高考总复习走向清北课件46数学直线-平面平行的判定及其性质

共

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页1

第四十六讲直线､平面平行的判定及其性质共

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页2回归课本共

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页31.直线与直线(1)空间两条直线的位置关系有平行､相交､异面三种.(2)过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行.(3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,又叫做空

间平行线的传递性.(4)定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,

并且方向相同,那么这两个角相等.共

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页4(5)空间四边形:顺次连结不共面的四点A､B､C､D所构成的图

形,叫做空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四边形

的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边;连结

不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边

形用表示顶点的四个字母表示.共

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页52.直线与平面平行(1)直线与平面的位置关系有:①平行:直线和平面没有公共点②相交:直线和平面有且只有1个公共点③直线在平面内:直线和平面有无数个公共点,其中①､②也叫

直线在平面外共

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(2)直线与平面平行①判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则

该直线就与此平面平行.②性质定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一

平面与此平面的交线也与该直线平行.共

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页73.平面与平面平行(1)平面与平面的位置关系①平行两平面无公共点②两平面相交有一条公共直线(2)平面与平面的平行①判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则

这两个平面平行.②性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么

它们的交线平行.共

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页8考点陪练共

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页91.设AA′是长方体的一条棱,这个长方体中与AA′平行的棱共有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:AA′∥BB′∥CC′∥DD′.答案:C共

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页102.b是平面α外一条直线,下列条件中可得出b∥α的是()A.b与α内一条直线不相交B.b与α内两条直线不相交C.b与α内无数条直线不相交D.b与α内任意一条直线不相交解析:只有在b与α内所有直线都不相交,即b与α无公共点

时,b∥α.答案:D共

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页113.在空间,下列命题正确的是()A.若a∥α,b∥a,则b∥αB.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥αC.若α∥β,b∥α,则b∥βD.若α∥β,a⊂α,则a∥β解析:若a∥α,b∥a,则b∥α或b⊂α,故A错误;由面面平行的判

定定理知,B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故C错误.答案:D共

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页124.已知两个不同的平面α､β和两条不重合的直线m､n,有下列

四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m∥α,n⊂α,则

m∥n;③若α∥β,m⊂α,则m∥β.其中正确命题的个数是()A.1C.3B.2D.0解析:①有可能m⊂α;②m､n还可能是异面直线;③正确,故正

确答案是A.答案:A

a∥b

a∥b∥∥a共

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页135.a,b,c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,

现给出四个命题:①③

a∥

b∥

∥c

a∥c

②④

a∥cb∥c∥c

∥c

其中正确的命题是________.答案:①共

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页14类型一直线与直线平行解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行共

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页15【典例1】

如图,若α∩β=a,α∩γ=b,γ∩β=c,且a∥b,求

证:a∥b∥c.[分析]

利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证

得.共

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[证明]

∵b∥a,a⊂β,b⊄β,∴b∥β(线线平行,则线面平行).∵b⊂γ,γ∩β=c,∴b∥c(线面平行,则线线平行),∴a∥b∥c.共

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页17[反思感悟]

(1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条

直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线

的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结

论.(2)本题证明思路是:线∥线→线∥面→线∥线.共

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页18类型二直线和平面平行解题准备:1.证明线面平行的方法(1)依定义采用反证法;(2)判定定理法(线线平行⇒线面平行);(3)面面平行的性质定理(面面平行⇒线面平行).共

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页192.应用线面平行判定定理的思路在应用线面平行的判定定理证明线面平行时,要在平面内找

(或作)一条直线与已知直线平行,在找(或作)这一条直线时,

由线面平行的性质定理知,在平面内和已知直线共面的直

线才和已知直线平行,所以要通过平面来找(或作)这一条直

线.在应用其它判定定理和性质定理时,要注意充分利用条

件构造定理的题设,在分析思路时也要以定理作为指导.共

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页20【典例2】

如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线

AB1,BC1上分别有两点E,F且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.共

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页21[分析]

要证EF∥平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行

的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用

面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.共

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页22[证明]

证法一:过E作EM⊥AB于M,过F作FN⊥BC于N,连接

MN(如图).则EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.

∴共

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页23∵AB1=BC1,B1E=C1F,∴AE=BF,∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN.又∵EF⊄平面ABCD,MN⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.,

EM

AE

BF

AE

FN

,

BB1

AB1

BC1

AB1

CC1∴

EM

FN,又∵BB1=CC1,

BB1

CC1∴EM=FN,共

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页24证法二:连接B1F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).共

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页25∵BP∥B1C1,∴△B1FC1∽△PFB,∴.B1F

C1F

FP

BF1

1∵AB1=BC1,B1E=C1F,

CF

BE

.

BF

EA∴

,

∴EF∥AP.

EA

FP又∵EF⊄平面ABCD,AP⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.共

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页26证法三:过点E作EH⊥BB1于点H,连接FH(如图).∵AB1=BC1,B1E=C1F,∴∴,∴FH∥B1C1.共

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页27则EH∥AB,所以∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面ABCD..B1E

B1HB1A

B1B,B1E

C1FB1A

C1B

B1H

C1F

B1B

C1B∵B1C1∥BC,∴FH∥BC.共

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页28

[反思感悟]

判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).共

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页29类型三平面与平面平行的证明方法解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外,

还有:(1)如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行.(2)如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行.共

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页302.平行问题的转化方向如图所示:共

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页31注意:(1)在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线”

