PPT工程制图全套教程（710）5

第5章基本体体及其其表面面交线线的投投影分分析目录.ppt教学提提示：在点点、直直线、、平面面投影影分析析的基基础上上，本本章主主要阐阐述基基本体体及基基本体体之间间相对对位置置交线线关系系的表表达和和识读读方法法。各各种基基本体体的表表达、、基本本体表表面上上取点点及两两基本本体之之间的的交线线求解解的方方法和和作图图，是是本章章的教教学重重点在教学学中，，要注注意引引导学学生认认真分分析基基本体体在投投影体体系中中所处处的位位置，，特别别是在在分析析和求求解平平面与与立体体、立立体与与立体体的交交线问问题时时根据据立体体的形形成原原理，，准确确判断断特殊殊位置置点所所处的的位置置，能能够选选择正正确的的求解解方法法，运运用投投影规规律求求出一一般点点的各各个投投影教学要要求：：要求求学生生通过过学习习本章章内容容，熟熟练掌掌握一一些典典型基基本体体的表表示方方法，，熟悉悉使用用各种种方法法完成成基本本体表表面上上点的的作图图，从从而学学会分分析和和求解解基本本体表表面的的各种种交线线的投投影，，同时时还要要掌握握利用用计算算机绘绘图软软件建建立基基本体体的三三维模模型●5.1基本体体概述述●5.2平面立立体的的投影影分析析●5.3曲面立立体的的投影影分析析●5.4平面与与立体体相交交●5.5立体与与立体体相交交本章内内容5.1基本体体概述述最基本本的单单一几几何形形体称称为基基本体体。任任何复复杂的的立体体都可可以看看成是是由形形状简简单的的立体体经过过叠加加或挖挖切后后组合合而成成。这这在数数学上上称为为布尔尔运算算。基基本体体可分分为平平面立立体和和曲面面立体体两大大类。。(1)平面立立体：：由若若干平平面所所围成成的几几何体体。常常见的的平面面立体体如棱棱柱体体、棱棱锥体体等。。(2)曲面立立体：：由曲曲面或或曲面面与平平面所所围成成的几几何体体。如如圆柱柱体、、圆锥锥体、、球体体和圆圆环体等等。平面立立体上上两平平面之之间的的交线线称为为立体体的棱棱线，，各个个棱线线的交交点称称为顶顶点。。平面面立体体的表表示方方法主主要是是画出出平面面立体体棱线线或各各顶点点的投投影图图。对于曲曲面立立体，，本章章主要要研究究回转转体，，凡是是一条条母线线(直线或或曲线线)绕一根根固定定的轴轴线旋旋转而而成的的曲面面，称称为回回转面面。回回转体体是由由回转转面或或回转转面与与平面面所围围成的的曲面面立体体，如如圆柱柱体、、圆锥锥体、、球等等。回回转体体的表表示方方法主主要是是画出出其上上各转转向轮轮廓线线的投投影5.2平面立立体的的投影影分析析由于平平面立立体的的各个个表面面都是是平面面图形形，因因此表表示平平面立立体的的关键键在于于画出出围成成立体体各表表面线线框的的投影影或它它们顶顶点的的投影影。绘制平平面立立体的的投影影图时时，应应注意意分析析平面面立体体上各各平面面和棱棱线相相对投投影面面的位位置置，明明确它它们的的投影影特性性，这这样就就可使使绘图图过程程思路路清晰晰，不不易出出错，，过程程简洁洁。由由于平平面立立体的的各条条棱线线都是是直线线，所所以只只要画画出平平面立立体各各顶点点的投投影，，再判判别可可见性性，依依次连连接即即可得得到棱棱线的的投影影。可可见的的用粗粗实线线表示示，不不可见见的用用虚线线表示示，即即可完完成平平面立立体的的投影影。1.棱柱的的形体体分析析棱柱有有两个个平行行的多多边形形底面面，所所有侧侧面均均垂直直于底底面。。一般般用底底面多多边形形的边边数来来区别别和命命名不不同的的棱柱柱，如如果底底面为为六边边形，，则称称之为为六棱棱柱；；如果果底面面为正正多边边形，，则称称之为为正棱棱柱。。2.棱柱的的投影影以正六六棱柱柱为例例，将将其置置入三三投影影面体体系中中(注意不不同的的放置置方式式得到到的投投影图图是不不同的的)，使正正六棱棱柱上上、下下两个个面平平行于于H面，前前后两两个棱棱面放放置的的同V面平行行，如如图5.1(a)所示。。这样样得到到的正正六棱棱柱的的投影影图如如图5.1(b)所示。。5.2平面立立体的的投影影分析析(a)(b)图5.1正六棱棱柱的的表示示法5.2平面立立体的的投影影分析析观察对对比该该正六六棱柱柱的空空间位位置和和三面面投影影，可可知其其投影影特性性为：：(1)水平投投影。。六棱棱柱上上、下下两个个底面面是水水平面面，其其水平平投影影反映映实形形(正六边边形)，两底底面的的投影影重合合。由由于六六棱柱柱的6个棱面面都垂垂直于于H面，所所以正正六边形形的6条边又又可以以表示示6个棱面面的投投影。。注意意前后后2个棱面面是正正平面面，其其他4个棱面面是铅铅垂面面。(2)正面投投影。。六棱棱柱的的上、、下两两个底底面，，其正正面投投影积积聚为为上、、下两两条直直线段段。最最左边边线段段a'b'是棱线线AB的正面面投影影，最最右边边有一一棱线线与其其相对对应。。这两两条棱棱线的的侧面面投影影相重重合，，都在在中间间a″b″，AB为可见见。c'd'是棱线线CD的正面面投影影，其其后面面也有有一条条棱线线EF与其对对应，，正面面投影影相互互重合合，CD为可见见。其其他线线段，，读者者可自自行分分析。。(3)侧面投影。。六棱柱的的上下两个个底面，其其侧面投影影同样积聚聚为上、下下两条直线线。在侧面面投影上，，最前与最最后的两条条直线(c″d″和e″f″)，既可以代表表前后两条条棱线(CD和EF)的投影，也也可以代表表前、后两两个棱面的的投影。