矩阵及其运算公开课一等奖省优质课大赛获奖课件

第二章矩阵第五讲

矩阵及其运算一、矩阵二、矩阵运算√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目地ABCD例1

某航空企业在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间航班图如图所表示，箭头从始发地指向目标地.BACD城市间航班图情况惯用表格来表示:√√一、矩阵1.引例为了便于计算，把表中√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反应了四个城市之间交通联接情况.其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物数量．例2

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送货物数量可用数表表示为：这四种货物单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物单价，bi2

表示第

i种货物单件重量．称为

m行

n列矩阵，简称

m×n矩阵．记作2.矩阵定义

定义1

由

m×n

个数排成

m

行

n

列数表元素是实数矩阵称为实矩阵，元素是复数矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A元素，简称为元.简记为行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式（1）行数与列数都等于

n矩阵，称为n阶方阵．可记作.（2）只有一行矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列矩阵称为列矩阵(或列向量).（3）元素全是零矩阵称为零距阵．可记作O

.比如：3.特殊矩阵（4）形如方阵称为对角矩阵．当时，称为数量矩阵.

尤其地，方阵称为单位矩阵．记作记作．4.同型矩阵与矩阵相等（1）

两个矩阵行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.比如为同型矩阵.（2）两个矩阵与为同型矩阵，而且对应

元素相等，即

则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.注：不一样型零矩阵是不相等.

矩阵之间不能比较大小.比如例3某工厂生产四种货物，它在上六个月和下六个月向三家商店发送货物数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物数量．其中aij

表示上六个月工厂向第

i家商店发送第

j种货物数量．其中cij

表示工厂下六个月向第

i家商店发送第j

种货物数量．二、矩阵运算解：工厂在一年内向各商店发送货物数量1.矩阵加法定义2

设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B和记作

A＋B，要求为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其它矩阵加法运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A负矩阵．显然设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物总值及总重量．例4（续例2）该厂所生产货物单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物单价，bi2

表示第

i种货物单件重量．解：工厂向该商店发送第

j种货物总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物单价，bi2

表示第

i种货物单件重量．2.数与矩阵相乘定义3

数

l与矩阵

A

乘积记作

lA

或

Al

，要求为知识点比较结合律分配律备注数乘矩阵运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵线性运算.其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物数量．例5（续例2）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送货物数量可用数表表示为：这四种货物单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物单价，bi2

表示第

i种货物单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物总值及总重量．解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物数量．其中bi1

表示第

i种货物单价，bi2

表示第

i种货物单件重量．可用矩阵表示为普通地，3.矩阵乘法定义4

设，，那么要求矩阵

A与矩阵

B乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．例6

设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵列数等于第二个矩阵行数时，两个矩阵才能相乘.例7

结论：（1）矩阵乘法不一定满足交换律.（2）矩阵，却有， 从而不能由得出或结论．矩阵乘法运算规律(1)

结合律(3)

分配律(2)

结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中作用类似于数1，即推论1矩阵乘法不一定满足交换律，不过数量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换.数量阵不一样于对角阵(5)矩阵幂若A是n阶方阵，定义显然思索：以下等式在什么时候成立？A、B可交换时成立4.矩阵转置定义5

把矩阵

A行换成同序数列得到新矩阵，叫做A

转置矩阵，记作AT

.例转置矩阵运算性质例8

已知解法1解法2定义6

设A

为n

阶方阵，假如满足，即那么A称为对称矩阵.假如满足A=－AT，那么A称为反对称矩阵.对称矩阵反对称矩阵5.方阵行列式定义7

由

n阶方阵元素所组成行列式，叫做方阵

A行列式，记作|A|或detA.运算性质定义8

设A是

n阶方阵，当|A|=0时，称A为奇异矩阵（或退化矩阵）；