高考理科数学复习板块2 核心考点突破拿高分 专题6 第3讲 导数的简单应用(小题)课件

第3讲导数的简单应用(小题)板块二

专题六函数与导数第3讲导数的简单应用(小题)板块二专题六函数与导数1NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练21PARTONE热点一导数的几何意义与定积分热点二利用导数研究函数的单调性热点三利用导数研究函数的极值、最值1PARTONE热点一导数的几何意义与定积分热点二利用3热点一导数的几何意义与定积分应用导数的几何意义解题时应注意：(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.热点一导数的几何意义与定积分应用导数的几何意义解题时应注意如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为

√如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴在曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为(1,1)，曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为(1,1)，(2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2lnx－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为

√(2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a>0，曲线f(x)＝解析由f(x)＝3x2－4ax，得f′(x)＝6x－4a，设两曲线的公共点P(x0，y0)，x0>0，因为两曲线在公共点处的切线相同，又a>0，所以x0＝a，消去y0，得b＝2a2lna＋a2，设b＝h(a)＝2a2lna＋a2，a>0，h′(a)＝4alna＋4a，解析由f(x)＝3x2－4ax，得f′(x)＝6x－4a，高考理科数学复习板块2核心考点突破拿高分专题6第3讲导数的简单应用(小题)课件定积分

的值为

√定积分的值为

√以r＝1为半径的圆，在x轴上方部分的面积，以r＝1为半径的圆，在x轴上方部分的面积，(2)(2019·丹东质检)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于

A.e B.2eC.1 D.2√解析设切点为(n，aen＋n)，因为y′＝aex＋1，所以切线的斜率为aen＋1，切线方程为y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)，即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)，依题意切线方程为y＝2x＋1，(2)(2019·丹东质检)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝a热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键例2

(1)(2019·武邑质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若2f(x)＋f′(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)－4e－2x>1的解集为

A.(1，＋∞) B.(－∞，0)C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(0，＋∞)√解析设F(x)＝e2xf(x)－e2x－4，则F′(x)＝2e2xf(x)＋e2xf′(x)－2e2x＝e2x[2f(x)＋f′(x)－2]>0，所以函数F(x)＝e2xf(x)－e2x－4在R上为增函数.又f(0)＝5，所以F(0)＝f(0)－1－4＝0.又不等式f(x)－4e－2x>1等价于e2xf(x)－e2x－4>0，即F(x)>0，解得x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞).例2(1)(2019·武邑质检)已知函数f(x)的导函数为范围是

A.{1} B.{－1}C.(0,1] D.[－1,0)√范围是

√f′(x)＝2(x＋a)lnx，∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x＝1时，f′(x)＝0满足题意；当x>1时，lnx>0，要使f′(x)≥0恒成立，则x＋a≥0恒成立.∵x＋a>1＋a，∴1＋a≥0，解得a≥－1；当0<x<1时，lnx<0，要使f′(x)≥0恒成立，则x＋a≤0恒成立，∵x＋a<1＋a，∴1＋a≤0，解得a≤－1.综上所述，a＝－1.f′(x)＝2(x＋a)lnx，A.a<b<c

B.b<c<aC.a<c<b

D.c<b<a跟踪演练2

(1)(2019·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，√A.a<b<c B.b<c<a跟踪演练2(1)(2所以函数g(x)在区间(0，π)上是增函数，因为f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，所以函数g(x)在区间(0，π)上是增函数，√√令g(x)＝ax2－2ax＋1，因为函数f(x)在(1,3)上不单调，即g(x)＝ax2－2ax＋1在(1,3)上有变号零点，a＝0时，显然不成立，它的充分不必要条件即为其一个子集.令g(x)＝ax2－2ax＋1，它的充分不必要条件即为其一个热点三利用导数研究函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数f(x)的定义域；(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；(3)函数的极小值不一定比极大值小；(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.热点三利用导数研究函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、例3