在作图时，，可先用点点划线画出出水平投影影的对称中中心线和正正面投影、、侧面投影影的对称中中心线，再再画出正六六棱柱的水水平投影(为一正六边边形)，根据棱柱柱的高度画画出顶面和和底面的正正面投影与与侧面投影影。连接顶顶面、底面面对应顶点点的正面投投影和侧面面投影，即即可得到棱棱线和棱面面的投影。。可见棱线线画成粗实实线，不可可见棱线画画虚线，当当它们重合合时画成粗粗实线。5.2平面立体的的投影分析析1.棱锥的形体体分析棱锥有一个个多边形的的底面，所所有的侧棱棱线都交于于顶点。通通常用底面面多边形的的边数来区区别不同的的棱锥，如如底面为三三角形，称称之为三棱棱锥。底面面为四边形形称之为四四棱锥。若若棱锥的底底面为正多多边形，且且棱锥顶点点在底面上上的投影与与底面的形形心重合，，称之为正正棱锥。若若用一个平平行于底面面的平面切切割棱锥，，则棱锥位位于切割平平面与底面面之间的部部分称为棱棱台。2.棱锥的投影影以正三棱锥锥为例，将将其置入三三投影面体体系中，使使其底面与与H面平行，棱棱线AC垂直于W面，如图5.2(a)所示。正三三棱锥的投投影图如图图5.2(b)所示，其投投影特性为为(1)水平投影。。棱面ABC为水平面，，因此其水水平投影abc反应实形。。棱面SAB和SBC是一般位置置平面，其其水平投影影为实际图图形的类似似形。注意意到棱线AC是侧垂线，，因此包含含该棱线的的棱面SAC是侧垂面。。水平投影影sac为实际图形形的类似形形图形。(2)正面投影。。水平面ABC的正面投影影和侧面投投影都积聚聚为直线。。棱面SAB和SBC的正面投影影是实际图图形的相似似图形，都都可见。侧侧垂面SAC的正面投影影s′a′c′同样是实际际图形的类类似图形，，且不可见见。(3)侧面投影。。由于是从从左向右投投影，因此此棱面SAB是可见的，，棱面SBC不可见。侧垂面SAC则积聚为直直线。5.2平面立体的的投影分析析正三棱锥上上，各个棱棱线相对于于投影面的的位置，读读者可自行行分析。在在画棱锥的的投影图时时，可先从从反应底面面ABC实形的水平平投影画起起，画出ABC的三面投影影；再画出出顶点S的三面投影影。分别连连接顶点S同底面ABC各个顶点的的同面投影影，即可得得到三棱锥锥各棱面与与棱线的投投影图5.2正三棱锥的的表示法5.2平面立体的的投影分析析平面立体表表面的取点点问题，可可归结为平平面上的取取点问题，，即点在平平面上，则则点必在平平面上的一一条直线上上。通常，，可以过点点的已知投投影，在平平面立体的的相关棱面面上作一条条辅助线。。求出该辅辅助线的另另外两个投投影，则点点的另外两两个投影必必在辅助线线的同面投投影上。在在取点作图图过程中，，要注意给给定条件，，充分利用用积聚性。。下面举例例说明图解解过程【例5.1】已知正六棱棱柱表面上上一点K的正面投影影k′，试求其水水平投影和和侧面的位位置，投影影。如图5.3所示。分分析与与作图：由由于K点的正面投投影k′不可见，因因此其必在在棱柱左、、后表面上上，根据其其正面投影影可知K点应该在面面ABFE上。面ABFE为铅垂面，，其水平投投影积聚为为直线a(b)e(f)上。因此k必在直线a(b)e(f)上，根据投投影规律可可求出k。K点的正面投投影k′和侧面投影影k″连线垂直于于OZ轴，再利用用k点到棱柱对对称中心面面的坐标差差Y，即可求出出k″，如图5.3所示5.2平面立体的的投影分析析(a)(b)图5.3棱柱表面上上取点5.2平面立体的的投影分析析【例5.2】已知正三棱棱锥表面上上M点的正面投投影，N点的水平投投影，求M、N点的其他投投影(如图5.4所示(a)(b)图5.4棱锥表面上上取点5.2平面立体的的投影分析析分析与作图图：由于m′可见，所以以M点在棱面SAB上。棱面SAB为一般位置置平面，因因此可过S点作一辅助助直线SI，并作出SI的各个投影影，由于M点在SI上，M点必在SI的同面投影影上。辅助线SI的作法有两两种，一种种是过已知知两点，如如S点和M点。另一种种是过已知知一点并平平行于平面面内的一条条直线，如如过M点，平行于于AB。这里选用用的是第一一种方法。。由于n可见，所以以N点在棱面SAC上，注意到到棱面SAC是侧垂面，，其侧面投投影积聚成成直线s″a″(c″)。因此n″必在s″a″(c″)上。求出n″后，即可根根据投影规规律求出n′。此处也可可利用辅助助直线先求求出N点的正面投投影n′，再求出n″，注意侧面面投影在s″a″(c″)上。整个作作图过程如如图5.4所示。5.2平面立体的的投影分析析根据基本体体的投影图图绘制轴测测图，通常常首先确定定坐标原点点的位置，，原点一般般定在立体体的对称轴轴或对称面面上，且放放在顶面或或底面较为为方便，然然后绘出轴轴测轴。在在绘图过程程中，优先先确定形体体在轴测轴轴上的点和和线的位置置，并运用用平行投影影的投影特特性作图。。与投影轴轴不平行的的线，不可可直接测量量，一般先先定点后画画线，逐步步绘制，不不可见部分分省略不画画。【例5.3】如图5.5(a)所示，根据据正六棱柱柱的投影图图，绘制其其正等测图图。(a)(b)5.2平面立体的的投影分析析(a)(b)图5.5六棱柱正等等测图的画画法5.2平面立体的的投影分析析分析与作图图：六棱柱正等等测图的绘绘图步骤为为：(1)在投影图上上确定坐标标轴，如图图5.5(a)所示。坐标标轴符合“右手定则”，将坐标原原点定在上上顶面正六六边形的中中心，坐标标原点也可可定在其他他位置，不不影响最后后的形状。。(2)在轴测图上上，绘制出出轴测轴，，轴间角为为120°。A、D在X轴上，可以以很容易确确定其位置置。绘制出出过B、C及E、F点，平行于于X轴的两条直直线，量取取这些点与与Y轴的距离，，确定这些些点的位置置，如图5.5(b)所示。