中的“相交”两个字不能忽略,否则结论不一定成立.(2)若由两个平面平行来推证两条直线平行,则这两条直线必

须是这两个平行平面与第三个平面的交线,有时第三个平

面需要作出来.共

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页32【典例3】

如图所示,三棱柱ABC—A1B1C1,D是BC上一点,

且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:平面A1BD1∥

平面AC1D.共

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页33[证明]

连接A1C交AC1于点E,共

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页34∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴E是A1C的中点,连接ED,∵A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,∴A1B∥ED,∵E是A1C的中点,∴D是BC的中点.共

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页35又∵D1是B1C1的中点,∴在三棱柱ABC—A1B1C1中,BD1∥C1D,A1D1∥AD,又A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.共

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页36

[反思感悟]

证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的

判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平

行来证明.具体方法有:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都

平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;共

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页37

(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互

转化.共

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页38类型四线面平行中的探究问题解题准备:探究性问题,一般采用执果索因的方法,假设求解的

结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条

件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不

到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.共

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页39【典例4】

如图,在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PEED=21,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论?共

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页40

[解]

当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明:取PE的中点M,连接FM,PE=ED,共

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页41则FM∥CE.①由EM=知E是MD的中点.连接BM､BD,设BD∩AC=O,则O为BD的中点,连接OE所以BM∥OE.②由①②知,平面BFM∥平面AEC.又BF⊂平面BFM,所以BF∥平面AEC.12共

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页42错源一主观臆断,推理不严谨【典例1】

如图所示,已知E､F分别是正方体ABCD—

A1B1C1D1的棱AA1､CC1的中点.求证:四边形BED1F是平行四边形.共

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页43

[错证]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面

B1BCC1,由两平行平面与第三平面相交得交线平行,故

D1E∥FB,同理可证D1F∥EB,故四边形EBFD1为平行四边

形.[剖析]

主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理.

立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用

平面几何知识解题.∥∥∥共

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页44[证明]

取DD1的中点G,连接AG､FG.D∵AE∴D1EAB,又FG∴FG∴BF∴D1E∴四边形EBFD1为平行四边形.∥1G,

AG,∥

CD,CD

AB,

AG,

BF,∥∥共

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页45错源二以特殊代替一般,以偏概全致误【典例2】

已知α∥β,AB,CD是夹在α与β间的两条线段,点E,F分别在AB,CD上,且AE:EB=CF:FD=m:n,求

证:EF∥α,EF∥β.共

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页46[剖析]

容易利用下图(1)或图(2)中的特殊图形代替一般证明,

对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分析,由此产生特

殊代替一般的证明错误.共

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页47[证明]

当AB,CD共面时,如图(1)､(2)所示,根据平行线分线段

成比例定理,知EF∥AC,EF∥BD,立即推出EF∥α,EF∥β;

当AB,CD异面时,如图(3)所示,过点A作AG∥CD交平面β

于点G,连接DG,BG.过点F作FH∥AC交AG于点H,连接HE.

由α∥β,知AC∥GD,则HF∥GD,所以HF∥β;由于

AC∥HF∥GD,故CF:FD=AH:HG=m:n=AE:EB,则

EH∥BG,所以EH∥β.综上,可知平面EFH∥平面β,又α∥β,

故平面EFH∥平面α.由于EF⊂平面EFH,故EF∥α,EF∥β.共

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页48[评析]

在立体几何中当已知两条直线时,要充分考虑到这两

条直线的各种位置关系,不要只考虑两条直线共面的情况,

还要把它们异面的情况考虑进去.由于空间图形位置关系

的多样性,就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系

的一种解决问题的情况,导致解答不全.共

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页49技法

一题多解【典例】

一条直线分别与两个相交平面平行,那么这条直线

必与它们的交线平行.已知:平面α∩平面β=l,直线a∥平面α,直线a∥平面β.求证:直线a∥直线l.共

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页50

[证明]

证法一:作辅助平面.如图,∵a∥α,过a作平面δ交平面α于c,∴a∥c(线面平行的性

质定理).同理过a作平面γ交平面β于d,∴a∥d.共

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页51由公理4,a∥c,a∥d,得c∥d,又∵c⊄β,d⊂β,c∥d,∴c∥β(线面平行的判定定理).∵c∥β,c⊂α,α∩β=l,∴c∥l(线面平行的判定定理).又∵a∥c,∴由公理4,a∥l.共

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页52证法二:同一法.如图,在平面α和平面β的交线l上取一点A,过A作直线

l′∥a.∵a∥α,∴l′在α内(一条直线与一个平面平行,那么过平面内的一点且

与这条直线平行的直线都在这个平面内).共

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页53同理a∥β,∴l′也在β内.∴l′既在平面α内,又在平面β内.由公理3知l′就是平面α与平面β的交线,即l′与l重合.又∵l′∥a,∴l∥a.共

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页54证法三:利用平行线关系.如图,∵a∥α,∴过a作平面γ交平面α于不同于直线l的直线c,

则c∥a.共

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页55又∵a∥β,∴c∥β.而平面α是过c的平面且与平面β相交于直

线l.由线面平行的性质定理,得c∥l.又∵a∥c,由公理4知,a∥l.共

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页56证法四:借助辅助平面.如图,过平面α与平面β的交线l上一点A和直线a作平面γ.共

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页57∵γ与α、β有公共点A,则γ分别与α、β有过A的一条交线,设

为l′与l″,但过A点有且只有一条直线平行于a,∴l′与l″重合,且这条直线既在平面α内,又在平面β内,故一定

是平面α与平面β的交线l.∴l′、l″、l三条直线重合,则a∥l.共

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页58证法五:反证法.若直线a不平行于直线l,则a与l相交或异面.当a与l相交时,则a就与l所在的平面α和平面β相交,这与已知