(1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，则实数a的取值范围是

√例3(1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝e解析f(x)＝ex－ax2，可得f′(x)＝ex－2ax，要使f(x)恰有2个正极值点，则方程ex－2ax＝0有2个不相等的正实数根，当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，解析f(x)＝ex－ax2，可得f′(x)＝ex－2ax，所以使函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，所以使函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极(2)已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线y＝1＋lnx上，则线段MN的长度的最小值为________.解析由题可得C(0,2)，圆C的半径r＝1.设N(t,1＋lnt)(t>0)，令f(t)＝|CN|2，则f(t)＝t2＋(1－lnt)2(t>0)，令φ(t)＝t2＋lnt－1(t>0)，易知函数φ(t)在(0，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝0，所以当0<t<1时，f′(t)<0；当t>1时，f′(t)>0，所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(t)min＝f(1)＝2.(2)已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线跟踪演练3

(1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(1)＝0，f′(1)＝0，但x＝1不是函数的极值点，则abc的值为____.9解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，

①又f(1)＝1＋a＋b＋c＝0，

② 由x＝1不是f(x)的极值点，得f′(x)＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4a2－12b＝0，

③由①②③解得a＝－3，b＝3，c＝－1，∴abc＝9.跟踪演练3(1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f(√√即

＋ax0＋a＝0，

①∴f′(x0)＝0，∴函数f(x)在(－∞，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，则f(x)的最小值为f(x0)＝

＝－1，即

②令g(x)＝ex＋ax＋a，则g′(x)＝ex＋a>0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，即＋ax0＋a＝0， ①令g(x)＝e2PARTTWO押题预测真题体验2PARTTWO押题预测真题体验29真题体验1.(2017·全国Ⅱ，理，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为

A.－1 B.－2e－3

C.5e－3

D.1√真题体验1.(2017·全国Ⅱ，理，11)若x＝－2是函数f解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1].由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2).由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.解析函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，2.(2019·全国Ⅰ，理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________.y＝3x解析因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.2.(2019·全国Ⅰ，理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex3.(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是_______.解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1).∵cosx＋1≥0，又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，3.(2018·全国Ⅰ，理，16)已知函数f(x)＝2sin第3讲导数的简单应用(小题)板块二

专题六函数与导数第3讲导数的简单应用(小题)板块二专题六函数与导数34NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练NEIRONGSUOYIN内容索引热点分类突破真题押题精练351PARTONE热点一导数的几何意义与定积分热点二利用导数研究函数的单调性热点三利用导数研究函数的极值、最值1PARTONE热点一导数的几何意义与定积分热点二利用36热点一导数的几何意义与定积分应用导数的几何意义解题时应注意：(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.热点一导数的几何意义与定积分应用导数的几何意义解题时应注意如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为

√如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴在曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为(1,1)，曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为(1,1)，(2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a>0，曲线f(x)＝3x2－4ax与g(x)＝2a2lnx－b有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为

√(2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a>0，曲线f(x)＝解析由f(x)＝3x2－4ax，得f′(x)＝6x－4a，设两曲线的公共点P(x0，y0)，x0>0，因为两曲线在公共点处的切线相同，又a>0，所以x0＝a，消去y0，得b＝2a2lna＋a2，设b＝h(a)＝2a2lna＋a2，a>0，h′(a)＝4alna＋4a，解析由f(x)＝3x2－4ax，得f′(x)＝6x－4a，高考理科数学复习板块2核心考点突破拿高分专题6第3讲导数的简单应用(小题)课件定积分

的值为

√定积分的值为

√以r＝1为半径的圆，在x轴上方部分的面积，以r＝1为半径的圆，在x轴上方部分的面积，(2)(2019·丹东质检)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于

A.e B.2eC.1 D.2√解析设切点为(n，aen＋n)，因为y′＝aex＋1，所以切线的斜率为aen＋1，切线方程为y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)，即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)，依题意切线方程为y＝2x＋1，(2)(2019·丹东质检)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝a热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键例2

(1)(2019·武邑质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若2f(x)＋f′(x)>2，f(0)＝5，则不等式f(x)－4e－2x>1的解集为