(3)过A、B、C、D、E、F点向下作平平行于Z轴的直线，，由尺寸H确定底面诸诸点，如图图5.5(c)所示。(4)连接底面诸诸点，并加加深，完成成六棱柱的的正等测图图，如图5.5(d)所示。注注意在最最终完成成的轴测测图中应应擦去轴轴测轴。5.2平面立体体的投影影分析曲面立体体的投影影可以看看成是曲曲面立体体所有面面的投影影，主要要的曲面面立体有有圆柱、、圆锥、、圆球和和圆环等等。这些些立体的的表面都都是由母母线(直线或圆圆)绕某一轴轴线旋转转而成的的，所以以它们又又称为回回转体。。本节主主要研究究回转体体的投影影。5.2平面立体体的投影影分析5.3.1常见曲面面立体的的形成方方式表5-1表示了4种常见回回转面的的形成方方式。圆柱面圆锥面圆球面圆环面5.3曲面立体体的投影影分析5.3.2圆柱1.圆柱的形形体分析析如图5.6(a)所示，圆圆柱由圆圆柱面及及上、下下底面所所围成。。其中圆圆柱面可可以看成成是由一一平行于于轴线的的直线(母线)绕其轴线线旋转而而成的。。在这里里，我们们把母线线在每一一时刻的的位置称称为素线线，因此此，圆柱柱面又可可看成是是无数条条平行于于轴线的的素线围围成的。。2.圆柱的投投影如图5.6(b)所示为一一轴线垂垂直于水水平投影影面的正正圆柱的的三面投投影。其其投影特特性为：：(1)水平投影影。由于于圆柱的的上、下下两个底底面为水水平面，，其水平平投影反反应实形形(圆平面)。正面投影和和侧面投影积积聚成直线；；圆柱面垂直直于H面，其水平投投影也具有积积聚性。(2)正面投影。在在正立投影面面上画出转向向轮廓线AC、BD的投影a′c′、b′d′，注意其侧面面投影在相应应的轴线(点画线)上，不需要画画出。(3)侧面投影。在在侧立投影面面上画出转向向轮廓线EG、FH的投影e″g″、f″h″，注意其正面面投影在相应应的轴线(点画线)上，不需要画画出。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.7圆锥的表示法法5.3曲面立体的投投影分析与圆柱相似，，对于正面投投影来说，转转向轮廓线SA、SB为圆锥面的虚虚实分界线。。即前半圆锥锥面可见，后后半个圆锥面面不可见；对对于侧面投影影，转向轮廓廓线SC、SD为圆锥面的虚虚实分界线。。即左半个圆圆锥面可见，，而右半个圆圆锥面不可见见；对于水平平投影来说，，底面不可见见，整个圆锥锥面都可见。。对于圆锥面面来说，其3个投影都没有有积聚性。画图时，可首首先画出圆锥锥体的轴线和和圆的中心线线，然后画出出投影为圆的的投影，最后后根据圆锥的的高度画出为为等腰三角形形的另外两个个投影图5.3曲面立体的投投影分析5.3.4球1.球的形体分析析如图5.8(a)所示，圆球由由圆球面所围围成。圆球面面可以看成是是一个母线圆圆绕其通过圆圆心的轴线(直径)旋转而成的。。2.球的投影如图5.8(b)所示为一圆球球体的三面投投影图，其投投影特性为：：(1)水平投影。为为一圆，该圆圆反映平行于于H面的最大素线线圆B的实形。其水水平投影和侧侧面投影与水水平中心线重重合，但不画画出。(2)正面投影。为为一圆，该圆圆反映平行于于V面的最大素线线圆A的实形。其水水平投影影与水平中中心线重合；；其侧面投影影与直立中心心线重合，但但不画出。(3)侧面投影。为为一圆，该圆圆反映平行于于V面的最大素线线圆C的实形。其水水平投影和正正面投影与直直立中心线重重合，但不画画出。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.8球的表示法5.3曲面立体的投投影分析注意，球的三三面投影都是是圆，但这3个圆分属于球球面上3个不同素线圆圆的投影。画画圆时一定要要画出中心线线。对于正面面投影来说，，前半个球面面可见，后半半个球面不可可见；对于水水平投影，上上半个球面可可见，下半个个球面不可见见；对于侧面面投影，左半半个球面可见见，右半个球球面不可见。。5.3曲面立体的投投影分析5.3.5圆环1.圆环的形体分分析如图5.9(a)所示，圆环体体由圆环面所所围成。圆环环面则由一母母线圆绕与该该圆共面但不不过圆心的轴轴线旋转而成成。2.圆环的投影如图5.9(b)所示为一轴线线垂直于水平平投影面的圆圆环体的三面面投影图，其其投影特性为为：(1)水平投影。为为一对同心圆圆，分别反映映圆环内、外外直径的真实实大小。(2)正面投影。两两个平行于V面的素线圆及及内、外圆环环面分界圆的的投影(即上、下两条条直线)。因为内圆环环面不可见，，所以素线圆圆靠近轴线的的一半画出虚虚线。(3)侧面投影。两两个平行于W面的素线圆及及内、外圆环环面分界圆的的投影(即上、下两条条直线)。素线圆靠近近轴线的一半半画出虚线。。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.9圆环体的表示示法5.3曲面立体的投投影分析如图所示，对对于正面投影影来说，外圆圆环面的前半半部分可见，，外圆环面的的后半部分及及内圆环面都都不可见；对对于侧面投影影来说，外圆圆环面的左半半部分可见，，外圆环面的的右半部分及及内圆环面都都不可见；对对于水平投影影来说，内、、外圆环面的的上半部分都都可见，下半半部分都不可可见。5.3曲面立体的投投影分析5.3.6回转体表面上上点的投影分分析在回转体表面面的平面上取取点的方法与与在平面立体体表面上的取取点方法相似似。分析时，，都是将点看看成是基本体体表面上某线线段上的点，，首先找到该该线段的投影影，然后再在在该线段上取取点。