假设c∥b，∵c∥a，∴“a∥b”与“a，b是异面直线”矛盾．∴假设不成立，即c不可能平行于b.答案：C编辑ppt4．三条直线两两相交，可以确定________个平面．答案：1或3编辑ppt5．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件是________．编辑ppt解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④编辑ppt

热点之一平面基本性质的应用平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．(1)公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．(2)公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．编辑ppt(3)公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．编辑ppt编辑ppt(2)方法1：证明D点在EF、CH确定的平面内．方法2：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，可证M与M′重合，从而FE与DC相交．编辑ppt编辑pptG为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．编辑ppt方法2：如右图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点共面．编辑ppt即时训练如右图所示，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1、M、A三点共线．编辑ppt证明：∵A1C1∩B1D1＝O1，又B1D1⊆平面B1D1A，A1C1⊆平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊆平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．编辑ppt

热点之二两条直线位置关系的判定异面直线的判定方法：1．定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．2．反证法：反证法是证异面直线的常用方法．定义法仅仅用来直观判断，直观判断还可用以下结论：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．编辑ppt[例2]

(2009·辽宁高考)如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．编辑ppt[思路探究]对于第(1)问可以根据线面角的概念作出线面角，在已知条件“平面ABCD⊥平面DCEF

”下，这个线面角很容易作出来，然后解一个直角三角形即可；第(2)问明确用反证法证明，反设结论，根据线面位置关系进行推理，导出矛盾结果．[课堂记录]

(1)如下图所示，取CD的中点G，连接MG，NG.设正方形ABCD，DCEF的边长为2，编辑ppt编辑ppt(2)假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．所以ME与BN不共面，它们是异面直线．编辑ppt[思维拓展]本题考查线面角的计算及用反证法证明两条直线异面，试题的核心部分就是用反证法证明两直线异面，既考查空间线面位置关系的应用又考查重要的数学方法——反证法，是高考中立体几何解答题的一个创新，值得关注．编辑ppt即时训练已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b和c是异面直线．证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A，所以A∈α，又c⊂α，c∥a.所以A∉c，在直线b上任取一点B(不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．编辑ppt证法2：假设b，c共面，则b∥c或b与c相交．(1)若b∥c，又因为a∥c，所以a∥b.与已知b∩a＝A矛盾．故b∥c不成立．(2)若b与c相交，设交点为O，因b⊂β，c⊂α且α∩β＝a，则交点O必在直线a上．所以a与c交于O，与已知a∥c矛盾．所以b与c不相交．由上可知b和c是异面直线．编辑ppt

热点之三异面直线所成的角1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③求：通过解三角形，求出该角．编辑ppt[例3]已知正方体ABCD－A′B′C′D′，(1)求A′B与B′D′所成的角；(2)求AC与BD′所成的角．[思路探究]求异面直线所成的角关键是根据题目所给几何体的特征，利用定义将其转化为一个平面角来解决．编辑ppt[课堂记录]如下图所示．编辑ppt(1)连结BD，A′D.∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴DD′綊BB′.∴四边形DBB′D′是平行四边形．∴DB∥B′D′.∴A′B、DB、A′D是全等的正方形的对角线．∴A′B＝BD＝A′D，即△A′BD是正三角形．∴∠A′BD＝60°.∵∠A′BD是锐角，∴∠A′BD是异面直线A′B与B′D′所成的角．∴A′B与B′D′所成的角为60°.编辑ppt(2)取DD′的中点E，连结EO、EA、EC.∵O为BD的中点，∴OE∥BD′.∵∠EDA＝∠EDC＝90°，AD＝DC，∴△EDA≌△EDC.∴EA＝EC.在等腰△EAC中，O是AC的中点，∴EO⊥AC.∴∠EOA＝90°，∠EOA是异面直线AC与BD′所成的角．∴AC与BD′所成的角为90°.编辑ppt即时训练编辑ppt编辑ppt编辑ppt从近年的高考试题来看，异面直线的判定、异面直线所成角在高考试题中偶尔会出现，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属低中档题，重点考查异面直线的概念、异面直线所成角的定义及求法，同时考查反证法，以及学生的空间想象能力．编辑ppt[例4]

(2010·浙江高考)如右图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C