《高等数学A》学习指南

课程学习指南一百多年前，恩格斯曾经说“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学”，而现代数学的发展使得其研究对象已经大大超出了“数”与“形”的范畴。一般说来，数学的研究对象可以包括现实中的任何形式和关系。数学是自然科学的基本语言，是应用模式去探索现实世界物质运动机理的主要手段，更是现代技术与工程必不可少的工具。历史上物理学、天文学、力学的许多重大发现，例如牛顿力学、爱因斯坦相对论、电磁波和光的本质的发现、海王星和冥王星的发现、量子力学的诞生等等，无不与数学的进步息息相关。20世纪最伟大的技术成就电子计算机的发明和应用也都是以数学为基础的。现代的许多“高科技”本质上就是数学技术，例如医学上的CT技术、指纹的存储和识别技术、飞行器的模拟设计、石油地震勘探的数据处理分析、信息安全技术、保险精算、金融风险分析和预测等等。当今的数学不再只是通过其他学科间接地而是直接地、广泛地应用于各技术领域中。

数学来源于实践，又由本身的矛盾运动而不断发展，今天的数学作为一门科学，高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的普遍性成为它的三大特征。我们学习的《高等数学》课程，其主要内容是微积分。从十七世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起，逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科，不仅成为其他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量问题的强有力的数学工具。在高等学校里，《高等数学》是大学生熟练掌握数学工具的主要平台，是培养大学生理性思维的重要载体，是学生获得数学素养的一条重要途径。高等数学已成为大学理工学科、经济管理学科各专业以及其他许多专业最重要的数学基础课。《高等数学》课程在大学一年级分上下两个学期讲授，包括函数与极限、函数的导数与微分、一元函数微分学的应用、定积分与不定积分、定积分的应用、向量代数与空间解析几何、多元函数的微分学及其应用、多元函数的积分学（重积分、曲线积分、曲面积分）及其应用以及无穷级数和常微分方程等教学内容。

高等数学是变量数学。它主要研究运动规律，研究无限变化过程，研究高维空间的形式，研究多因素的影响和作用，从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。我们可以从以下几个数学的基本矛盾在高等数学中的发展变化窥其一斑。（1）“常”与“变”：高等数学能深刻体现常量与变量互相转化的观点。例如运动物体的平均速度是一个常量，通过取极限得到“瞬时”速度就成为时时变化的量；再如求一个球体的体积，先将球体视为任意多个薄圆片的叠合，再通过极限求得确切的体积这一常量。（2）“直”与“曲”：高等数学把直线和平面看作是曲线和曲面的特例，并且认为在一定的条件下“直”与“曲”可以互相转化。例如可以利用弧微分来以“直”代“曲”，然后再通过曲线积分又把“直”还原为“曲”。（3）“有限”与“无限”：在高等数学中可以通过极限过程和分析运算实现有限与无限的相互转化。例如一个有限的函数可以被展开为无穷级数；而一个收敛的无穷级数便对应一个有限数值；此外一个多项式考虑其次数无限升高便是一个无穷级数，而将函数项无穷级数截断则得到一个有限的多项式。从初等数学到高等数学，人们对现实世界的认识实现了从特殊到一般、从具体到抽象的飞跃。上述一些基本矛盾的处理是初等数学方法无法做到的，而高等数学的观点、思想和方法，则深刻揭示了这些矛盾现象在本质上的辩证统一。在《高等数学》课程之后，我们还将进一步学习《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数》、《积分变换》、《数学物理方程》、《最优化方法》等一些数学基础课程，而高等数学则为学习后继这些课程以及学习各专业的专业基础课程奠定了初步的基础。学习《高等数学》课程，应该遵循学习的一般原则。孔子云“学而时习之”（《论语·学而》），“学而不思则罔，思而不学则殆”（《论语·为政》），这些名言提倡了一种重要的学习方法，其核心就是三个字：学、思、习，即对知识的积累、加工和运用。学习《高等数学》课程，关键是要掌握好高等数学的基本概念、基本理论和基本方法。高等数学中的基本概念主要由定义等构成，它反映了研究对象的本质属性；高等数学中的基本理论包括定理、推论、公式和结论等，揭示了研究对象的本质特征和对象之间的联系和区别；高等数学中的基本方法是指处理和分析研究对象时所运用的计算、推演、归纳、表达的方法。具体来说，首先是要保证对知识内容的接受。大学课堂教学进度快，学习的内容多，概念、理论比较抽象，课前预习是一个不错的做法，边阅读边演算推导，看看自己哪些懂了哪些不懂，带着问题有目的地听课。上课时注意认真听讲，适当做些笔记，简要记下重点、关键、思路、补充材料以及自己的总结和体会。其次是要尽快消化知识内容。接受了但没有消化就不可能真正掌握。消化就是要做到由此及彼，由表及里，温故知新。数学的逻辑思维是建立在概念之上的，是通过理论和方法的运用来实现的。要深入地理解概念，要搞清楚每一个知识点的来龙去脉，梳理线索，将知识系统化，条理化，要善于抓重点、寻联系、作比较、举反例，善于进行归纳整理。高等数学还有一个特点，往往可以通过了解几何直观来领悟基本概念和基本理论，这是帮助我们理解内容的一个途径。消化便是人们形容的“书本由薄变厚，再由厚变薄”。然后还要做到举一反三，运用所学。解题是掌握数学的必不可少的学习环节，适当多做习题，不但能提高解题能力，而且能加深对知识的理解。要掌握基本方法的步骤和规律，要注意积累解题的经验，随时加以总结，对出现的解题错误要及时更正并查找原因。进一步，可以考虑一题多解，并比较不同解法的优劣，或者修改题目条件探索求解。另外要注意考察知识内容的实际背景，尝试运用所学的数学