对于回回转体来说，，总是先作出出通过所求点点的某素线(直线或平行于于投影面的素素线圆)的投影，再利利用线段上取取点的方法求求作该点的投投影。以下分分别介绍在圆圆柱面、圆锥锥面、球面和和圆环面上取取点的方法。。1.圆柱面上取点点圆柱面上取点点，通常利用用圆柱面对某某一投影面的的积聚性进行行作图。【例5.4】如图5.10(a)所示，已知圆圆柱面上A点的正面投影影a′和B点的侧面投影影b″，求A、B两点的另外两两个投影。分析与作图：：由于a′可见，点A必在前半个圆圆柱面上，由由于点A在圆柱面上，，其水平投影影积聚在圆上上，根据投影影关系可求出出A的水平投影a。根据“高平齐”和“宽相等”的投影规律可可求出侧面投投影a″，注意A点在右半个圆圆柱面上，侧侧面投影a″不可见。根据B点侧面投影的的位置，可以以看出B点在圆柱的最最左轮廓线上上，根据点的的投影规律可可求出B点的正面投影影b′和水平投影b，如图5.10(b)所示5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.10圆柱面上取点点5.3曲面立体的投投影分析2.圆锥面上取点点圆锥面上取点点的作图原理理如图5.11所示。由于圆圆锥面的各个个投影都不具具有积聚性，，因此，取点点时必须借助助于辅助素线线或辅助圆。。图5.11圆锥面上取点点的作图原理理5.3曲面立体的投投影分析1)辅助素线法在圆锥面上，，先过已知点点和锥顶可以以做一条直素素线，再根据据点在直线上上的投影规律律，完成圆锥锥面上取点的的投影作图，，该方法称为为辅助素线法法。【例5.5】如图5.12(a)所示，已知圆圆锥面上点A的水平投影a，求作其正面面投影和侧面面投影。分析与作图：：过锥顶S和点A作一辅助线SE，先在水平投投影上过a确定SE的水平投影se，再求出其正正面投影s′e′和侧面投影s″e″，最后根据直直线上点的投投影规律，作作出a′和a″。注意判别A点的可见性，，由水平投影影可知，点A在圆锥面的前前半部分和左左半部分，故故a′和a″都可见。2)辅助圆法将所求之点看看成是圆锥面面上某一纬圆圆上的点。则则利用该纬圆圆的各个投影影，同样可以以完成圆锥面面上取点的投投影作图，该该方法称为辅辅助圆法，又又称为纬圆法法。辅助圆法法非常重要，，它是回转面面上取点的常常用方法。5.3曲面立体的投投影分析例5.6】如图5.12(b)所示，已知圆圆锥面上点B的正面投影b′，求作其水平平面投影和侧侧面投影。(a)辅助素线法(b)辅助圆法(纬圆法)图5.12圆锥面上取点点的投影作图图5.3曲面立体的投投影分析分析与作图：：由于圆锥的的轴线垂直于于H面，故过点B的辅助圆平行行于H面，水平投影影反映实形，，仍为一个圆圆；正面投影影和侧面投影影积聚为直线线。过b′作该辅助圆的的正面投影，，与最右轮廓廓线的正面投投影交于f′点；作出辅助助圆的水平投投影，注意该该圆的半径为为sf。根据点B在圆上以及点点的投影规律律，可求出B点的水平投影影b及侧面投影b″。由b′可知，点B在圆锥面的前前半部和右半半部，故b可见而b″不可见。3.球面上取点在球面上取点点，只能利用用平行于某一一投影面的辅辅助圆来进行行作图，这是是因为形成球球面的母线是是圆，因而在在球面上没有有直线可用来来作为辅助线线。【例5.7】如图5.13(a)所示，已知球球面上点C的水平投影c，求作其正面面投影和侧面面投影。分析与作图：：过C点在球面上可可作一水平辅辅助圆，其水水平投影是以以oc为半径的圆，，正面投影和和侧面投影均均为直线。由由此即可求出出c′和c″，其作图方法法如图5.13(b)所示。从水平平投影c可以看出，C点位于右半球球和后半球上上，因此c′和c″都不可见。实实际上，在球球面上过C点也可以作正正平圆或侧平平圆，读者可可自行分析。。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.13球面上取点的的投影作图5.3曲面立体的投投影分析4.圆环面上取点点在圆环面上取取点，同样只只能利用垂直直于回转轴线线的辅助圆来来求解，因为为圆环表面亦亦无直线。【例5.8】如图5.14(a)所示，已知圆圆环面上点D的正面投影d′，求作该点的的水平投影和和侧面投影。。(a)(b)图5.14圆环面上取点点的投影作图图5.3曲面立体的投投影分析分析与作图：：圆环面的轴轴线垂直于H面，因此可过过D点在圆环面上上可作一水平平辅助圆，该该圆的正面投投影和侧面投投影积聚为直直线，由此可可作出水平投投影d和侧面投影d″。其作图过程程如图5.14(b)所示。由于正正面投影d′可见，D点位于外环面面的下半部分分、前半部分分和左半部分分。因此d和d″都可见。常见的不完整整回转体见表表5-2。5.3曲面立体的投投影分析半圆柱1/4圆柱圆台半球1/8球1/4圆环表5-2不完整回转体体5.3曲面立体的投投影分析5.3.7回转体的正等等测图1.圆柱的正等测测图【例5.9】如图5.15(a)所示，根据圆圆柱的投影图图绘制其正等等测图。分析与作图：：绘制圆柱的的正等轴测投投影时，应先先绘制出平行行于投影面的的上、下底圆圆的正等测图图(一般采用前述述四心椭圆法法近似代替圆圆的正等测)，然后作出两两个椭圆的公公切线。在轴轴测投影图上上不可见的线线一般不画，，所以在绘制制圆的正等轴轴测投影时，，应先画完全全可见的部分分，平行圆的的轴测投影可可用平移圆心心的方法绘制制。作图步骤骤如下：(1)如图5.15(a)所示，设定坐坐标轴，将原原点设置在圆圆柱顶面圆的的圆心处。(2)绘制轴测轴，，用四心椭圆圆法近似绘制制出圆柱顶面面圆的正等轴轴测投影，如如图5.15(b)所示。。