A.(1，＋∞) B.(－∞，0)C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(0，＋∞)√解析设F(x)＝e2xf(x)－e2x－4，则F′(x)＝2e2xf(x)＋e2xf′(x)－2e2x＝e2x[2f(x)＋f′(x)－2]>0，所以函数F(x)＝e2xf(x)－e2x－4在R上为增函数.又f(0)＝5，所以F(0)＝f(0)－1－4＝0.又不等式f(x)－4e－2x>1等价于e2xf(x)－e2x－4>0，即F(x)>0，解得x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞).例2(1)(2019·武邑质检)已知函数f(x)的导函数为范围是

A.{1} B.{－1}C.(0,1] D.[－1,0)√范围是

√f′(x)＝2(x＋a)lnx，∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x＝1时，f′(x)＝0满足题意；当x>1时，lnx>0，要使f′(x)≥0恒成立，则x＋a≥0恒成立.∵x＋a>1＋a，∴1＋a≥0，解得a≥－1；当0<x<1时，lnx<0，要使f′(x)≥0恒成立，则x＋a≤0恒成立，∵x＋a<1＋a，∴1＋a≤0，解得a≤－1.综上所述，a＝－1.f′(x)＝2(x＋a)lnx，A.a<b<c

B.b<c<aC.a<c<b

D.c<b<a跟踪演练2

(1)(2019·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，√A.a<b<c B.b<c<a跟踪演练2(1)(2所以函数g(x)在区间(0，π)上是增函数，因为f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)＝－f(－x)，所以函数g(x)在区间(0，π)上是增函数，√√令g(x)＝ax2－2ax＋1，因为函数f(x)在(1,3)上不单调，即g(x)＝ax2－2ax＋1在(1,3)上有变号零点，a＝0时，显然不成立，它的充分不必要条件即为其一个子集.令g(x)＝ax2－2ax＋1，它的充分不必要条件即为其一个热点三利用导数研究函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题：(1)不能忽略函数f(x)的定义域；(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；(3)函数的极小值不一定比极大值小；(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.热点三利用导数研究函数的极值、最值利用导数研究函数的极值、例3

(1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，则实数a的取值范围是

√例3(1)(2019·东北三省三校模拟)若函数f(x)＝e解析f(x)＝ex－ax2，可得f′(x)＝ex－2ax，要使f(x)恰有2个正极值点，则方程ex－2ax＝0有2个不相等的正实数根，当x→0时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞，解析f(x)＝ex－ax2，可得f′(x)＝ex－2ax，所以使函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极值点x1，x2(0<x1<x2)，所以使函数f(x)＝ex－ax2在区间(0，＋∞)上有两个极(2)已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线y＝1＋lnx上，则线段MN的长度的最小值为________.解析由题可得C(0,2)，圆C的半径r＝1.设N(t,1＋lnt)(t>0)，令f(t)＝|CN|2，则f(t)＝t2＋(1－lnt)2(t>0)，令φ(t)＝t2＋lnt－1(t>0)，易知函数φ(t)在(0，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝0，所以当0<t<1时，f′(t)<0；当t>1时，f′(t)>0，所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(t)min＝f(1)＝2.(2)已知点M在圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上，点N在曲线跟踪演练3

(1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(1)＝0，f′(1)＝0，但x＝1不是函数的极值点，则abc的值为____.9解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，

①又f(1)＝1＋a＋b＋c＝0，

② 由x＝1不是f(x)的极值点，得f′(x)＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4a2－12b＝0，

③由①②③解得a＝－3，b＝3，c＝－1，∴abc＝9.跟踪演练3(1)(2019·天津市和平区质检)已知函数f(√√即

＋ax0＋a＝0，

①∴f′(x0)＝0，∴函数f(x)在(－∞，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，则f(x)的最小值为f(x0)＝

＝－1，即

②令g(x)＝ex＋ax＋a，则g′(x)＝ex＋a>0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，即＋ax0＋a＝0， ①令g(x)＝e2PARTTWO押题预测真题体验2PARTTWO押题预测真题体验62真题体验1.(2017·全国Ⅱ，