基础9解析几何排列组合

作业回顾作业回顾圆的方程𝐷)2=𝐸 𝐷2

+𝐸2

−

4𝐹2

4配方得：

(𝑥

+

)2+(𝑦

+2半径：圆心坐标：

(−

𝐷

,

−

𝐸)2

2𝐷2

+𝐸2

−4𝐹2标准方程：(𝑥−𝑥0)2+(𝑦−𝑦0)2=𝑟2一般方程：𝑥2

+𝑦2

+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0.(𝐷2

+

𝐸2

−

4𝐹

>

0)外离内切外切内含相离相切相交没有公共点一个公共点两个公共点圆的位置关系两圆位置关系的性质与判定0R―rR+r内含外离外切相交内切同心圆d位置关系数字化位置关系图形几何描述代数描述相离𝑑

>

𝑟方程组ቊ𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑥

−𝑥

2

+ 𝑦

−𝑦

2

=

𝑟20

0无实根，即∆<0.相切𝑑

=

𝑟方程组ቊ𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑥

−𝑥

2

+ 𝑦

−𝑦

2

=

𝑟20

0有两个相等的实根，即∆=0.相交𝑑

<

𝑟方程组ቊ𝑦=𝑘𝑥+𝑏𝑥

−𝑥

2

+ 𝑦

−𝑦

2

=

𝑟20

0有两个不等的实根，即∆>0.设直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑏,圆𝑂：𝑥−𝑥02

+𝑦−𝑦0

2

=𝑟2,𝑑为圆心到直线的距离.直线与圆的位置关系秒杀秘籍直线𝑥+A．323𝑦

−

2

=

0被圆

𝑥

−

1

2

+

𝑦2

=

1所截得的弦长为（

）．B．1

C．

2

D．

3

E．2秒杀秘籍】圆𝑥2

+ 𝑦

−

12

=

4与

𝑥

轴的两个交点是（

）.B. −2，0

，

2，0

C.0，

− 5

，

0，

5【A.

− 5，0

，

5，0D.

− 3，0

，

3，0E.

−

2，

− 3

，（2，

3）秒杀秘籍】圆𝑥2

−2𝑥+𝑦2

+4𝑦+1=0的圆心是（）.【A

−1,

−2

B

−1,2

C

−2,2

D

2,2E

1,

−2秒杀秘籍直线6𝑥

−

8𝑦

−2

=

0与3𝑥

−

4𝑦

+

4

=

0都是圆的切线，则圆的周长是（

）.A.𝜋2B.πC.3𝜋22D.2π

E.5

π【考点分析】概念性：加法原理，乘法原理，排列组合，平均值，方差.计算型：排列数，组合数，古典概型， 概型.推理型：加法公式，乘法公式，独立事件.难 点：区分排列组合，古典概型.数据分析步有𝑚𝑖

种方法,则完成这件事加法原理:

如果完成某件事共有𝑛

类办法, 第

𝑖

类有𝑚𝑖

种方法

,

则完成这件事共有𝑁

=

𝑚1

+

𝑚2

+

⋯

+

𝑚𝑛种不同的方法.加法分类，类类独立；乘法分步，步步相依.乘法原理:完成某件事情共分𝑛

个步骤, 第

𝑖共有𝑁=𝑚1𝑚2

⋯𝑚𝑛种不同的方法.分类计数原理和分步计数原理区别分类计数(加法原理)方法相互独立，任何法都可以独立地完成这件事.分步计数(乘法原理)各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．名称内容加法原理(分类)乘法原理(分步)定

义做一件事，完成它有𝒏类办法，

第一类办法中有𝑚1

种不同的方法第二类办法中有𝑚2

种不同的方法………第𝒏类办法中有

𝑚𝑛

种不同的方法那么完成这件事共有𝑁

=

𝑚1

+

𝑚2

+

⋯

+

𝑚𝑛种不同的方法.做一件事，完成它有𝒏个步骤，做第一步中有

𝑚1

种不同的方法做第二步中有

𝑚2

种不同的方法……做第𝒏步中有

𝑚𝑛

种不同的方法那么完成这件事共有𝑁

=

𝑚1𝑚2

⋯

𝑚𝑛种不同的方法.相同点做一件事或完成一项工作的方法数不同点直接（分类）完成间接（分步）完成两个原理的区别与联系从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？书架上有5本数学书、4本语文书和3本英语书，从中任取一本，有多少种不同取法？如果各取一本呢？用1，2，3，4，5五个数可以组成多少个无重复数字的三位数？无重复的三位奇数？用1，2，3，4，5五个数可以组成多少个三位数？三位偶数？用0，1，2，3可以组成多少个三位数？用0，1，2，3可以组成多少个无重复数字的三位数？4个信箱中投入3封信，共有多少种不同的投法？4本不同的书全部分给3人，共有多少种不同的分法？如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成第一步,