(3)移动圆圆柱顶顶面圆圆的正正等轴轴测投投影中中的三三段圆圆弧的的圆心心，移移动距距离为为圆柱柱的高高度，，绘制制圆柱柱底面面圆的的正等等轴测测投影影。因因为只只有前前面和和左、、右两两段圆圆弧的的一部部分可可见，，所以以只需需绘制制出三三段圆圆弧即即可，，如图图5.15(c)所示。。(4)作上、、下两两个椭椭圆的的公切切线，，擦去去多余余不可可见部部分的的线和和轴测测轴，，完成成结果果如图图5.15(d)所示。。5.3曲面立立体的的投影影分析析5.3.7回转体体的正正等测测图(a)(b)(c)(d)图5.15圆柱的的正等等测图图5.3曲面立立体的的投影影分析析2.圆台的的正等等测图图圆台(锥)的正等等测图图的求求解思思路与与圆柱柱相同同，也也是首首先绘绘制平平行于于投影影面的的上、、下底底圆的的正等等测，，然后后作出出两椭椭圆之之间的的公切切线。。如图图5.16(a)、图5.16(b)分别表表示某某圆台台的两两面投投影和和正等等测的的作图图步骤骤。图5.16圆台的的正等等测图图(a)(b)5.3曲面立立体的的投影影分析析3.带圆角角四棱棱柱的的正等等测图图工程对对象中中常见见一种种矩形形底板板结构构，其其顶角角处常常有1/4圆柱与与之相相切，，如图图5.17(a)所示，，这种种结构构称为为圆角角。对对于圆圆角的的正等等测图图，往往往也也采用用近似似画法法，即即根据据已知知圆弧弧半径径R，找出出切点点A、B、C、D，过切切点作作边线线的垂垂线，，两垂垂线的的交点点即为为圆心心，以以圆心心到切切点的的距离离为半半径，，即能能画出出顶圆圆左右右圆角角的正正等测测图。。将切切点和和圆心心平行行下移移底板板厚度度，绘绘制圆圆弧，，完成成底面面左右右圆角角的正正等测测图，，如图图5.17(b)所示(a)(b)图5.17圆角的的正等等测图图的近近似画画法5.3曲面立立体的的投影影分析析5.3.8基于CAD三维建建模技技术的的基本本体创创建AutoCAD支持的的3种三维维建模模类型型包括括：线线框建建模、、曲面面建模模和实实体建建模。。其中中实体体建模模技术术可使使用下下拉菜菜单“绘图/实体”命令调调出，，或单单击如如图5.18所示的的“实体”工具栏栏中的的工具具按钮钮，可可以很很方便便地创创建基基本平平面立立体和和回转转体。。图5.18“实体”工具栏栏5.3曲面立立体的的投影影分析析常用的的创建建基本本体的的CAD建模方方法见见表5-3。长方体体(BOX)楔体(WEDGE)圆柱(CYLINDER)圆锥(CONE)按钮命令图示说明指定长方体的两个角点1和2，和长方体的高3

指定楔体的两个角点1和2，和楔体的高3

指定圆柱体底面圆的中心点1，指定圆柱的半径2和圆柱的高3指定圆锥体底面圆的中心点1，指定圆锥的半径2和圆柱的高3表5-3基本体体的创创建命命令及及说明明5.3曲面立立体的的投影影分析析球体(SPHERE)圆环体体(TORUS)按钮命令图示说明指定球心1和球的半径2指定圆环体的中心1，指定圆环体中心到圆管中心的距离2和圆管半径3（续））5.3曲面立立体的的投影影分析析“拉伸”(EXTRUDE)命令是是创创建基基本体体的另另一种种常用用方法法，可可以将将封闭闭多边边形、、圆、、椭圆圆、封封闭样样条曲曲线、、圆环环和面面域等等平面面，在在给定定其高高度或或路径径后，，拉伸伸为柱柱体或或锥(台)体。如图5.19(b)、(c)、(d)所示，，分别别是由由图5.19(a)所示的的平面面正五五边形形，通通过拉拉伸命命令中中的“指定定拉拉伸伸高高度度”选项项拉拉伸伸而而成成的的正正五五棱棱柱柱、、正正五五棱棱台台和和正正五五棱棱锥锥。。而而如如图图5.20所示示的的L型柱柱体体，，则则是是在在准准备备好好如如图图5.20(a)所示示的的底底圆圆和和拉拉伸伸路路径径后后，，通通过过命命令令中中的的“指定定拉拉伸伸路路径径”选项项拉拉伸伸而而成成的的。。拉拉伸伸路路径径可可以以是是直直线线、、圆圆、、圆圆弧弧、、椭椭圆圆、、椭椭圆圆弧弧、、多多段段线线或或样样条条曲曲线线。。拉拉伸伸实实体体始始于于轮轮廓廓所所在在平平面面，，终终于于路路径径端端点点处处与与路路径径垂垂直直的的（a)(b)(c)(d)图5.19使用用“拉伸伸”命令令中中的的“指定定拉拉伸伸高高度度”选项项创创建建基基本本体体5.3曲面面立立体体的的投投影影分分析析(a)(b)图5.20使用用“拉伸伸”命令令中中的的“指定定拉拉伸伸路路径径”选项项创创建建基基本本体体5.3曲面面立立体体的的投投影影分分析析“旋转转”(REVOLVE)命令令是是创创建建回回转转体体的的一一个个常常用用方方法法。。该该命命令令通通过过将将某某一一封封闭闭的的二二维维对对象象围围绕绕旋旋转转轴轴线线旋旋转转一一定定角角度度来来创创建建实实体体，，如如图图5.21所示示。。可可以以旋旋转转闭闭合合多多段段线线、、多多边边形形、、圆圆、、椭椭圆圆、、封封闭闭样样条条曲曲线线、、圆圆环环和和面面域域。。一一次次只只能能旋旋转转一一个个对对象象。。根根据据右右手手定定则则确确定定旋旋转转的的方方向向。。(a)(b)图5.21应用“旋转”命令创建建回转体体5.3曲面立体体的投影影分析5.4平面与立立体相交交一个机器器零件往往往可看看成是由由两个或或多个基基本体组组合而成成，或者者是某个个基本体体经一个个或多个个平面切切截而成成，因此此其表面面上常见见的交线线有两种种：一种种是平面面(称为截平平面)与立体相相交，在在立体表表面产生生的交线线，称为为截交线线；另一一种是两两立体相相交，在在立体表表面产生生的交线线，称为为相贯线线。