沪教版初二上数学详细讲义

第一节二次根式【知识要点】4.最简二次根式(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次【学习目标】2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】【分析】二次根式要求根指数为2,所以(4)就不是二次根式，同时二次根式的被开方数必须是2.二次根式有意义的条件232?3(4)由—>0,即%+5<0,得x<-5,所以当A<-5时,-2意义;3.二次根式的化简<1)-T(-7)2；原式二丄j2=3?x=xy=^G5，；2它们的被开方数含有分母，所以(3)、(4)不是最22(6)届=3点；y]2x24-8A>'+8>'2=yj2(x+2y)2=|x+2v\y/2【基础训练】4?代数式轻中，字，的取值围是一8.下列各式中，是最简二次根式的是（)9?式子成立的/取值围为（）A?和beA.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负12.x<y,那么化简y)【能力提高】值.值4?在实数围分解因式第二节二次根式的运算【知识要点】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.2.二次根式的乘除法二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.把分母中的根号化去，叫做分母有理化.4.有理化因式两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.5.二次根式的混合运算在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.【学习目标】1?会进行二次根式的四则混合运算.2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】1.二次根式的四则混合运算3(3)原式=(436O(1)(-5^)X4^X(-?56V18-V2V3663ay/b-by/a(4)苗+羽■羽（V3-2V3+2）V3_>/3+2(2)(疔-苗->/?)(/?+布+3)；=血点-(苗+返川石+"+V2)j>'>'(a+b)yjab-by/ub-ayjab3?二次根式比较大小的常见方法【例6】比较下来各式的大小：“作商法”比较，第（4）题可用“分子有理化法”比较.4.一类特殊的二次根式求和问题用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.【基础训练】9.巧一血的倒数为（）uA.丄2\[a^.2?）1…J乞（）__________4_____________x（）A.―+V^B?一＞/6—C.Q5_\16D.+\/6（）22知?①))二次根式单元测试题（）2.在下列各式的化简中，化简正确的有（）①Jp"=a-Ja②5XV7-J7=4XJ73.已知二条线段的长分别为cm.巧cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线A.1)+（）?lI)---r-X^U的结=。：（V1：J第一节一元二次方程的概念【知识要点】①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.其中“未知数的最高次是指在合并同类项之后而言的.式.式3.二次项系数含有字母的一元二次方程二次项系数含有字母的方程是否是一元二次方程，需要对二次项系数进行讨论，要保证未数的最高次数2,只需要二次项系数不为04.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断未知数的一个值是不是这个方程的根数是2”知.5.特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征数和常数项的特征。如一元二次方程【知识要点】5.掌握一元二次方程的概念.6?—元二次方程的一般形式，能找出方程中各项的系数.【典型例题】22【分析】本题是概念判断题，要牢记符合一元二次方程应满足的条件..?.是一元二次方程2?.?方程分母含有未知数，不是整式方程它不是一元二次方程?.?方程中含有两个未知数它不是一元二次方程?.?符合一元二次方程的条件它是一元二次方程?.?二次项系数合并后为0,未知数最高次数为1.?.它不是一元二次方程。【注意】判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理，然后再根据条件：③未知数最高次数为2只有当这三个条件全部满足时，才能判断为一元二次方程.2.一元二次方程的一般式及各项系数的求法【例2】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数(1)血宀屈(2)(5X-1)2-3=0【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而盲的.所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式.22【点评】要认真区别方程的各项与各项的系数。待别要小心当某项的系数为负数时，指出时千万不要丢负号。对于字母系数方程的整理，应先明确其未知数，再确定各?就不是一元二次方程.【点评】要先把方程整理为一般式，然后再确定二次项的系数的条件.入原方程检验方程左右两边的值是否相等.因为方程左右两边的值相等，所以因为方程左右两边的值不相等，所以x=-4不是这个一元二次方程2x2-x=\2+x的根.根【点评】从这个一元二次方程看到，它的根的个数与一元一次方程是不同的.【例5】在下了方程中，哪些方程有一个根为果二次项系数与常数项的和等于一次项系数，则有一根为-1.【分析】解此题的关键是对一元二次方程和一元一次方程电脑概念的理解，不仅要对未知数系数讨论，还应注意未知数的最高次..【点评】此题应注意对X项的指数与系数的讨论.【例7】已知兀=1是方程界一〃以+1=0的根，化简J加2一6加+9一/^in+nr■之.之【点评】方程的根就是能够使方程左右两边值相等的未知数的值，所以我们可以把它代入到方程中，从而求出方程中其他字母的值.【基础训练】2.下列方程中，常数项为零的是()A.x2+x=lB.2X2-X-12=12；C.2(X-1)=3(X-1)D.2(X2+1)=X+22A.1B.73C.