填涂A区域： m1

=

3

种,第二步,填涂B区：m2

=

2

种,第三步,填涂C区：m2

=

1

种,第四步,填涂剩下的最后一个区域：m3

=

1

种,所以根据分步计数原理,

得到不同的涂色方案种数共有N

=

3

×

2

×1×1=

6

种。【例】如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就不通。若发现电路不通了,

那么焊接点脱落的可能性共有（

）.CDBAEFA 63种 B64种 C

6种 D

36种 E

35种分析:由加法原理可知

𝐶1

+

𝐶2

+

𝐶3

+

𝐶4

+

𝐶5

+

𝐶6

=

636

6

6

6

6

6由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2−1=63排列的定义从𝑛个不同元素中任取𝑚个(𝑚≤𝑛)按照一定的顺序排成一列，叫做从𝑛个不同元素中取出𝑚

个元素的一个排列；从𝑛

个不同元素中取出𝑚

个元素的所有排列𝑛的个数，叫做从𝑛

个不同元素中取出𝑚

个元素的排列数，用符号𝐴𝑚表示。组合的定义：从𝑛个不同元素中任取𝑚(𝑚≤𝑛)个元素并成一组，叫做从𝑛个不同元素中取出𝑚个元素的一个组合；从𝑛

个不同元素中取出𝑚

个元素的所有组合的个数，𝑛叫做从𝑛

个不同元素中取出𝑚

个元素的组合数，用符号𝐶𝑚

表示。名称排

列组合定义从𝑛个不同元素中取𝑚个元素排成一列(有序)从𝑛个不同元素中取𝑚个元素并成一组(无序)符号𝐴𝑚𝑛𝐶𝑚𝑛计算𝐴𝑚

=

𝑛!𝑛

𝑛

−

𝑚

!=

𝑛(𝑛

−1)

⋯

(𝑛

−

𝑚

+

1)𝐶𝑚

=

𝑛!𝑛

𝑚! 𝑛

−

𝑚

!0!

=

1 ,

𝐶0

=

𝐶𝑛=

1𝑛

𝑛公式关系𝐴𝑚

=

𝐶𝑚𝐴𝑚𝑛

𝑛

𝑚性质𝐴𝑚

=

𝑛𝐴𝑚−1𝑛

𝑛−1𝐶𝑚

=

𝐶𝑛−𝑚𝑛

𝑛𝑛෍𝑖=0𝐶𝑖

=

2𝑛𝑛判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合𝐴={𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒}，则集合𝐴的含有3个元素的子集有多少个?组合问题排列问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？

组合问题10名同学分成人数相同的数学和英语两个学

组，共有多少种分法?审明题意，排组分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪.解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题.

其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”.加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类.平均分组问题【例】把6本不同的书平均分成3堆,每堆2本，共有多少种不同分法？6

4

2解:分三步取书得𝐶2𝐶2𝐶2种方法,但这里出现重复计数的现象.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要𝑛除以𝐴𝑛

(𝑛为均分的组数)避免重复计数。不妨记6本书为ABCDEF.

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,

该分法记为(AB,CD,EF),则𝐶2𝐶2𝐶2中还有6

4

2(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)

,(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)的分法

,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有𝐶2𝐶2𝐶2Τ𝐴3

种分法。6

4

2

37位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？5解法一:(特殊元素法)从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有𝐴2种;剩下的全排列,有

𝐴5

种;

𝐴25

5𝐴5=2400种;5解法二:(特殊位置法)将甲乙排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有𝐴2

种;再将其余同学全排列有𝐴5

种;𝐴2

∙𝐴5=2400种.5

5

5

5解法三:(排除法)先全排列有𝐴7

种,其中甲或乙站排头有2𝐴6

种,甲或乙站排7

6尾的有2𝐴6

种,甲乙分别站在排头和排尾的有𝐴2

∙𝐴5

种.62

5𝐴7

−4𝐴6

+𝐴2

∙

𝐴5

=

24007

6

2

5将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B