如图5.22(a)所示的拉拉杆头，，是一个个回转体体被前后后对称的的两平面面所截切切的结果果，其截截交线由由两部分分光滑连连接而成成：一部部分是截截平面与与圆球的的交线，，另一部部分是截截平面与与圆弧回回转面的的交线；；图5.22(b)所示的顶顶尖，其其头部可可以看作作是圆锥锥和圆柱柱被平面面截切的的结果(a)(b)图5.22拉杆头和和顶尖头头部截交线有有如下两两个基本本性质：：(1)封闭性。。由于相相交的立立体占有有一定的的空间，，所以截截交线一一般是一一个封闭闭的平面面图形，，且其形形状与大大小取决决于立体体的形状状及截平平面与立立体的相相对位置置。(2)共有性。。即截交交线既在在立体表表面上，，又在截截平面上上，是二二者共有有点的集集合。因因此，求求作截交交线的投投影可归归结为求求作立体体表面上上一系列列的线段段(棱线、纬纬圆或素素线)与截平面面的交点点，然后后将其按按一定顺顺序连线线即可。。值得注意意的是：：如果立立体的形形状确定定，截平平面与立立体的相相对位置置也确定定，则在在两者相相交后，，截交线线的形状状便会自自然产生生，而不不是由人人工刻意意要求的的。因此此，在求求作截交交线投影影时，必必须首先先根据相相交立体体的形状状和截平平面相对对于立体体的位置置来分析析截交线线的性质质和形状状，然后后再根据据几何作作图原理理和投影影三等定定理找到到截交线线的投影影。5.4平面与立立体相交交5.4.1平面与平平面立体体相交平面与平平面立体体相交的的截交线线是平面面多边形形。平面面多边形形的每条条边是截截平面与与立体各各棱面的的交线，，而多边边形的顶顶点是截截平面与与各棱线线的交点点。因此此，平面面立体上上截交线线的投影影作图，，可视为为求棱线线与截平平面的交交点，或或求棱面面与截平平面的交交线。如如图5.23所示为一一个三棱棱锥被平平面所截截切，其其交线Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-ⅠⅠ即为截交交线。从从图中可可以看出出，这条条截交线线是一个个封闭的的平面三三角形，，其3个顶点正正是截平平面与三三棱柱的的3条棱线的的交点，，3条边就是是截平面面与3个棱面的的交线。。图5.23平面与平平面立体体相交5.4平面与立立体相交交1.根据棱线线与截平平面的交交点求平平面与平平面立体体的截交交线【例5.10】如图5.24(a)所示，为为一正垂垂面与三三棱锥相相截，求求棱锥的的水平投投影和侧侧面投影影。图5.24正垂面截截切三棱棱锥5.4平面与立立体相交交分析与作作图：由由于截平平面为特特殊位置置平面(正垂面)，根据直直线与平平面求交交点的方方法，可可以直接接求出棱棱线SA、SB、SC与截平面面的交点点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投投影1′、2′、3′。根据投投影关系系，可求求出相应应的水平平投影1、2、3。依次连连接各点点的同面面投影，，即可得得到截交交线的水水平投影影和正面面投影。。其作图图过程如如图5.24(b)所示。在在求出截截交线的的投影后后还应注注意判断断截交线线的可见见性，如如果截交交线所在在的平面面可见，，则截交交线可见见，否则则不可见见2.根据棱面面与截平平面的交交线求平平面与平平面立体体的截交交线【例5.11】如图5.25(a)所示，为为一个正正五棱柱柱被一侧侧平面和和一正垂垂面相截截，求作作截切后后正五棱棱柱的侧侧面投影影。分析与作作图：一一般情况况下，对对于平面面立体带带切口的的截交线线问题，，截平面面通常都都是一些些特殊位位置的平平面，这这时可以以根据截截平面相相对于投投影面的的位置来来求截交交线如果截平平面是投投影面平平行面，，则它有有两个积积聚性的的投影，，此时要要根据具具体情况况判断出出截断面面(平面多边边形)的实形，，作出其其投影。。例如，，如图5.25(a)所示的位位置为侧侧平面的的截平面面，已知知的是两两个有积积聚性的的投影(正面投影影和水平平投影为为直线)，求作的的侧面投投影应该该反映该该截断面面的实形形。由于于该截平平面与正正五棱柱柱的两个个棱面相相交，与与顶面和和另一位位置为正正垂面的的截平面面相交，，因而可可以判断断出实形形应该是是一个矩矩形5.4平面与立立体相交交如果截平平面是投投影面垂垂直面，，则它有有一个投投影积聚聚为直线线，另两两个投影影应为类类似形线线框。此此时可根根据投影影面垂直直面投影影的类似似性原理理，判断断出该截截平面在在空间和和另一个个投影的的特性，，根据该该投影特特性作图图。如图图5.25(a)所示的位位置为正正垂面的的截平面面，已知知投影为为正面投投影(积聚为直直线)和水平投投影(五边形)，因此，，求作的的另一个个投影即即侧面投投影也应应该为一一个类似似形线框框(五边形)，如图5.25(b)所示。(a)(b)图5.25正垂面和和侧平面面截切五五棱柱5.4平面与立立体相交交在作图过过程中，，还应该该注意整整理轮廓廓线(五棱柱的的最前和和最后两两个棱线线被正垂垂面截去去)，以及求求出两截截平面之之间的交交线(正垂线)。5.4平面与立立体相交交5.4.2平面与曲曲面立体体相交平面与曲曲面立体体相交，，截交线线一般是是封闭的的平面曲曲线；在在特殊情情况下，，截交线线可能由由直线和和曲线或或完全由由曲线所所组成。。曲面立立体的形形状不同同，截交交线相对对于立体体的位置置不同，，截交线线的形状状也不相相同。因因此，在在求作截截交线的的过程中中，首先先要判断断出截交交线段是是何种性性质的曲曲线，再再根据实实际情况况使用相相应的方方法如曲曲面立体体表面上上取点的的方法来来作图。。