2023版高考数学一轮总复习专题一高考中的导数应用问题第1课时导数方法证明不等式课件

专题一高考中的导数应用问题

函数与导数的综合问题一般是压轴题，一般两问，第一问考查求曲线的切线方程、求函数的单调区间、由函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数等，属于基础问题.第二问一般为利用导数证明不等式、不等式恒成立求参数的取值范围、求函数的零点等问题，考查函数的思想、转化的思想及分类讨论的思想.第1课时导数方法证明不等式

利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.

解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.题型一单变量不等式的证明考向1利用移项构造法证明不等式[例1]已知函数f(x)＝aex＋2x－1，其中e＝2.71828…是自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意的a≥1，当x＞0时，f(x)≥(x＋ae)x.【反思感悟】

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.【互动探究】考向2利用隔离分析最值法证明不等式[例2](2021年福州模拟)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.【反思感悟】

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.【互动探究】题型二双变量不等式的证明考向1构造换元法证明双变量不等式问题【反思感悟】双变量不等式的基础处理思路

(1)对不等式进行等价变形，把两个变量分离在不等式两端，①如果两端的解析式结构形式相同，则以该解析式的结构构造函数，问题等价于构造的函数具备某种单调性.②如果两端变量的解析式结构不同，即出现f(x1)＞g(x2)类的不等式，则只需证明f(x1)min＞g(x2)max.

(2)如果不能把两个变量分离在不等式两端，则可考虑使用实数的一个基本性质，即对实数a，b(b≠0)，一定存

【互动探究】

3.已知函数f(x)＝lnx－ax(x＞0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2).求证：x1x2＞e2.[例4](2021年蓉城名校联考)已知函数h(x)＝xe－x，如考向2极值点偏离问题果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2.x(－∞，1)1(1，＋∞)h′(x)＋0－h(x)证明：h′(x)＝e－x(1－x)，令h′(x)＝0，解得x＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表.由x1≠x2，不妨设x1>x2，根据h(x1)＝h(x2)结合图象(图略)可知x1>1，x2<1.令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)，则F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x，∵x≥1,2x－2≥0，∴e2x－2－1≥0，∴F′(x)≥0，∴F(x)在[1，＋∞)上单调递增，又∵F(1)＝0，∴x>1时，F(x)>F(1)＝0，即当x>1时，h(x)>h(2－x)，则h(x1)>h(2－x1)，又∵h(x1)＝h(x2)，∴h(x2)>h(2－x1)，∵x1>1，∴2－x1<1，∴x2，2－x1∈(－∞，1)，∵h(x)在(－∞，1)上单调递增，∴x2>2－x1，∴x1＋x2>2得证.【反思感悟】

近几年导数中双参问题经常出现，难度较大.破解含双参问题关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.【互动探究】4.(2021年豫北名校联考)已知函数f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明：x1＋x2>－2.(1)解：易得f′(x)＝ex＋1－k，当k>0时，令f′(x)＝0，当k≤0时，f′(x)＝ex＋1－k>0恒成立，故此时函数f(x)得x＝lnk－1，可得当x∈(－∞，lnk－1)时，f′(