-V3D.±丫§14.若一元二次方程(m—2)X2+3(m'+15)x+mJ—4=0的常■数项是0,则m为一16.把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数19.若3x-x-l=0,求6X3+7X2-5X+2005的值.【知识要点】方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解.一元二次方程的一边是0,另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分解法求解.为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程的形式。配方法的步骤是：①把二次项系数化为另一边为常数项；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④将原方程变形为(x+加尸=n二.一元二次方程解法的运用及其思想方法配方法对所有的一元二次方程都适用，开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用在解一元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷(1)形如ax2+c=0(ac<0)的一元二次方程用开平方法或因式分解法(平方差公式)解;(2)形如o?+加=0("工0)的一元二次方程用因式分解法(提取公因式法)来解；(3)形如ax2+bx+c=O(abc^O)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)来解.【学习目标】第十七章学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程.第十八章掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例题】(1)4x2-256=0(2)73(X-1)2=>/27【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数常数的形式，再根据平方的定义求解。另外，“整体”思想在解方程时还是十分有用.即(A--1)2=>/3.-.X-1=±>/3所以，原方程的根是=-1,X2=2232【点评】对于第(2)题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根【例2】用因式分解解下列方程【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。所以可以把方程等号一边化为零分解成两个一次因式的积的形式而求出方程的解.0所以原方程的根是再=得(2+石)x+1+石=0或(2->/3)X+1-V3=0【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意把方程整理为一般式，如果左边的数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.【分析】对于二次项系数是1的方程，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平凡即可完成QQ3配方。对于二次项系数部不为1,则先将方程各项同时除以二次项系数后，再配方.两边同时加上一次项系数的一半的平方，得X2+8A:+42=9+42Q3方程；两边都加上一次项系数的一半的平方，得(七)弋)即X+-=±-【例5】用适当的方法解下列方程(1)2X2-5=0(2)5X2+2=2(1-A:)-X(X-1)2恰当方法，从而使解题过程准确、简捷.2(2)展开，整理，得4x2+x=0所以，原方程的根是xI=O,x2=方程两边同时除以3,得x2--x=--方程两边都加上一次项系数的一半的平方，得43整理，得(X-2)(3%+3)=02【点评】当一元二次方程本身特性不明显时，需要先将方程化为一般形式"H0,bH0,c=0时，可用因式法求解，如題(2)。式法求解，配方法做为一种重要的数学方法，也应掌握，如题(3)。而有一些一元二次方程有较明显的特征时，不一定都要化成一般式，如题2得x,=2,X2=--,对于这样的方程，一定注意不能把方程两边同肘除以也就是方程两边不能同时除以含有未知数的整式.【基础训练】2?方程(2A-3)2=5(2X-3)的两根为西=__________,吃=________?2y6.一个两位数的个位数字与十位数字的平方和等于29,且个位数字与十位数字之和为7,则这个两位数为______.________________?13.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是()根.根23?对于二次三项式x?10x+36,小颖同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值一定大于零。你是否同意她的说法？说明你的理由.第三节公式法解一元二次方程【知识要点】1?一元二次方程的解法：公式法2?公式法的运用及其思想方法公式法对所有的一元二次方程都适用，形如么芒+bx+c=O(abc^O)的一元二次方程用因式分解法(十字相乘法)或公式法来解?3?—元二次方程根的判别式我们把b2-4ac叫做ax2+bx+c=0(a^0)的根的判别式，用符号△来表示。对于一元二次方程上述判断反过来说，也是正确的。即当方程有两个实数根时，△=，一4仇?>()；当方程没有实数根时，△=夕一4〃?<0；4.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式厶值，最后根据△的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系但要去掉数(含字母)是③证明一元二次方程根的情况，可先把原方程化为一般形式，求出根的判别式，然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号，并由此得出结论.5.利用根的判别式解题时的几点注意②不解方程判定方程的根的情况要由"△;的符号判定；【学习目标】1?会用公式法解一元二次方程.2.利用根的判别式确定根的情况.【典型例题】(1)X2-7X-18=0(2)2X2+7X=4【分析】应用求根公式解一元二次方程，通常写成一般形式，并写出d、伙