1.平面与圆柱柱相交根据截平面面相对于圆圆柱轴线的的不同位置置，其截交交线有3种情况，见见表5-45.4平面与立体体相交截平面的位置与轴线垂直与轴线平行与轴线倾斜名称圆两平行直线椭圆立体图视图表5-4圆柱的截交交线5.4平面与立体体相交求作截交线线投影的步步骤一般有有以下3个过程：(1)求特殊点。。特殊点包包括两类点点，①相交交曲线上的的特征点，，如圆的一一对垂直相相交的、分分别平行于于相应投影影轴的直径径与该圆的的四个交点点、椭圆长长、短轴上上的端点，，抛物线和和双曲线上上的顶点和和两个对称称的最低点点等；②相相交曲线上上的最高、、最低、最最左、最右右、最前和和最后点以以及回转体体转向轮廓廓线(即特殊素线线)上的点，这这些点往往往围成了截截交线的大大致范围。。要注意的的是，上述述这些特殊殊点并不是是截然分开开的，有时时一个特殊殊点同时兼兼有几种性性质。(2)求中间点。。在特殊点点求出后，，往往还不不能确定截截交线的形形状，因此此应根据需需要在特殊殊点之间插插入一些中中间点，以以便完成曲曲线的光滑滑连接。(3)判别可见性性，光滑连连接。5.4平面与立体体相交【例5.12】】如图5.26(a)所示，为一一圆柱体被被一正垂面面相截，要要求画出截截切后圆柱柱的侧面投投影。分析与作图图：由于截截平面倾斜斜于圆柱的的轴线，因因此截交线线为一椭圆圆。由如图图5.26(a)所示可以看看出，截交交线的水平平投影和正正面投影均均具有积聚聚性，作图图步骤为：：(1)求特殊点。。如图5.26(b)所示，Ⅰ和Ⅳ点为最左和和最右轮廓廓线上的点点，也是最最低点和最最高点，同同时也是空空间椭圆长长轴上的点点。Ⅱ点和Ⅲ点为最前和和最后轮廓廓线上的点点，同时也也是空间椭椭圆短轴上上的点。(2)求中间点。。Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ点为作图需需要的中间间点。可根根据圆柱面面水平投影影具有积聚聚性，利用用点的投影影规律作图图。(3)判别可见性性，光滑连连接。在求求出这些点点的侧面投投影后，可可以看出这这些点的侧侧面投影均均可见，光光滑连接后后，如图5.26(b)所示。(4)整理轮廓线线。可以看看到，自Ⅱ点和Ⅲ点向上，圆圆柱最前和和最后轮廓廓线被切去去。5.4平面与立体体相交图5.26正垂面与圆圆柱相交(a)(b)5.4平面与立体体相交2.平面与圆锥锥相交平面与圆锥锥相截，根根据截平面面与圆锥轴轴线的相对对位置，其其截交线有有五种情况况，见表5-5。截平面位置与轴线垂直与轴线倾斜且与所有素线相交平行于任一素线平行于轴线通过锥顶截交线名称圆椭圆抛物线双曲线两相交直线(直素线)立体图表5-5圆锥的截交交线5.4平面与立体体相交截平面位置与轴线垂直与轴线倾斜且与所有素线相交平行于任一素线平行于轴线通过锥顶投影图(续)5.4平面与立体体相交【例5.13】】如图5.27(a)所示，为圆圆锥被正垂垂面所截，，求作截切切后圆锥的的水平投影影和侧面投投影。(a)(b)图5.27正垂面与圆圆锥相交5.4平面与立体体相交分析与作图图：由于正正垂面与圆圆锥的所有有素线都相相交，因此此截交线为为一椭圆。。对于椭圆圆，其特征征点应该是是其长、短短轴的4个端点。由由图5.27可明显看出出，Ⅰ、Ⅱ点是长轴上上的两点，，也是最高高点和最低低点，其正正面投影在在1′和2′。注意到椭椭圆的长、、短轴之间间垂直平分分，因此短短轴上的两两点Ⅲ、Ⅳ的正面投影影3′和4′在1′、2′两点连线的的中点处，，Ⅲ、Ⅳ同时也是最最前点和最最后点。Ⅴ、Ⅵ两点为对W面转向轮廓廓线上的两两点，其正正面投影在在5′、6′。两点为一一般位置点点。整个作作图步骤为为：(1)求特殊点。。这些特殊殊点包括Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ。已知这些些点的正面面投影，对对于转向轮轮廓线上的的点可直接接利用投影影关系作图图。对于其其他非转向向轮廓线上上的点，可可利用辅助助圆法作图图。(2)求中间点。。对于Ⅶ、Ⅷ可利用辅助助圆法作图图。(3)判别可见性性光滑连接接。对于水水平投影来来讲，圆锥锥面上的点点都可见。。对侧面投投影来讲，，左半个圆圆锥面可见见，右半个个圆锥面不不可见。因因此Ⅰ、Ⅴ、Ⅵ三个点的侧侧面投影可可见，其他点的侧侧面投影不不可见。(4)整理轮廓线线。对于侧侧面投影来来说，从Ⅴ、Ⅵ两点往上，，圆锥的最最前和最后后轮廓线被被截去。整整个作图过过程如图5.27(b)所示5.4平面与立体体相交3.平面与球相相交平面与球相相交，无论论平面与球球的相对位位置如何，，其截交线线都是圆。。但由于截截平面对投投影面的位位置不同，，所得到的的截交线(圆)的投影也不相相同。【例5.14】如图5.28(a)所示，求作铅铅垂面与圆球球的截交线。。分析与作图：：由于截平面面为铅垂面，，所以截交线线(圆)的水平投影积积聚为一条直直线，而正面面投影和侧面面投影均为椭椭圆。其作图图步骤如下所所述。(1)求特殊点。①①椭圆长、短短轴的端点：：点Ⅰ、Ⅱ的正面投影1、2和侧面投影1″、2″分别为V面和W面上椭圆短轴轴的端点；在在H面上，过球心心的水平投影影向1、2作垂线，垂足足为1、2的中点，此点点即为椭圆长长轴两端点的的水平投影3、4利用辅助圆法法和点的投影影规律可求出出其正面投影影3′、4′和侧面投影3″、4″；②特殊素线线圆上的点：：球面上对W面的转向轮廓廓线与截平面面的交点为Ⅴ、Ⅵ，对V面的转向轮廓廓线与截平面面的交点为Ⅶ、Ⅷ，这些点均可可利用各轮廓廓线的投影规规律求得。