2019届浙江省高中数学竞赛试卷1

2019届浙江省高中数学竞赛试卷2018-2019学年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.1.在多项式的展开式中的系数为．温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。2.已知,则实数．3.设在中有两个实数根,则的取值范围为．4.设,,且,则．5.已知两个命题,命题:函数()单调递增；命题：函数（）．若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为．6.设是中所有有理数的集合，对简分数，，定义函数，则在中根的个数为．7.已知动点，，分别在轴上，圆和圆上，则的最小值为．8.已知棱长为1的正四面体，的中点为，动点在线段上，则直线与平面所成的角的取值范围为．9.已知平面向量，，，满足，，，，若，则所有取不到的值的集合为．10.已知方程有三个根．若，则实数．二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）11.设，，，2，…．对每个，求的实数解．12.已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于，两点．若的中点为原点，直线交直线于．（1）求的大小；（2）求的最大值．13.设数列满足：，，1,2,3，…．证明：如果为有理数，则从某项后为周期数列．14.设，，；，，，证明：存在不全为零的数，，，使得和同时被3整除．15.设为的一个排列，记，，求．2017年浙江省高中数学竞赛答案一、填空题1.

2.2

3.4.（）5.

6.5

7.

8.9.

10.三、解答题11.证明：利用数学归纳法．（1）是的解．当时，是的解.当时，设，则.由此可得是的解（对于所有的）.（2）当时，．当时，．当时，设，则．由此可得都不是的解（对于所有的）．（3）当时，．当时，（）.当时，设，则．由此可得都不是的解（对于所有的）．因此，对每个，的实数解为．12.解：（1）联立可得．设点的坐标为，点的坐标为，则，．于是有．因为的中点为，所以，因此的斜率，因为直线交直线于，所以，故的斜率为，即得，因此与垂直，．（2）．令，则，由于，故.因此（当时取到最大值，也即）．综上所述，的最大值为．13.证明：（1）若为有理数，则为一个有理数数列．（2）对于任意的，设，，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：或．(*)与有相同的分母（不进行约分）．（3）设，，则，为整数，由于，1，2,3，…，因此．（4）若存在两个自然数，使得，则由（2）中得到的（*）递推公式以及，1,2,3，…，可得从第项开始是一个周期数列，周期为．（5）由（3）可知对于任意的，的值只有（有限个），故总能找到，使得，从而有．综上所述，如果为有理数，则从某项后为周期数列．14.证明：不妨设，，，，．则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数，，，使得．(*)记，这里．情形（1）当时，则，或者，不全为零．若，则取，，有（*）式成立．若，不全为零，不妨设，则取,,,且即(*)式.情形（2）当或2时，即．记，，这里，．令，，，则，，且不全为零，且，类似可以证明．综上所述，可以取到不全为零的数，，，使得（*）式成立．15.解：问题等价于圆周上放置个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为．不妨设，则数字1必与它相邻，否则设（，），则可将，，…，的数字改变为，，…，上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为．于是可确定．再说明数字2也必与数字相邻，即．事实上，若（），则交换，，…，为，，…，，此时的目标改变值为．因此目标取到最小值时，，，．由此出发，依次可得，．在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按