(2)求中间点。作作出若干中间间点以使投影影作图更加准准确。(3)判别可见性并并光滑连接。。(4)整理轮廓线。。整个作图过过程如图5.28(b)所示。5.4平面与立体相相交(a)(b)图5.28铅垂面截切圆圆球5.4平面与立体相相交5.4.3截交线投影分分析综合举例例在实际应用中中，立体被平平面所截的情情况是比较复复杂的。除了了被单一的平平面所截切之之外，还包括括单个立体被被多个截平面面所截、多个个立体组合后后被一个或多多个平面所截截等情况。因因此在求解截截交线投影的的过程中，关关键的一步是是准确地分析析及判断形体体。即首先要要根据所给条条件判断被截截基本体的类类型及其投影影特性、截平平面与被截基基本体的相对对位置及与投投影面的相对对位置，从而而确定所求截截交线的空间间形状和投影影形状。下面面通过几个例例子进一步说说明。【例5.15】根据如图5.29(a)所示物体的投投影，求作其其完整的水平平投影和侧面面投影。分析与作图：：首先根据所所给投影(如图5.29(a)所示)可知，这是一一个轴线垂直直于W面的圆柱被一一水平面和一一正垂面所截截。对于位置置为水平面的的截平面，由由于其与圆柱柱的轴线平行行，所以截交交线应为两平平行轴线的直直线(即直素线)。对于位置为为正垂面的截截平面，由于于其与圆柱的的轴线倾斜，，但没有完全全截切圆柱，，因此截交线线应为椭圆弧弧。两截平面面之间的交线线ⅣⅤ是一条正垂线线，也是上述述两段截交线线的分界线；；交线的两个个端点Ⅳ、Ⅴ正是上述两段段交线的起点点和终点。为清楚起见，，作图时可在在V面投影上标出出特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的正面投影上上1′、2′(3′)、4′(5′)，根据圆柱侧侧面投影所具具有的积聚性性，求出其水水平投影。作作出各点的投投影后，判别别可见性，光光滑连接。最最后注意整理理轮廓线，以以及截平面之之间的交线(正垂线)。整个作图过过程如图5.29(b)所示。5.4平面与立体相相交(a)(b)图5.29水平面和正垂垂面截切圆柱柱5.4平面与立体相相交【例5.16】根据如图5.30(a)所示的立体，，求作其完整整的水平投影影和侧面投影影。分析与作图：：很明显，这这是一个轴线线垂直于H面的正圆锥被被两个正垂面面所截。对照照前述圆锥截截交线的五种种情况，对于于过锥顶的正正垂面，其截截交线应为过过锥顶的两条条直素线。因因此只要利用用辅助圆法求求出Ⅶ、Ⅷ的水平投影和和侧面投影，，连接锥顶和和Ⅶ、Ⅷ的同面投影即即可作出截交交线的两面投投影。而另一个正垂垂面的截平面面，由于其与与圆锥的轴线线倾斜，延长长后与圆锥的的所有素线相相交，因此截截交线应为椭椭圆连线弧(没有完全截切切圆锥)。在V面上延长该截截平面与圆锥锥的最右轮廓廓线相交于2′点。取1′、2′的中点3′(4′)为椭圆短轴上上两点的正面面投影，同时时也为该椭圆圆上的最前点点和最后点。。Ⅴ和Ⅵ为圆锥面上最最前和最后轮轮廓线上的两两点。利用辅辅助圆法和圆圆锥轮廓线上上点的投影特特性，可以求求出这些点的的另外两个投投影。Ⅸ、Ⅹ两点为中间点点，可用辅助助圆法求出其其另外两个投投影。在求出出特殊点和中中间点后，判判别可见性并并光滑连接。。整理轮廓线。。可以看出在在W面上，Ⅴ和Ⅵ点以上的圆锥锥的最前和最最后轮廓线被被截去。最后后注意两个截截平面之间的的交线及其可可见性，整个个作图过程如如图5.30(b)所示。5.4平面与立体相相交图5.30水平面和正垂垂面截切圆柱柱5.4平面与立体相相交【例5.17】如图5.31(a)所示，组合回回转体被一水水平面和一正正垂面所截，，求作其完整整的水平投影影和侧面投影影。分析与作图：：从投影图可可以看出该组组合回转体左左边的半球和和右边的圆柱柱相切而成。。截平面为一一个水平面和和一个正垂面面。其中，水水平面同时截截切半球和圆圆柱的一部分分，正垂面只只截切圆柱。。水平面与半半球相截，截截交线为一半半圆，该半圆圆的水平投影影反应实形，，侧面投影积积聚为直线。。水平面与圆圆柱相截，截截交线为两条条相互平行的的直线。正垂面与圆柱柱相截，由于于该正垂面与与圆柱的轴线线倾斜，且没没有与圆柱完完全相截，截截交线为椭圆圆弧。可利用用圆柱面上取取点的方法求求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ这5个点的水平投投影和侧面投投影。注意两两个截平面之之间的交线，，交线为正垂垂线。整个作作图过程如图图5.31(b)所示。5.4平面与立体相相交(a)(b)图5.31组合回转体被被截5.4平面与立体相相交工程零件上常常见的还有一一类带切口的的基本体，其其立体形状与与三面投影见见表5-6。实心圆柱含轴线切槽实心圆柱两边切槽空心圆柱含轴线切槽空心圆柱两边切槽表5-6常见的带切口口基本体的投投影5.4平面与立体相相交5.4.4使用CAD系统产生截交交线在AutoCAD中，可以使用用“截面”(SECTION)命令获得实体体模型在任意意位置被截平平面截交产生生的截交线(实质上，AutoCAD使用定义的截截平面和实体体的交集创建建一个面域)。在选定了被截截对象后，系系统提供了很很多选项来定定义截平面，，如指定截面面上的3个点、或依照照对象(O)/Z轴(Z)/视图(V)/XY平面(XY)/YZ平面(YZ)/ZX平面(ZX)等方式来定义义截平面，这这里仅介绍常常用的几种定定义方式。1)三点(3)通过不在一条条直线上的3个点来定义一一个截平面，，如图5.32所示图5.32三点定义截平平面图5.33Z轴定义截平面面5.4平